Paralelne linije. Kut između ravnih linija

U ovom ćemo članku prvo definirati kut između križnih linija i dati grafički prikaz. Zatim ćemo odgovoriti na pitanje: "Kako pronaći kut između križnih linija ako su poznate koordinate vektora smjera ovih linija u pravokutnom koordinatnom sustavu"? Zaključno ćemo vježbati pronalaženje kuta između pravaca koji se sijeku pri rješavanju primjera i zadataka.

Navigacija po stranici.

Kut između pravaca koji se sijeku – definicija.

Određivanju kuta između ravnih linija koje se sijeku pristupit ćemo postupno.

Prvo se prisjetimo definicije kosih linija: dvije linije u trodimenzionalnom prostoru nazivaju se križanje, ako ne leže u istoj ravnini. Iz ove definicije slijedi da se pravci koji se sijeku ne sijeku, nisu paralelni i, štoviše, ne podudaraju se, inače bi obje ležale u određenoj ravnini.

Dajmo daljnje pomoćno obrazloženje.

Neka su u trodimenzionalnom prostoru zadane dvije crte a i b koje se sijeku. Konstruirajmo pravce a 1 i b 1 tako da budu paralelne s kosim pravcima a odnosno b ​​i prolaze nekom točkom u prostoru M 1 . Tako dobivamo dvije prave koje se sijeku a 1 i b 1. Neka je kut između pravaca a 1 i b 1 koji se sijeku jednak kutu . Sada konstruirajmo pravce a 2 i b 2, paralelne s kosim pravcima a odnosno b, koji prolaze kroz točku M 2, različitu od točke M 1. Kut između pravaca a 2 i b 2 koji se sijeku bit će također jednak kutu. Ova tvrdnja je točna, jer će se pravci a 1 i b 1 podudarati s pravcima a 2 i b 2, redom, ako se izvrši paralelni prijenos, u kojem se točka M 1 pomiče u točku M 2. Dakle, mjera kuta između dviju ravnih linija koje se sijeku u točki M, odnosno paralelnih s danim pravcima koji se sijeku, ne ovisi o izboru točke M.

Sada smo spremni za definiranje kuta između linija koje se sijeku.

Definicija.

Kut između pravaca koji se sijeku je kut između dviju pravaca koje se sijeku i koje su paralelne s danim pravcima koji se sijeku.

Iz definicije proizlazi da kut između križnih pravaca također neće ovisiti o izboru točke M. Prema tome, kao točku M možemo uzeti bilo koju točku koja pripada jednom od presječnih pravaca.

Dajmo ilustraciju određivanja kuta između pravaca koji se sijeku.

Određivanje kuta između pravaca koji se sijeku.

Budući da je kut između pravaca koji se sijeku određen preko kuta između pravaca koji se sijeku, nalaženje kuta između pravaca koji se sijeku svodi se na pronalaženje kuta između odgovarajućih pravaca koji se sijeku u trodimenzionalnom prostoru.

Bez sumnje, metode koje se proučavaju na nastavi geometrije u srednjoj školi prikladne su za pronalaženje kuta između linija koje se sijeku. Odnosno, nakon što ste dovršili potrebne konstrukcije, možete povezati željeni kut s bilo kojim kutom poznatim iz stanja, na temelju jednakosti ili sličnosti figura, u nekim će slučajevima pomoći kosinusni teorem, a ponekad dovodi do rezultata definicija sinusa, kosinusa i tangensa kuta pravokutni trokut.

Međutim, vrlo je prikladno riješiti problem pronalaženja kuta između križnih linija pomoću koordinatne metode. To ćemo razmotriti.

Neka se Oxyz uvede u trodimenzionalni prostor (iako u mnoge probleme morate sami ući).

Postavimo si zadatak: pronaći kut između križnih pravaca a i b koji odgovaraju nekoj jednadžbi pravca u prostoru u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz.

Idemo to riješiti.

Uzmimo proizvoljnu točku u trodimenzionalnom prostoru M i pretpostavimo da kroz nju prolaze pravci a 1 i b 1 paralelni s sijecanjem pravaca a odnosno b. Tada je traženi kut između pravaca a i b koji se sijeku jednak kutu između pravaca koji se sijeku a 1 i b 1 po definiciji.

Dakle, samo trebamo pronaći kut između pravaca a 1 i b 1 koji se sijeku. Da bismo primijenili formulu za određivanje kuta između dva pravca koji se sijeku u prostoru, moramo znati koordinate vektora smjera pravaca a 1 i b 1.

