Правило сложения скоростей. Закон сложения скоростей в классической механике Закон сложения скоростей определение и формула

Которой были сформулированы Ньютонов в конце XVII века, около двухсот лет считалась все объясняющей и непогрешимой. Вплоть до XIX столетия ее принципы казались всемогущими и составляли основу физики. Однако к указанному периоду начали появляться новые факты, которые невозможно было втиснуть в привычные рамки известных законов. Со временем они получили иное объяснение. Случилось это с появлением теории относительности и загадочной науки - квантовой механики. В данных дисциплинах радикальному пересмотру подверглись все ранее принятые представления о свойствах времени и пространства. В частности, релятивистский закон сложения скоростей красноречиво доказал ограниченность классических догм.

Простое сложение скоростей: когда это возможно?

Классика Ньютона в физике и поныне считается верной, а законы ее применяются для решения многих задач. Только следует учитывать, что действуют они в привычном для нас мире, где скорости самых разных объектов, как правило, не бывают значительными.

Представим ситуацию, что поезд едет из Москвы. Скорость его перемещения составляет 70 км/час. А в это время по ходу движения из одного вагона в другой путешествует пассажир, пробегая 2 метра за одну секунду. Чтобы узнать быстроту его перемещения относительно домов и деревьев, мелькающих за окном поезда, указанные скорости следует просто сложить. Поскольку 2 м/с соответствуют 7,2 км/час, то искомая скорость окажется 77,2 км/час.

Мир высоких скоростей

Другое дело фотоны и нейтрино, они подчиняются совершенно другим правилам. Для них-то и действует релятивистский закон сложения скоростей, а показанный выше принцип считается для них совершенно неприменимым. Почему?

Согласно специальной теории относительности (СТО), любой объект не может перемещаться со скоростью быстрее света. Она в крайнем случае только способна приблизительно быть сравнимой с этим параметром. Но если на секунду представить (хотя на практике это невозможно), что в предыдущем примере поезд и пассажир двигаются примерно таким образом, то скорость их относительно покоящихся на земле предметов, мимо которых проезжает состав, оказалась бы равной практически двум световым. А этого быть не должно. Как же производят расчеты в этом случае?

Известный из курса физики 11 класса релятивистский закон сложения скоростей представляется формулой, приведенной ниже.

Что это значит?

Если имеются две системы отсчета, скорость некоего объекта относительно которых V 1 и V 2 , то для расчетов можно пользоваться указанным соотношением, независимо от значения определенных величин. В случае когда обе они значительно меньше скорости света, знаменатель в правой части равенства практически равен 1. Это значит, что формула релятивистского закона сложения скоростей превращается в самую обычную, то есть V 2 = V 1 + V.

Следует также обратить внимание, что когда V 1 = C (то есть скорости света), при любом значении V, V 2 не превысит эту величину, то есть тоже окажется равной С.

Из области фантастики

С - это фундаментальная константа, величина ее равна 299 792 458 м/с. Со времен Эйнштейна считается, что ни один объект во Вселенной не может превзойти движение света в вакууме. Именно так можно определить кратко релятивистский закон сложения скоростей.

Однако писатели-фантасты не захотели с этим смириться. Они придумывали и продолжают сочинять множество потрясающих историй, герои которых опровергают подобное ограничение. В мгновение ока их космические корабли перемещаются в далекие галактики, находящиеся за много тысяч световых лет от старушки Земли, сводя на нет при этом все установленные законы мироздания.

Но почему Эйнштейн и его последователи уверены, что на практике подобного не может случиться? Следует поговорить о том, по какой причине так незыблем световой предел и неприкосновенен релятивистский закон сложения скоростей.

Связь причин и следствий

Свет - носитель информации. Он является отражением реальности Вселенной. А световые сигналы, достигающие наблюдателя, воссоздают в его сознании картины действительности. Так бывает в привычном для нас мире, где все идет своим чередом и подчиняется обычным правилам. И мы с рождения приучены к тому, что не может быть иначе. Но если представить, что все вокруг изменилось, и некто отправился в космос, путешествуя на сверхсветовой скорости? Поскольку он опережает фотоны света, мир начинает видеться ему как в кинопленке, прокрученной назад. Вместо завтра для него наступает вчера, потом позавчера и так далее. А завтрашний день он никогда не увидит, пока не остановится, конечно.