Kako ih možemo dobiti? I to vrlo jednostavno. Definicija vektora smjera ravne crte omogućuje nam da tvrdimo da se skupovi vektora smjera paralelnih pravaca podudaraju. Stoga se vektori smjera pravaca a 1 i b 1 mogu uzeti kao vektori smjera I prave a i b redom.

Tako, Kut između dva pravca a i b koji se sijeku izračunava se po formuli
, Gdje I su vektori smjera pravaca a i b.

Formula za pronalaženje kosinusa kuta između linija koje se križaju a i b imaju oblik .

Omogućuje vam da pronađete sinus kuta između križnih linija ako je poznat kosinus: .

Ostaje još analizirati rješenja primjera.

Primjer.

Odredite kut između križnih pravaca a i b koji su u Oxyz pravokutnom koordinatnom sustavu definirani jednadžbama I .

Riješenje.

Kanonske jednadžbe ravne crte u prostoru omogućuju vam da odmah odredite koordinate vektora usmjeravanja ove ravne crte - one su dane brojevima u nazivnicima frakcija, tj. . Parametarske jednadžbe pravca u prostoru također omogućuju da se odmah zapišu koordinate vektora pravca - one su jednake koeficijentima ispred parametra, tj. - izravni vektor . Dakle, imamo sve potrebne podatke za primjenu formule po kojoj se izračunava kut između pravaca koji se sijeku:

Odgovor:

Kut između zadanih pravaca koji se sijeku jednak je .

Primjer.

Odredite sinus i kosinus kuta između križnih pravaca na kojima leže bridovi AD i BC piramide ABCD, ako su poznate koordinate njezinih vrhova: .

Riješenje.

Vektori smjera križanja pravaca AD i BC su vektori i . Izračunajmo njihove koordinate kao razliku odgovarajućih koordinata krajnje i početne točke vektora:

Prema formuli možemo izračunati kosinus kuta između navedenih križnih linija:

Izračunajmo sada sinus kuta između križnih linija:

Ovaj materijal posvećen je konceptu kao što je kut između dviju linija koje se presijecaju. U prvom odlomku objasnit ćemo o čemu se radi i prikazati to ilustracijama. Zatim ćemo pogledati načine na koje možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i sam kut (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dati ćemo potrebne formule i točno pokazati s primjerima kako se koriste u praksi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da bismo razumjeli što je kut koji nastaje kada se dva pravca sijeku, moramo se sjetiti same definicije kuta, okomice i sjecišne točke.

Definicija 1

Dva pravca nazivamo sijekućima ako imaju jednu zajedničku točku. Ta se točka naziva sjecištem dviju linija.

Svaka ravna linija je sjecišnom točkom podijeljena na zrake. Obje ravne crte tvore 4 kuta od kojih su dva okomita, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti preostale.

Recimo da znamo da je jedan od kutova jednak α. U tom slučaju, kut koji je okomit u odnosu na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale kutove, moramo izračunati razliku 180 ° - α. Ako je α jednako 90 stupnjeva, tada će svi kutovi biti pravi kutovi. Pravci koji se sijeku pod pravim kutom nazivaju se okomitima (konceptu okomitosti posvećen je poseban članak).

Pogledajte sliku:

Prijeđimo na formuliranje glavne definicije.

Definicija 2

Kut koji čine dvije crte koje se sijeku je mjera manjeg od 4 kuta koji tvore te dvije crte.

Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina kuta u ovom slučaju bit će izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0, 90]. Ako su linije okomite, tada će kut između njih u svakom slučaju biti jednako 90 stupnjeva.

Sposobnost pronalaženja mjere kuta između dviju linija koje se sijeku korisna je za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.

Za početak možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o komplementarnim kutovima, onda ih možemo povezati s kutom koji nam treba koristeći svojstva jednakih ili sličnih likova. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati kut između pravaca na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem prikladan za naše rješenje. Ako u našem stanju imamo pravokutni trokut, tada ćemo za izračune također trebati znati sinus, kosinus i tangens kuta.

Metoda koordinata također je vrlo zgodna za rješavanje problema ove vrste. Objasnimo kako ga pravilno koristiti.

Imamo pravokutni (kartezijev) koordinatni sustav O x y, u kojem su zadane dvije ravne linije. Označimo ih slovima a i b. Ravne linije se mogu opisati pomoću nekih jednadžbi. Izvorne linije imaju sjecište M. Kako odrediti traženi kut (označimo ga α) između tih pravaca?