Кстати, подобную идею тоже активно взяли на вооружение писатели-фантасты, создавая по таким принципам аналог машины времени. Их герои попадали в прошлое и путешествовали там. Однако рушились причинно-следственные связи. И оказывалось очевидно, что на практике такое вряд ли возможно.

Другие парадоксы

Причина не может опережать противоречит нормальной человеческой логике, ведь во Вселенной должен быть порядок. Однако СТО предполагает и другие парадоксы. Она вещает, что, если даже поведение объектов подчиняется строгому определению релятивистского закона сложения скоростей, в точности сравняться в быстроте перемещения с фотонами света ему тоже невозможно. Почему? Да потому что начинают происходить в полном смысле волшебные превращения. Масса бесконечно увеличивается. Размеры материального объекта в направлении движения неограниченно приближаются к нулю. И опять же пертурбаций со временем избежать полностью не удается. Оно хоть и не движется назад, но при достижении скорости света полностью останавливается.

Затмение Ио

СТО утверждает, что фотоны света являются самыми быстрыми объектами во Вселенной. В таком случае, как же удалось измерить их скорость? Просто человеческая мысль оказалась проворней. Она смогла решить подобную дилемму, а следствием ее и стал релятивистский закон сложения скоростей.

Подобные вопросы решались еще во времена Ньютона, в частности, в 1676 году датским астроном О. Ремером. Он сообразил, что скорость сверхбыстрого света возможно определить лишь только в том случае, когда он проходит огромные расстояния. Подобное, как он подумал, бывает возможным только на небе. А случай воплотить указанную идею в жизнь вскоре представился, когда Ремер наблюдал в телескоп затмение одного из спутников Юпитера под названием Ио. Промежуток времени между входом в затемнение и появлением в поле зрения этой планеты в первый раз составил около 42,5 часа. И на этот раз все примерно соответствовало предварительным расчетам, проведенным согласно известному периоду обращения Ио.

Через несколько месяцев Ремер вновь произвел свой эксперимент. В этот период Земля значительно удалилась от Юпитера. И оказалось, что Ио опоздал показать свой лик на 22 минуты в сравнении со сделанными ранее предположениями. Что это значило? Объяснение было в том, что спутник совсем не задержался, а вот световым сигналам от него понадобилось некоторое время, чтобы преодолеть значительное расстояние до Земли. Произведя на основе этих данных расчеты, астроном подсчитал, что скорость света очень значительна и составляет около 300 000 км/с.

Опыт Физо

Предвестник релятивистского закона сложения скоростей - опыт Физо, произведенный почти двумя веками позже, подтвердил правильно догадок Ремера. Только известный французский физик в 1849 году провел уже лабораторные опыты. А для реализации их был придуман и сконструирован целый оптический механизм, аналог которого можно увидеть на рисунке ниже.

Свет, исходил от источника (это был этап 1). Потом он отражался от пластины (этап 2), проходил между зубцами вращающегося колеса (этап 3). Далее лучи попадали на зеркало, расположенное на значительном расстоянии, измеряемом в значении 8,6 километра (этап 4). В заключении свет отражался обратно и проходил через зубцы колеса (этап 5), попадал в глаза наблюдателя и фиксировался им (этап 6).

Вращение колеса осуществлялось с разной скоростью. При медленном передвижении, свет был виден. При увеличении скорости, лучи начинали исчезать, не достигая зрителя. Причина в том, что на перемещение лучам требовалось некоторое время, а за данный период, зубья колеса немного сдвигались. Когда же скорость вращения снова возрастала, свет опять достигал глаза наблюдателя, ведь теперь зубья, перемещаясь быстрее, вновь позволяли лучам проникать сквозь зазоры.

Принципы СТО

Релятивистская теория впервые была представлена миру Эйнштейном в 1905 году. Посвящена данная работа описанию событий, происходящих в самых разных системах отсчета, поведению магнитных и электромагнитных полей, частиц и объектов при движении их, максимально сравнимом со скоростями света. Великий физик описал свойства времени и пространства, а также рассмотрел поведение других параметров, размеров физических тел и их масс в указанных условиях. Среди основных принципов Эйнштейн назвал равноправие любых инерциальных систем отсчета, то есть он имел в виду сходство процессов, протекающих в них. Другой постулат релятивистской механики - закон сложения скоростей в новом, неклассическом варианте.

Пространство, согласно данной теории, представляется, как пустота, где функционирует все остальное. Время определяется как некая хронология происходящих процессов и событий. Оно же впервые называется в качестве четвертого измерения самого пространства, получающего теперь наименование "пространство-время".

Преобразования Лоренца

Подтверждают релятивистской закон сложения скоростей преобразования Лоренца. Так принято называть математические формулы, которые в окончательном своем варианте представлены ниже.

Эти математические соотношения занимают центральное место в теории относительности и служат для преобразования координат и времени, будучи написаны для четырехместного пространства-времени. Указанное наименование представленные формулы получили по предложению Анри Пуанкаре, которые разрабатывая математический аппарат для теории относительности, заимствовал у Лоренца некоторые идеи.

Подобные формулы доказывают не только невозможность преодоления сверхзвукового барьера, но и незыблемость принципа причинности. Согласно им, появилась возможность математически обосновать замедление времени, сокращение длин объектов и прочие чудеса, происходящие в мире сверхвысоких скоростей.

Выведем закон, связывающий проекции скорости частицы в ИСО К и К".

На основании преобразований Лоренца (1.3.12) для бесконечно малых приращений координат частицы и времени можно написать

Разделив в (1.6.1) первые три равенства на четвёртое, а затем числители и знаменатели правых частей получившихся соотношений на dt" и учтя, что

есть проекции скоростей частицы на оси СО К и К", приходим к искомому закону:

Если частица совершает одномерное движение вдоль осей ОХ и О"Х", то, в соответствии с (1.6.2),

Пример 1. ИСО К" движется со скоростью V относительно ИСО К. Под углом 0" к направлению движения в ИСО К" выпущена пуля со скоростью v". Чему равен этот угол 0 в ИСО К?

Решение. При движении происходит не только сокращение пространственных, но и растяжение временных интервалов. Для нахождения tg0 = v y /v x следует в (1.6.2) разделить вторую формулу на первую, а затем числитель и знаменатель получившейся справа дроби - на v" x = v"cos0" Учитывая, что v" y /v" x = tg0", находим

Для малых по сравнению со скоростью света скоростей формулы (1.6.2) переходят в известный закон классической механики (1.1.4):

Из формул преобразования проекций скорости частицы (1.6.2) нетрудно определить модуль скорости и её направление в ИСО К через скорость частицы в ИСО К". Для этого выберем оси координат так, чтобы скорость частицы в данный момент лежала в плоскости XOY (а, значит, и в плоскости Х"0"Y"), и обозначим через 0 (0") угол между

V (V") и осью ОХ (О"Х"). Тогда

v x = vcos0, v = vsin0, v" x = v"cos©", v* = v"sin©", v z = v" z = 0 (1.6.4) или

Что касается направления скорости частицы в СО К (угол 0), то оно определяется путём почленного деления в (1.6.5) второй формулы на первую:

и подстановка (1.6.4) в (1.6.2) даёт

После возведения в квадрат обоих равенств (1.6.5) и их сложения, получим

Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на не штрихованные и обратно и заменой V на - V.

Задача 2. Определить относительную скорость v 0TH сближения двух космических аппаратов 1 и 2, движущихся навстречу друг другу со скоростями Х И V2-

Решение. Свяжем подвижную СО К" с космическим аппаратом 1. Тогда V = Vi, а искомой относительной скоростью v 0TH будет являться скорость аппарата 2 в этой СО. Применяя релятивистский закон сложения скоростей (1.6.3) ко второму аппарату с учётом направления его скорости (v" 2 = -v 0TH) имеем

Численные оценки для v, = v 2 = 0,9 с дают

Задача 3. Тело со скоростью v 0 налетает перпендикулярно на стенку, движущуюся ему навстречу со скоростью. Пользуясь релятивистским законом сложения скоростей, найти скорость v 0Tp тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела. Найти v 0Tp , если v 0 = v = с/3 . Проанализировать предельные случаи.

где V - скорость СО К" относительно СО К. Свяжем СО К" со стенкой. Тогда V = -v ив этой СО начальная скорость тела, согласно выражению для v",

Вернёмся теперь назад в лабораторную СО К. Подставляя в

(1.6.3) v" 0Tp вместо v" и учитывая опять же, что V = -v, после несложных преобразований получаем искомый результат:

Проанализируем теперь предельные случаи.