Počnimo s formuliranjem osnovnog načela pronalaženja kuta pod zadanim uvjetima.

Znamo da je koncept ravne linije usko povezan s konceptima kao što su vektor smjera i normalni vektor. Ako imamo jednadžbu određenog pravca, iz nje možemo uzeti koordinate tih vektora. To možemo učiniti za dvije linije koje se sijeku odjednom.

Kut između dviju linija koje se sijeku može se pronaći pomoću:

• kut između vektora smjera;
• kut između normalnih vektora;
• kut između vektora normale jednog pravca i vektora smjera drugog.

Sada pogledajmo svaku metodu zasebno.

1. Pretpostavimo da imamo pravac a s vektorom smjera a → = (a x, a y) i pravac b s vektorom smjera b → (b x, b y). Sada nacrtajmo dva vektora a → i b → iz točke presjeka. Nakon toga ćemo vidjeti da će se svaki nalaziti na svojoj ravnoj liniji. Zatim imamo četiri opcije za njihov relativni raspored. Pogledajte ilustraciju:

Ako kut između dva vektora nije tup, tada će to biti kut koji nam treba između pravaca a i b koji se sijeku. Ako je tup, tada će željeni kut biti jednak kutu susjednom kutu a →, b → ^. Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 ° , i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

Na temelju činjenice da su kosinusi jednakih kutova jednaki, možemo prepisati dobivene jednakosti na sljedeći način: cos α = cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ > 90 °.

U drugom slučaju korištene su redukcijske formule. Tako,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišimo posljednju formulu riječima:

Definicija 3

Kosinus kuta koji čine dvije ravne crte koje se sijeku bit će jednak modulu kosinusa kuta između njegovih vektora smjera.

Opći oblik formule za kosinus kuta između dva vektora a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus kuta između dviju zadanih ravnih linija:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada se sam kut može pronaći pomoću sljedeće formule:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera zadanih pravaca.

Navedimo primjer rješenja problema.

Primjer 1

U pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini zadane su dvije crte a i b koje se sijeku. Mogu se opisati parametarskim jednadžbama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte kut između ovih pravaca.

Riješenje

Imamo parametarsku jednadžbu u našem uvjetu, što znači da za ovaj pravac možemo odmah napisati koordinate njegovog vektora smjera. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata za parametar, tj. pravac x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R imat će vektor smjera a → = (4, 1).

Drugi je redak opisan pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3. Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ovaj pravac ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .

Zatim prelazimo izravno na pronalaženje kuta. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite postojeće koordinate dvaju vektora u gornju formulu α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobivamo sljedeće:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Odgovor: Ove ravne linije tvore kut od 45 stupnjeva.

Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem kuta između normalnih vektora. Ako imamo pravac a s normalnim vektorom n a → = (n a x , n a y) i pravac b s normalnim vektorom n b → = (n b x , n b y), tada će kut između njih biti jednak kutu između n a → i n b → ili kut koji će biti susjedan n a →, n b → ^. Ova metoda je prikazana na slici:

Formule za izračunavanje kosinusa kuta između linija koje se sijeku i samog ovog kuta pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a a a a 2 n b x 2 + n b y 2 + n b y 2

Ovdje n a → i n b → označavaju normalne vektore dvaju zadanih pravaca.

Primjer 2

U pravokutnom koordinatnom sustavu dvije ravne crte dane su pomoću jednadžbi 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Nađite sinus i kosinus kuta između njih i veličinu samog kuta.

Riješenje

Izvorne linije specificirane su pomoću jednadžbi normalnih linija oblika A x + B y + C = 0. Vektor normale označavamo kao n → = (A, B). Nađimo koordinate prvog vektora normale za jedan pravac i zapišimo ih: n a → = (3, 5) . Za drugi pravac x + 4 y - 17 = 0 normalni vektor će imati koordinate n b → = (1, 4). Dodajmo sada dobivene vrijednosti formuli i izračunajmo ukupni iznos:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ako znamo kosinus kuta, tada možemo izračunati njegov sinus pomoću osnovne trigonometrijske identičnosti. Kako kut α koji čine ravne linije nije tup, tada je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

U ovom slučaju je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje kuta između ravnih linija ako znamo koordinate vektora smjera jedne prave i normale druge.