Если скорости тела и стенки малы (v 0 « с, v « с), то можно пренебречь всеми членами, где эти скорости и их произведение делятся на скорость света. Тогда из полученной выше общей формулы приходим к известному результату классической механики: v 0Tp = -(v 0 + 2v) -

скорость тела после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки; направлена она, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат неверен. В частности, при v 0 =v = c/3 из него следует, что скорость тела после отскока будет равна - с, чего быть не может.

Пусть теперь на стенку налетает тело, движущееся со скоростью света (например, лазерный луч отражается от движущегося зеркала). Подставляя v 0 = с в общее выражение для v , получаем v = -с.

Это означает, что скорость лазерного луча изменила направление, но не свою абсолютную величину, - в полном согласии с принципом инвариантности скорости света в вакууме.

Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью v -> с. В этом случае

Тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

• Наконец, подставим в общую формулу для v 0Tp значения

v n = v = с/3 . Тогда = -с * -0,78 с. В отличие от классической

механики, теория относительности даёт для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.

В заключение посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью v = -v 0 . В этом случае общая формула для v 0Tp приводит к результату: v = v 0 . Как и в классической механике, тело стенку не догонит и, следовательно, его скорость не изменится.

Результаты опыта описывались формулами

где п - показатель преломления воды, а V - скорость её течения.

До создания СТО результаты опыта Физо рассматривались на основе выдвинутой ещё О. Френелем гипотезы, в рамках которой следовало считать, что движущаяся вода частично увлекает за собой «мировой эфир». Величина

получила название коэффициента увлечения эфира, а формулы (1.7.1) и (1.7.2) при таком подходе непосредственно вытекают из классического закона сложения скоростей: с/п - скорость света в воде относительно эфира, kV - скорость эфира относительно опытной установки.

Давайте в нескольких статьях рассмотрим подробно и внимательно закон сложения скоростей и решения задач, с использованием этого закона.

Для начала, вспомним, что часто мы наблюдаем довольно сложные типы движения, когда тело движется относительно системы отсчёта, которая в тоже время движется относительно Земли. И первая трудность здесь заключается в выборе подвижной и неподвижной систем отсчёта. Сегодня мы это и разберём. Если брать за неподвижную систему отсчета дерево, растущее на Земле (а чаще всего именно землю берут за неподвижную систему отсчёта), то довольно легко ввести другие системы отсчёта.

Попытаемся это сделать на следующих примерах:

1. Пассажир движется в движущемся автобусе (или по движущемуся эскалатору).

Здесь неподвижная система отсчета – Дерево , а подвижная система отсчета – автобус (эскалатор). И тогда

• скорость пассажира относительно автобуса (эскалатора) – скорость пассажира (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (автобуса; эскалатора) (ϑ ТоП),
• скорость пассажира относительно Земли (дерева) – скорость пассажира (Т ела) О З емли) (ϑ ТоЗ),
• скорость автобуса (эскалатора) – скорость П одвижной системы отсчета (автобуса; эскалатора) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

2. Легковая машина и грузовик движутся по шоссе (даже не важно, в каком направлении).

В качестве неподвижной системы отсчета оставляем дерево, растущее на Земле, за подвижную систему отсчета возьмём грузовую машину. Тогда,

• скорость легковой машины относительно грузовой – скорость легковой машины (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (грузовой машины) (ϑ ТоП),
• скорость легковой машины относительно Земли (Дерева) – скорость легковой машины (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ). Эту скорость показывает спидометр – прибор, для измерения скорости, который есть в каждой машине.
• с корость грузовой машины – скорость П одвижной системы отсчета (грузовой машины) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ). Эту скорость показывает спидометр грузового автомобиля.

3. Лодка движется по реке.

Опять, в качестве неподвижной системы отсчета дерево , растущее на Земле. За неподвижную систему отсчета возьмём течение реки (чтобы это течение визуализировать, представьте опавший лист на поверхности воды). Тогда,

• скорость лодки относительно листка – скорость лодки (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (течения реки) (ϑ ТоП), т.е скорость лодки в стоячей воде ,
• скорость лодки относительно Земли (дерева) – скорость лодки (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ),
• скорость течения (листка) – скорость П одвижной системы отсчета (течения реки) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

4. Падает капля дождя.

Опять, в качестве неподвижной системы отсчета дерево, растущее на Земле, подвижной системы отсчета – ветер (чтобы это визуализировать, представьте летящий оторвавшийся листок). Тогда,

• скорость капли относительно ветра – скорость капли (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (ветра) (ϑ ТоП),
• скорость капли относительно Земли (дерева) – скорость капли (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ),
• скорость ветра – скорость П одвижной системы отсчета (ветра) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

Разобравшись, с выбором систем отсчёта, введём и выучим закон сложения скоростей:

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (ϑ ТоЗ ) равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета (ϑ ТоП ) и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной (ϑ ПоЗ ).

При решении задач исходное выражение всегда будет в таком векторном виде. А вот как решать, приведённые выше задачи, это мы обсудим в следующих статьях.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на закон сложения скоростей?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Классическая механика использует понятие абсолютной скорости точки. Она определяется как сумма векторов относительной и переносной скоростей этой точки. Подобное равенство содержит утверждение теоремы о сложении скоростей. Принято представлять, что скорость движения определенного тела в неподвижной системе отсчета является равной векторной сумме скорости такого же физического тела относительно подвижной системе отсчета. В этих координатах находится непосредственно тело.

Рисунок 1. Классический закон сложения скоростей . Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Примеры закона сложения скоростей в классической механике

Рисунок 2. Пример сложения скоростей. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Существует несколько основных примеров сложения скоростей, согласно установленным правилам, взятым за основу в механической физике. В качестве простейших объектов при рассмотрении физических законов может быть взят человек и любое движущееся тело в пространстве, с которым происходит прямое или косвенное взаимодействие.

Пример 1

Например, человек, который движется по коридору пассажирского поезда со скоростью пять километров в час, при этом состав двигается со скоростью 100 километров в час, то он относительно окружающего пространства двигается со скоростью 105 километров в час. При этом направление движения человека и транспортного средства должны совпадать. Такой же принцип действует и при движении в обратном направлении. В этом случае человек будет перемещаться относительно земной поверхности со скоростью 95 километров в час.

Если значения скорости двух объектов относительно друг друга будут совпадать, то они станут неподвижными с точки зрения движущихся объектов. При вращении скорость изучаемого объекта равна сумме скоростей движения объекта относительно движущейся поверхности другого объекта.

Принцип относительности Галилея

Ученые смогли сформулировать основные формулы для ускорений объектов. Из нее следует, что движущаяся система отсчета удаляется относительно другой без видимого ускорения. Это закономерно в тех случаях, когда ускорение тел происходит одинаково в разных системах отсчета.

Подобные рассуждения берут начало еще во времена Галилея, когда сформировался принцип относительности. Известно, что по второму закону Ньютона ускорение тел имеет принципиальное значение. От этого процесса зависит относительное положение двух тел в пространстве, скорость физических тел. Тогда все уравнения можно записать одинаковым образом в любой инерциальной системе отсчета. Это говорит о том, что классические законы механики не будут иметь зависимость от положения в инерциальной системе отсчета, как принято действовать при осуществлении исследования.

Наблюдаемое явление также не имеет зависимость от конкретного выбора системы отсчета. Подобные рамки в настоящее время рассматриваются как принцип относительности Галилея. Он вступает в некоторые противоречия с иными догмами физиков-теоретиков. В частности, теория относительности Альберта Эйнштейна предполагает иные условия действия.

Принцип относительности Галилея базируется на нескольких основных понятиях:

• в двух замкнутых пространствах, которые движутся прямолинейно и равномерно относительно друг друга, результат внешнего воздействия всегда будет иметь одинаковое значение;
• подобный результат будет действителен только для любого механического действия.

В историческом контексте изучения основ классической механики , подобная трактовка физических явлений сформировалась во многом, как результат интуитивного мышления Галилея, что подтвердилось в научных трудах Ньютона, когда тот представил свою концепцию классической механики . Однако подобные требования по Галилею могут накладывать на структуру механики некоторые ограничения. Это влияет на ее возможные формулировки, оформление и развитие.

Закон движения центра масс и закон сохранения импульса

Рисунок 3. Закон сохранения импульса. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Одной из общих теорем в динамике стала теорема центра инерции. Ее также называют теоремой о движении центра масс системы. Подобный закон можно вывести из общих законов Ньютона. Согласно ему, ускорение центра масс в динамической системе не является прямым следствием внутренних сил, которые действуют на тела всей системы. Оно способно связать процесс ускорения с внешними силами, которые действуют на такую систему.