Pretpostavimo da pravac a ima vektor smjera a → = (a x , a y) , a pravac b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Moramo ove vektore ostaviti po strani od točke presjeka i razmotriti sve opcije za njihove relativne položaje. Pogledajte na slici:

Ako kut između zadanih vektora nije veći od 90 stupnjeva, ispada da će on komplementirati kut između a i b na pravi kut.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ako je manji od 90 stupnjeva, tada dobivamo sljedeće:

a → , n b → ^ > 90 ° , tada a → , n b → ^ = 90 ° + α

Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih kutova, pišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .

Tako,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulirajmo zaključak.

Definicija 4

Da biste pronašli sinus kuta između dviju linija koje se sijeku u ravnini, trebate izračunati modul kosinusa kuta između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.

Zapišimo potrebne formule. Određivanje sinusa kuta:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Pronalaženje samog kuta:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → vektor normale druge.

Primjer 3

Dvije crte koje se sijeku dane su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite kut presjeka.

Riješenje

Koordinate vektora vodilice i normale uzimamo iz zadanih jednadžbi. Ispada da je a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Uzimamo formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i izračunavamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Imajte na umu da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.

Odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Predstavimo još jedan način za pronalaženje željenog kuta pomoću kutnih koeficijenata zadanih ravnih linija.

Imamo pravac a, koji je definiran u pravokutnom koordinatnom sustavu pomoću jednadžbe y = k 1 x + b 1, i pravac b, definiran kao y = k 2 x + b 2. Ovo su jednadžbe pravaca s nagibima. Za pronalaženje kuta presjeka koristimo formulu:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdje su k 1 i k 2 nagibi zadanih pravaca. Za dobivanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje kuta kroz koordinate normalnih vektora.

Primjer 4

Postoje dvije linije koje se sijeku u ravnini, dane jednadžbama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Izračunajte vrijednost kuta presjeka.

Riješenje

Kutni koeficijenti naših linija jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Odgovor:α = a r c cos 23 2 34

U zaključcima ovog odlomka treba napomenuti da se ovdje navedene formule za pronalaženje kuta ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili normalnih vektora zadanih pravaca i moći ih odrediti pomoću različitih vrsta jednadžbi. Ali bolje je zapamtiti ili zapisati formule za izračunavanje kosinusa kuta.

Kako izračunati kut između linija koje se sijeku u prostoru

Izračun takvog kuta može se svesti na izračunavanje koordinata vektora smjera i određivanje veličine kuta koji tvore ti vektori. Za takve primjere koristi se isto razmišljanje koje smo dali prije.

Pretpostavimo da imamo pravokutni koordinatni sustav smješten u trodimenzionalnom prostoru. Sadrži dvije prave a i b s sjecištem M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednadžbe tih pravaca. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kuta između njih koristimo formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Da bismo pronašli sam kut, potrebna nam je ova formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 5

Imamo liniju definiranu u trodimenzionalnom prostoru pomoću jednadžbe x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Poznato je da se siječe s osi O z. Izračunaj presječni kut i kosinus tog kuta.

Riješenje

Označimo kut koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora smjera za prvi pravac – a → = (1, - 3, - 2) . Za aplikacionu os, možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati željenoj formuli:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kao rezultat toga, otkrili smo da će kut koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.

Odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Videotečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

okomitost dviju linija.

1. Ako su pravci L 1 i L 2 zadani općim jednadžbama

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0,

tada je kut između njih jednak kutu između njihovih normala, odnosno između vektora (A 1,B 1) i (A 2,B 2). Stoga,

Uvjeti paralelnosti i okomitosti ravnih linija također se svode na uvjete paralelnosti i okomitosti normala:

Paralelni uvjet, (7.11)

- uvjet okomitosti. (7.12).

2. Ako su pravci zadani kanonskim jednadžbama (7.5), analogno točki 1 dobivamo:

, (7.13)

Paralelni uvjet, (7.14)

- uvjet okomitosti. (7.16).

Ovdje i su vektori smjera pravaca.

3. Neka su pravci L 1 i L 2 zadani jednadžbama s kutnim koeficijentima (7.8)

y = k 1 x +b 1 i y = k 2 x + b 2, gdje je , a α 1 i α 2 su kutovi nagiba pravaca prema osi Ox, tada za kut φ između pravaca vrijedi jednakost: φ = α 2 - α 1 . Zatim

Uvjet paralelnosti ima oblik: k 1 =k 2 , (7.18)

uvjet okomitosti – k 2 =-1/k 1 , (7.19)

budući da u ovom slučaju tgφ ne postoji.

Udaljenost od točke do pravca.

Promotrimo ravnicu L i na nju povučemo okomicu OP iz koordinatnog ishodišta (pretpostavljamo da pravac ne prolazi kroz koordinatno ishodište). Neka je n jedinični vektor čiji se smjer podudara s OR. Napravimo jednadžbu za ravnu liniju L, koja uključuje dva parametra: p - duljinu segmenta OP i α - kut između OP i Ox.

Za točku M koja leži na L, projekcija vektora OM na pravac

ILI je jednako p. S druge strane, pr n OM=n·OM. Jer

n =(cos α ,grijeh α ), a OM ={x,y), shvaćamo to

x cosα + g sinα = p, ili

x cosα + g grijeh - str = 0 - (7.20)

Tražena jednadžba pravca L, nazvao normalan

jednadžba ravne linije(pojam "normalna jednadžba" je povezan

s tim da segment ILI je okomita ili normalna na datu liniju).

Definicija 7.2. Ako d– udaljenost od točke A na ravnu liniju L, To odstupanjeδ bodova A od ravne linije L postoji broj + d, ako točka A a ishodište koordinata leži na suprotnim stranama pravca L, a broj – d, ako leže s jedne strane L.

Teorem 7.1. Odstupanje točke A(x 0,y 0) od ravne linije L, dana jednadžbom (7.20), određena je formulom:

Dokaz.

Projekcija OQ vektor OA na smjer ILI jednak

n·OA =x 0 cosα + y 0 grijehα. Stoga je δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=

x 0 cosα + y 0 grijehα -str, što je i trebalo dokazati

Posljedica.

Udaljenost od točke do linije određuje se na sljedeći način:

Komentar. Da biste opću jednadžbu linije doveli u normalan oblik, trebate je pomnožiti s brojem, a znak je odabran nasuprot znaku slobodnog člana S u općoj jednadžbi pravca. Taj se broj naziva faktor normalizacije.

Primjer. Pronađite udaljenost od točke A(7,-3) na ravnu liniju zadanu jednadžbom

3x + 4na + 15 = 0. A² + B²=9+16=25, C=15>0, tako da je faktor normalizacije jednak

1/5, a normalna jednadžba pravca je: Zamjena koordinata točke u njezinu lijevu stranu umjesto x i y A, nalazimo da je njegovo odstupanje od pravca jednako

Prema tome, udaljenost od točke A ovoj liniji je 4.8.

8. Pravac i ravnina u prostoru. Jednadžbe ravnine i pravca u prostoru. Kut između ravnina. Kut između pravca i ravnine.

Imajte na umu da se mnoge tvrdnje i formule koje se tiču ​​ravnine u prostoru dokazuju i izvode na isti način kao kada se proučava pravac na ravnini, stoga će se u tim slučajevima referirati na prethodno predavanje.

Avion u svemiru.

Dobijmo najprije jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 0 (x 0, y 0, z 0) okomito na vektor n = {A,B,C), zove se normala na ravninu. Za bilo koju točku na ravnini M(x, y, z) vektor M 0 M = {x - x 0, y - y 0, z - z 0) je okomit na vektor n , stoga je njihov skalarni produkt jednak nuli:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. (8.1)

Dobije se jednadžba koju zadovoljava bilo koja točka zadane ravnine - jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor.

Nakon dovođenja sličnih jednadžbu (8.1) možemo napisati u obliku.

Bilo bi korisno za svakog učenika koji se priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike ponoviti temu "Pronalaženje kuta između ravnih linija". Kao što statistika pokazuje, prilikom polaganja certifikacijskog testa zadaci u ovom dijelu stereometrije stvaraju poteškoće velikom broju učenika. Istodobno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje kuta između ravnih linija nalaze se u Jedinstvenom državnom ispitu na osnovnoj i specijaliziranoj razini. To znači da bi ih svatko trebao moći riješiti.

Osnovni momenti

Postoje 4 vrste međusobnog položaja linija u prostoru. Mogu se podudarati, presijecati, biti paralelni ili se sijeku. Kut između njih može biti oštar ili ravan.

Da biste pronašli kut između linija na Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješavanju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko načina za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti koristeći klasične konstrukcije. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik mora biti sposoban logično zaključivati ​​i crtati kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti metodu koordinatnog vektora pomoću jednostavnih formula, pravila i algoritama. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve izračune. Obrazovni projekt Shkolkovo pomoći će vam da usavršite svoje vještine rješavanja problema u stereometriji i drugim dijelovima školskog tečaja.