Рисунок 4. Закон движения центра масс. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

В качестве объектов, о которых идет речь в теореме, выступают:

• импульс материальной точки;
• система тел.

Эти объекты можно описать как физическую векторную величину. Она является необходимой мерой воздействия силы, при этом полностью зависит от времени действия силы.

При рассмотрении закона сохранения количества движения утверждается, что векторная сумма импульсов всех тел система полностью представляется как постоянная величина. При этом векторная сумма внешних сил, которые действуют на всю систему, должна быть равна нулю.

При определении скорости в классической механике также используют динамику вращательного движения твердого тела и момент импульса. Момент импульса имеет все характерные признаки количества вращательного движения. Исследователи используют это понятие как величину, которая зависит от количества вращающейся массы, а также как она распределена по поверхности относительно оси вращения. При этом имеет значение скорости вращения.

Вращение также можно понимать не только с точки зрения классического представления вращения тела вокруг оси. При прямолинейном движении тела мимо некой неизвестной воображаемой точки, которая не лежит на линии движения, тело также может обладать моментом импульса. При описании вращательного движения момента импульса играет самую существенную роль. Это очень важно при постановке и решении разнообразных задач, связанных с механикой в классическом понимании.

В классической механике закон сохранения импульса является следствием ньютоновской механики. Он наглядно показывает, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени. Если существует взаимодействие, то скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Мы говорили, что скорость света - максимально возможная скорость распространения сигнала. Но что будет, если свет испускается движущимся источником в направлении его скорости V ? Согласно закону сложения скоростей, следующему из преобразований Галилея, скорость света должна быть равна c + V . Но в теории относительности это невозможно. Посмотрим, какой закон сложения скоростей следует из преобразований Лоренца. Для этого запишем их для бесконечно малых величин:

По определению скорости ее компоненты в системе отсчета K находятся как отношения соответствующих перемещений к временным интервалам:

Аналогично определяется скорость объекта в движущейся системе отсчета K" , только пространственные расстояния и временные интервалы надо взять относительно этой системы:

Следовательно, разделив выражение dx на выражение dt , получим:

Разделив числитель и знаменатель на dt" , находим связь x -компонент скоростей в разных системах отсчета, которая отличается от галилеевского правила сложения скоростей:

Кроме того, в отличие от классической физики, меняются и компоненты скоростей, ортогональные направлению движения. Аналогичные вычисления для других компонент скоростей дают:

Таким образом, получены формулы для преобразования скоростей в релятивистской механике. Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на нештрихованные и обратно и заменой V на –V .

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в начале данного раздела. Пусть в точке 0" движущейся системы отсчета K" установлен лазер, посылающий импульс света в положительном направлении оси 0"х" . Какой будет скорость импульса для неподвижного наблюдателя в системе отсчета К ? В этом случае скорость светового импульса в системе отсчета К" имеет компоненты

Применяя закон релятивистского сложения скоростей, находим для компонент скорости импульса относительно неподвижной системы К :

Мы получаем, что скорость светового импульса и в неподвижной системе отсчета, относительно которой источник света движется, равна

Тот же результат получится при любом направлении распространения импульса. Это естественно, так как независимость скорости света от движения источника и наблюдателя заложена в одном из постулатов теории относительности. Релятивистский закон сложения скоростей - следствие этого постулата.

Действительно, когда скорость движения подвижной системы отсчета V << c , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, мы получаем обычный закон сложения скоростей

При этом ход течения времени и длина линейки будут одинаковы в обеих системах отсчета. Таким образом, законы классической механики применимы, если скорости объектов много меньше скорости света. Теория относительности не зачеркнула достижения классической физики, она установила рамки их справедливости.

Пример. Тело со скоростью v 0 налетает перпендикулярно на стенку, двигающуюся ему навстречу со скоростью v . Пользуясь формулами для релятивистского сложения скоростей, найдем скорость v 1 тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела.

Воспользуемся формулами, выражающими релятивистский закон сложения скоростей.

Направим ось х вдоль начальной скорости тела v 0 и свяжем систему отсчета K" со стенкой. Тогда v x = v 0 и V = –v . В системе отсчета, связанной со стенкой, начальная скорость v" 0 тела равна

Вернемся теперь назад в лабораторную систему отсчета К . Подставляя в релятивистский закон сложения скоростей v" 1 вместо v" x и учитывая опять же V = –v , находим после преобразований: