Vad är a i grafen för en funktion. Funktioner och grafer

Detta läromedel är endast för referens och relaterar till ett brett spektrum av ämnen. Artikeln ger en översikt över grafer över grundläggande elementära funktioner och överväger den viktigaste frågan - hur man bygger en graf korrekt och SNABBT. När man studerar högre matematik utan kunskap om graferna för grundläggande elementära funktioner kommer det att vara svårt, så det är mycket viktigt att komma ihåg hur graferna för en parabel, hyperbel, sinus, cosinus etc. ser ut, och komma ihåg några av funktionernas betydelser. Vi kommer också att prata om några egenskaper hos huvudfunktionerna.

Jag hävdar inte att materialet är fullständigt och vetenskapligt noggrant, tyngdpunkten kommer först och främst att läggas på praktiken - de saker som man möter bokstavligen vid varje steg, i vilket ämne som helst av högre matematik. Diagram för dummies? Man skulle kunna säga så.

På grund av många förfrågningar från läsare klickbar innehållsförteckning:

Dessutom finns en superkort sammanfattning om ämnet
– bemästra 16 typer av diagram genom att studera SEX sidor!

Seriöst, sex, till och med jag blev förvånad. Denna sammanfattning innehåller förbättrad grafik och är tillgänglig för en nominell avgift. En demoversion kan ses. Det är bekvämt att skriva ut filen så att graferna alltid finns till hands. Tack för att du stöttar projektet!

Och låt oss börja genast:

Hur konstruerar man koordinataxlar korrekt?

I praktiken genomförs prov nästan alltid av elever i separata anteckningsböcker, kantade i en kvadrat. Varför behöver du rutiga markeringar? När allt kommer omkring kan arbetet i princip utföras på A4-ark. Och buren är nödvändig bara för högkvalitativ och korrekt design av ritningar.

Varje ritning av en funktionsgraf börjar med koordinataxlar.

Ritningar kan vara tvådimensionella eller tredimensionella.

Låt oss först överväga det tvådimensionella fallet Kartesiskt rektangulärt koordinatsystem:

1) Rita koordinataxlar. Axeln kallas x-axeln , och axeln är y-axel . Vi försöker alltid rita dem snyggt och inte krokigt. Pilarna ska inte heller likna Papa Carlos skägg.

2) Vi signerar axlarna med stora bokstäver "X" och "Y". Glöm inte att märka yxorna.

3) Ställ in skalan längs axlarna: rita en nolla och två ettor. När du gör en ritning är den mest bekväma och mest använda skalan: 1 enhet = 2 celler (ritning till vänster) - om möjligt, håll dig till den. Men då och då händer det att ritningen inte får plats på anteckningsboken - då minskar vi skalan: 1 enhet = 1 cell (ritning till höger). Det är sällsynt, men det händer att skalan på ritningen måste minskas (eller ökas) ännu mer

Det finns INGET BEHOV av att "kulspruta" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. För koordinatplanet är inte ett monument över Descartes, och studenten är inte en duva. Vi lägger noll Och två enheter längs axlarna. Ibland istället för enheter är det bekvämt att "markera" andra värden, till exempel "två" på abskissaxeln och "tre" på ordinataaxeln - och detta system (0, 2 och 3) kommer också unikt att definiera koordinatnätet.

Det är bättre att uppskatta de uppskattade dimensionerna på ritningen INNAN du konstruerar ritningen. Så, till exempel, om uppgiften kräver att rita en triangel med hörn , , , så är det helt klart att den populära skalan på 1 enhet = 2 celler inte kommer att fungera. Varför? Låt oss titta på poängen - här måste du mäta femton centimeter ner, och uppenbarligen kommer ritningen inte att passa (eller knappt passa) på ett anteckningsblock. Därför väljer vi omedelbart en mindre skala: 1 enhet = 1 cell.

Förresten, ungefär centimeter och anteckningsbokceller. Är det sant att 30 bärbara celler innehåller 15 centimeter? För skojs skull mäter du 15 centimeter i din anteckningsbok med en linjal. I Sovjetunionen kan detta ha varit sant... Det är intressant att notera att om du mäter samma centimeter horisontellt och vertikalt kommer resultaten (i cellerna) att bli annorlunda! Strängt taget är moderna anteckningsböcker inte rutiga, utan rektangulära. Detta kan verka nonsens, men att rita till exempel en cirkel med en kompass i sådana situationer är väldigt obekvämt. För att vara ärlig, i sådana ögonblick börjar du tänka på riktigheten av kamrat Stalin, som skickades till läger för hackarbete i produktionen, för att inte tala om den inhemska bilindustrin, fallande flygplan eller exploderande kraftverk.

På tal om kvalitet, eller en kort rekommendation om pappersvaror. Idag är de flesta bärbara datorer som säljs minst sagt kompletta skit. Av den anledningen att de blir blöta, och inte bara från gelpennor, utan även från kulspetspennor! De sparar pengar på papper. För att slutföra tester rekommenderar jag att du använder anteckningsböcker från Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 ark, fyrkantiga) eller "Pyaterochka", även om det är dyrare. Det är lämpligt att välja en gelpenna, även den billigaste kinesiska gelpåfyllningen är mycket bättre än en kulspetspenna, som antingen kladdar eller sliter sönder papperet. Den enda "konkurrenskraftiga" kulspetspennan jag kan minnas är Erich Krause. Hon skriver tydligt, vackert och konsekvent – ​​vare sig det är med en hel kärna eller med en nästan tom.

Dessutom: Synen av ett rektangulärt koordinatsystem genom ögonen på analytisk geometri behandlas i artikeln Linjärt (icke) beroende av vektorer. Grund för vektorer, detaljerad information om koordinatkvarter finns i lektionens andra stycke Linjära ojämlikheter.

3D-fodral

Det är nästan likadant här.

1) Rita koordinataxlar. Standard: axeltillämpning – riktad uppåt, axel – riktad åt höger, axel – riktad nedåt åt vänster strikt i en vinkel på 45 grader.

2) Märk axlarna.

3) Ställ in skalan längs axlarna. Skalan längs axeln är två gånger mindre än skalan längs de andra axlarna. Observera också att jag i den högra ritningen använde ett icke-standardiserat "skåra" längs axeln (denna möjlighet har redan nämnts ovan). Ur min synvinkel är detta mer exakt, snabbare och mer estetiskt tilltalande - det finns ingen anledning att leta efter mitten av cellen under ett mikroskop och "skulptera" en enhet nära ursprunget för koordinater.

När du gör en 3D-ritning, återigen, prioritera skalan
1 enhet = 2 celler (ritning till vänster).

Vad är alla dessa regler för? Regler är till för att brytas. Det är vad jag ska göra nu. Faktum är att efterföljande ritningar av artikeln kommer att göras av mig i Excel, och koordinataxlarna kommer att se felaktiga ut ur synvinkeln av korrekt design. Jag skulle kunna rita alla grafer för hand, men det är faktiskt läskigt att rita dem eftersom Excel är ovilliga att rita dem mycket mer exakt.

Grafer och grundläggande egenskaper för elementära funktioner

En linjär funktion ges av ekvationen. Grafen för linjära funktioner är direkt. För att konstruera en rät linje räcker det att känna till två punkter.

Exempel 1

Konstruera en graf över funktionen. Låt oss hitta två punkter. Det är fördelaktigt att välja noll som en av punkterna.

Om då

Låt oss ta en annan punkt, till exempel 1.

Om då

När du slutför uppgifter sammanfattas koordinaterna för punkter vanligtvis i en tabell:

Och själva värdena beräknas muntligt eller på ett utkast, en miniräknare.

Två punkter har hittats, låt oss göra ritningen:

När vi förbereder en ritning signerar vi alltid grafiken.

Det skulle vara användbart att komma ihåg speciella fall av en linjär funktion:

Lägg märke till hur jag placerade signaturerna, signaturer bör inte tillåta avvikelser när man studerar ritningen. I det här fallet var det ytterst oönskat att sätta en signatur bredvid linjernas skärningspunkt, eller längst ner till höger mellan graferna.

1) En linjär funktion av formen () kallas direkt proportionalitet. Till exempel, . En direkt proportionalitetsgraf går alltid genom origo. Således är det förenklat att konstruera en rak linje - det räcker att bara hitta en punkt.

2) En ekvation av formen anger en rät linje parallell med axeln, i synnerhet axeln själv ges av ekvationen. Grafen för funktionen ritas omedelbart, utan att hitta några punkter. Det vill säga, posten ska förstås på följande sätt: "y är alltid lika med -4, för vilket värde som helst på x."

3) En ekvation av formen anger en rät linje parallell med axeln, i synnerhet axeln själv ges av ekvationen. Grafen för funktionen ritas också omedelbart. Posten ska förstås på följande sätt: "x är alltid, för alla värden på y, lika med 1."

Vissa kommer att fråga, varför komma ihåg 6:e klass?! Det är så det är, kanske är det så, men under årens övning har jag mött ett drygt dussin elever som blivit förbryllade över uppgiften att konstruera en graf som eller.

Att konstruera en rak linje är den vanligaste åtgärden när man gör ritningar.

Den räta linjen diskuteras i detalj under analytisk geometri, och intresserade kan hänvisa till artikeln Ekvation för en rät linje på ett plan.

Graf för en kvadratisk, kubisk funktion, graf för ett polynom

Parabel. Graf över en kvadratisk funktion () representerar en parabel. Tänk på det berömda fallet:

Låt oss komma ihåg några egenskaper hos funktionen.

Så, lösningen på vår ekvation: – det är vid denna punkt som parabelns vertex är belägen. Varför det är så kan hittas i den teoretiska artikeln om derivatan och lektionen om funktionens extrema. Under tiden, låt oss beräkna motsvarande värde på "Y":

Således är spetsen vid punkten

Nu hittar vi andra punkter, samtidigt som vi fräckt använder parabelns symmetri. Det bör noteras att funktionen – är inte ens, men ändå upphävde ingen parabelns symmetri.

I vilken ordning man hittar de återstående poängen tror jag att det kommer att framgå av finalbordet:

Denna konstruktionsalgoritm kan figurativt kallas en "skyttel" eller "fram och tillbaka"-principen med Anfisa Chekhova.

Låt oss göra ritningen:

Från de undersökta graferna kommer en annan användbar funktion att tänka på:

För en kvadratisk funktion () följande är sant:

Om , då är parabelns grenar riktade uppåt.

Om , då är parabelns grenar riktade nedåt.

Fördjupad kunskap om kurvan kan fås i lektionen Hyperbel och parabel.

En kubisk parabel ges av funktionen. Här är en teckning bekant från skolan:

Låt oss lista funktionens huvudegenskaper

Graf över en funktion

Den representerar en av grenarna av en parabel. Låt oss göra ritningen:

Funktionens grundläggande egenskaper:

I det här fallet är axeln vertikal asymptot för grafen för en hyperbel vid .

Det skulle vara ett GROV misstag om man, när man ritar en ritning, slarvigt låter grafen skära en asymptot.

Också ensidiga gränser säger oss att hyperbeln inte begränsat från ovan Och inte begränsat underifrån.

Låt oss undersöka funktionen i oändligheten: , det vill säga om vi börjar röra oss längs axeln till vänster (eller höger) till oändligheten, kommer "spelen" att vara i ett ordnat steg oändligt nära närmar sig noll, och följaktligen grenarna av hyperbeln oändligt nära närma sig axeln.

Så axeln är horisontell asymptot för grafen för en funktion, om "x" tenderar till plus eller minus oändlighet.

Funktionen är udda, och därför är hyperbeln symmetrisk om ursprunget. Detta faktum är uppenbart från ritningen, dessutom är det lätt verifierat analytiskt: .

Grafen för en funktion av formen () representerar två grenar av en hyperbel.

Om , då är hyperbeln belägen i första och tredje koordinatkvarten(se bilden ovan).

Om , då är hyperbeln belägen i andra och fjärde koordinatkvarten.

Det angivna mönstret för hyperbelresidens är lätt att analysera ur synvinkeln av geometriska transformationer av grafer.

Exempel 3

Konstruera den högra grenen av hyperbeln

Vi använder den punktvisa konstruktionsmetoden och det är fördelaktigt att välja värdena så att de är delbara med en helhet:

Låt oss göra ritningen:

Det kommer inte att vara svårt att konstruera den vänstra grenen av hyperbeln. Grovt sett, i tabellen över punktvis konstruktion lägger vi mentalt till ett minus till varje nummer, sätter motsvarande punkter och ritar den andra grenen.

Detaljerad geometrisk information om den aktuella linjen finns i artikeln Hyperbel och parabel.

Graf över en exponentiell funktion

I det här avsnittet kommer jag omedelbart att överväga den exponentiella funktionen, eftersom i problem med högre matematik i 95% av fallen är det exponentialen som dyker upp.

Låt mig påminna dig om att detta är ett irrationellt tal: , detta kommer att krävas när du konstruerar en graf, som jag faktiskt kommer att bygga utan ceremoni. Tre poäng är nog tillräckligt:

Låt oss lämna grafen för funktionen i fred för nu, mer om den senare.

Funktionens grundläggande egenskaper:

Funktionsgrafer etc. ser i grunden likadana ut.

Jag måste säga att det andra fallet förekommer mindre ofta i praktiken, men det förekommer, så jag ansåg det nödvändigt att inkludera det i den här artikeln.

Graf över en logaritmisk funktion

Betrakta en funktion med en naturlig logaritm.
Låt oss göra en punkt-för-punkt-ritning:

Om du har glömt vad en logaritm är, se dina skolböcker.

Funktionens grundläggande egenskaper:

Domän:

Värdeintervall: .

Funktionen är inte begränsad från ovan: , om än långsamt, men grenen av logaritmen går upp till oändligheten.
Låt oss undersöka beteendet för funktionen nära noll till höger: . Så axeln är vertikal asymptot för grafen för en funktion som "x" tenderar till noll från höger.

Det är absolut nödvändigt att känna till och komma ihåg det typiska värdet för logaritmen: .

I princip ser grafen för logaritmen till basen likadan ut: , , (decimallogaritm till basen 10) osv. Ju större basen är, desto plattare blir grafen.

Vi kommer inte att överväga fallet; jag kommer inte ihåg när jag senast byggde en graf med en sådan grund. Och logaritmen verkar vara en mycket sällsynt gäst i problem av högre matematik.

I slutet av detta stycke kommer jag att säga ytterligare ett faktum: Exponentialfunktion och logaritmisk funktion– dessa är två ömsesidigt omvända funktioner. Om du tittar noga på grafen för logaritmen kan du se att detta är samma exponent, den är bara placerad lite annorlunda.

Grafer över trigonometriska funktioner

Var börjar trigonometrisk plåga i skolan? Höger. Från sinus

Låt oss plotta funktionen

Denna linje kallas sinusformad.

Låt mig påminna dig om att "pi" är ett irrationellt tal: , och i trigonometri får det dina ögon att blända.

Funktionens grundläggande egenskaper:

Denna funktion är periodisk med period. Vad betyder det? Låt oss titta på segmentet. Till vänster och höger om den upprepas exakt samma del av grafen i oändlighet.

Domän: , det vill säga för alla värden på "x" finns ett sinusvärde.

Värdeintervall: . Funktionen är begränsad: , det vill säga alla "spel" sitter strikt i segmentet .
Detta händer inte: eller, mer exakt, det händer, men dessa ekvationer har ingen lösning.

National Research University

Institutionen för tillämpad geologi

Sammanfattning om högre matematik

På ämnet: "Grundläggande elementära funktioner,

deras egenskaper och grafer"

Avslutad:

Kontrollerade:

lärare

Definition. Funktionen som ges av formeln y=a x (där a>0, a≠1) kallas en exponentialfunktion med basen a.

Låt oss formulera exponentialfunktionens huvudegenskaper:

1. Definitionsdomänen är mängden (R) av alla reella tal.

2. Område - mängden (R+) av alla positiva reella tal.

3. För a > 1 ökar funktionen längs hela tallinjen; vid 0<а<1 функция убывает.

4. Är en funktion av allmän form.

, på intervallet xО [-3;3]
, på intervallet xО [-3;3]

En funktion av formen y(x)=x n, där n är talet ОR, kallas en potensfunktion. Talet n kan anta olika värden: både heltal och bråk, både jämnt och udda. Beroende på detta kommer effektfunktionen att ha en annan form. Låt oss betrakta specialfall som är potensfunktioner och återspeglar de grundläggande egenskaperna för denna typ av kurva i följande ordning: potensfunktion y=x² (funktion med en jämn exponent - en parabel), potensfunktion y=x³ (funktion med en udda exponent - kubisk parabel) och funktion y=√x (x i potensen ½) (funktion med bråkexponent), funktion med negativ heltalsexponent (hyperbol).

Power funktion y=x²

1. D(x)=R – funktionen definieras på hela den numeriska axeln;

2. E(y)= och ökar med intervallet

Power funktion y=x³

1. Grafen för funktionen y=x³ kallas en kubisk parabel. Effektfunktionen y=x³ har följande egenskaper:

2. D(x)=R – funktionen definieras på hela den numeriska axeln;

3. E(y)=(-∞;∞) – funktionen tar alla värden i sin definitionsdomän;

4. När x=0 y=0 – går funktionen genom origo för koordinaterna O(0;0).

5. Funktionen ökar över hela definitionsdomänen.

6. Funktionen är udda (symmetrisk om ursprunget).

, på intervallet xО [-3;3]

Beroende på den numeriska faktorn framför x³ kan funktionen vara brant/platt och ökande/minskande.

Potensfunktion med negativ heltalsexponent:

Om exponenten n är udda, kallas grafen för en sådan potensfunktion en hyperbel. En potensfunktion med en negativ heltalsexponent har följande egenskaper:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) för vilket n som helst;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), om n är ett udda tal; E(y)=(0;∞), om n är ett jämnt tal;

3. Funktionen minskar över hela definitionsdomänen om n är ett udda tal; funktionen ökar med intervallet (-∞;0) och minskar med intervallet (0;∞) om n är ett jämnt tal.

4. Funktionen är udda (symmetrisk om origo) om n är ett udda tal; en funktion är även om n är ett jämnt tal.

5. Funktionen går genom punkterna (1;1) och (-1;-1) om n är ett udda tal och genom punkterna (1;1) och (-1;1) om n är ett jämnt tal.

, på intervallet xО [-3;3]

Potensfunktion med bråkexponent

En potensfunktion med bråkexponent (bild) har en graf över funktionen som visas i figuren. En potensfunktion med bråkexponent har följande egenskaper: (bild)

1. D(x) ОR, om n är ett udda tal och D(x)=
, på intervallet xО
, på intervallet xО [-3;3]

Den logaritmiska funktionen y = log a x har följande egenskaper:

1. Definitionsdomän D(x)О (0; + ∞).

2. Värdeintervall E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funktionen är varken jämn eller udda (av allmän form).

4. Funktionen ökar med intervallet (0; + ∞) för a > 1, minskar med (0; + ∞) för 0< а < 1.

Grafen för funktionen y = log a x kan erhållas från grafen för funktionen y = a x med hjälp av en symmetritransformation kring den räta linjen y = x. Figur 9 visar en graf över den logaritmiska funktionen för a > 1, och figur 10 för 0< a < 1.

; på intervallet xО
; på intervallet xО

Funktionerna y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x kallas trigonometriska funktioner.

Funktionerna y = sin x, y = tan x, y = ctg x är udda och funktionen y = cos x är jämn.

Funktion y = sin(x).

1. Definitionsdomän D(x) ОR.

2. Värdeintervall E(y) О [ - 1; 1].

3. Funktionen är periodisk; huvudperioden är 2π.

4. Funktionen är udda.

5. Funktionen ökar med intervall [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] och minskar på intervallen [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Grafen för funktionen y = sin (x) visas i figur 11.

En funktionsgraf är en visuell representation av beteendet hos en funktion på ett koordinatplan. Grafer hjälper dig att förstå olika aspekter av en funktion som inte kan avgöras från själva funktionen. Du kan bygga grafer för många funktioner, och var och en av dem kommer att få en specifik formel. Grafen för en funktion byggs med hjälp av en specifik algoritm (om du har glömt den exakta processen för att rita en specifik funktion).

Steg

Plotta en linjär funktion

Bestäm om funktionen är linjär. Den linjära funktionen ges av en formel i formen F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) eller y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(till exempel ), och dess graf är en rak linje. Således innehåller formeln en variabel och en konstant (konstant) utan några exponenter, rottecken eller liknande. Givet en funktion av liknande typ är det ganska enkelt att rita en graf av en sådan funktion. Här är andra exempel på linjära funktioner:

Använd en konstant för att markera en punkt på Y-axeln. Konstanten (b) är "y"-koordinaten för den punkt där grafen skär Y-axeln, det vill säga det är en punkt vars "x"-koordinat är lika med 0. Således, om x = 0 ersätts i formeln. , då y = b (konstant). I vårt exempel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanten är lika med 5, det vill säga skärningspunkten med Y-axeln har koordinater (0,5). Rita denna punkt på koordinatplanet.

Hitta lutningen på linjen. Det är lika med multiplikatorn för variabeln. I vårt exempel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) med variabeln "x" finns en faktor på 2; således är lutningskoefficienten lika med 2. Lutningskoefficienten bestämmer lutningsvinkeln för den räta linjen mot X-axeln, det vill säga ju större lutningskoefficienten är, desto snabbare ökar eller minskar funktionen.

Skriv lutningen som en bråkdel. Vinkelkoefficienten är lika med tangenten för lutningsvinkeln, det vill säga förhållandet mellan det vertikala avståndet (mellan två punkter på en rät linje) och det horisontella avståndet (mellan samma punkter). I vårt exempel är lutningen 2, så vi kan konstatera att det vertikala avståndet är 2 och det horisontella avståndet är 1. Skriv detta som en bråkdel: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Om lutningen är negativ, minskar funktionen.

1. Från den punkt där den räta linjen skär Y-axeln, rita en andra punkt med vertikala och horisontella avstånd. En linjär funktion kan ritas med två punkter. I vårt exempel har skärningspunkten med Y-axeln koordinater (0,5); Från denna punkt, flytta 2 blanksteg upp och sedan 1 blanksteg åt höger. Markera en punkt; den kommer att ha koordinater (1,7). Nu kan du rita en rak linje.

   Använd en linjal och rita en rak linje genom två punkter. För att undvika misstag, hitta den tredje punkten, men i de flesta fall kan grafen ritas med två punkter. Du har alltså ritat en linjär funktion.

Rita punkter på koordinatplanet

Definiera en funktion. Funktionen betecknas som f(x). Alla möjliga värden för variabeln "y" kallas funktionens domän, och alla möjliga värden för variabeln "x" kallas funktionens domän. Betrakta till exempel funktionen y = x+2, nämligen f(x) = x+2.

Rita två vinkelräta linjer som skär varandra. Den horisontella linjen är X-axeln. Den vertikala linjen är Y-axeln.

Märk koordinataxlarna. Dela varje axel i lika stora segment och numrera dem. Skärningspunkten för axlarna är 0. För X-axeln: positiva tal plottas till höger (från 0) och negativa tal till vänster. För Y-axeln: positiva tal plottas överst (från 0) och negativa tal längst ned.

Hitta värdena för "y" från värdena för "x". I vårt exempel är f(x) = x+2. Ersätt specifika x-värden i denna formel för att beräkna motsvarande y-värden. Om den ges en komplex funktion, förenkla den genom att isolera "y" på ena sidan av ekvationen.

• -1: -1 + 2 = 1
• 0: 0 +2 = 2
• 1: 1 + 2 = 3

1. Rita upp punkterna på koordinatplanet. För varje koordinatpar, gör följande: hitta motsvarande värde på X-axeln och rita en vertikal linje (prickad); hitta motsvarande värde på Y-axeln och rita en horisontell linje (streckad linje). Markera skärningspunkten för de två streckade linjerna; alltså har du ritat en punkt på grafen.

   Radera de prickade linjerna. Gör detta efter att ha plottat alla punkter på grafen på koordinatplanet. Notera: grafen för funktionen f(x) = x är en rät linje som går genom koordinatcentrum [punkt med koordinater (0,0)]; grafen f(x) = x + 2 är en linje parallell med linjen f(x) = x, men skiftad uppåt med två enheter och går därför genom punkten med koordinater (0,2) (eftersom konstanten är 2) .

Plotta en komplex funktion

Hitta nollorna för funktionen. Nollorna för en funktion är värdena för x-variabeln där y = 0, det vill säga dessa är punkterna där grafen skär X-axeln. Tänk på att inte alla funktioner har nollor, men de är de första steg i processen att rita en funktion. För att hitta nollorna för en funktion, likställ den med noll. Till exempel:

Hitta och markera de horisontella asymptoterna. En asymptot är en linje som grafen för en funktion närmar sig men som aldrig skär varandra (det vill säga i denna region definieras funktionen inte, till exempel när man dividerar med 0). Markera asymptoten med en prickad linje. Om variabeln "x" är i nämnaren för ett bråktal (till exempel, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), ställ in nämnaren på noll och hitta "x". I de erhållna värdena för variabeln "x" är funktionen inte definierad (i vårt exempel, rita prickade linjer genom x = 2 och x = -2), eftersom du inte kan dividera med 0. Men asymptoter existerar inte bara i de fall där funktionen innehåller ett fraktionerat uttryck. Därför rekommenderas det att använda sunt förnuft:

1. Hitta koordinaterna för flera punkter och rita dem på koordinatplanet. Välj bara flera x-värden och koppla in dem i funktionen för att hitta motsvarande y-värden. Rita sedan punkterna på koordinatplanet. Ju mer komplex funktionen är, desto fler punkter behöver du hitta och rita. I de flesta fall, ersätt x = -1; x = 0; x = 1, men om funktionen är komplex, hitta tre punkter på varje sida om origo.

   • Vid funktion y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) koppla in följande x-värden: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Du får tillräckligt många poäng.
   • Välj dina x-värden klokt. I vårt exempel är det lätt att förstå att det negativa tecknet inte spelar någon roll: värdet på "y" vid x = 10 och vid x = -10 kommer att vara detsamma.
3. Om du inte vet vad du ska göra, börja med att koppla in olika x-värden i funktionen för att hitta y-värdena (och därmed punkternas koordinater). Teoretiskt sett kan en graf för en funktion konstrueras med endast denna metod (om man naturligtvis ersätter en oändlig mängd "x"-värden).

1. Linjär bråkdelfunktion och dess graf

En funktion av formen y = P(x) / Q(x), där P(x) och Q(x) är polynom, kallas en rationell bråkfunktion.

Du är förmodligen redan bekant med begreppet rationella tal. likaså rationella funktionerär funktioner som kan representeras som kvoten av två polynom.

Om en bråkrationell funktion är kvoten av två linjära funktioner - polynom av första graden, d.v.s. formens funktion

y = (ax + b) / (cx + d), då kallas det fraktionell linjär.

Observera att i funktionen y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (annars blir funktionen linjär y = ax/d + b/d) och att a/c ≠ b/d (annars funktionen är konstant). Den linjära bråkfunktionen definieras för alla reella tal utom x = -d/c. Grafer av linjära bråkfunktioner skiljer sig inte i form från grafen y = 1/x du vet. En kurva som är en graf över funktionen y = 1/x kallas överdrift. Med en obegränsad ökning av x i absolut värde, minskar funktionen y = 1/x obegränsat i absolut värde och båda grenarna av grafen närmar sig abskissan: den högra närmar sig ovanifrån och den vänstra underifrån. Linjerna som grenarna av en hyperbel närmar sig kallas dess asymptoter.

Exempel 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Lösning.

Låt oss välja hela delen: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1/x genom följande transformationer: skift med 3 enhetssegment till höger, sträcker sig längs Oy-axeln 7 gånger och skiftar med 2 enhetssegment uppåt.

Vilken bråkdel som helst y = (ax + b) / (cx + d) kan skrivas på liknande sätt och markerar "heltalsdelen". Följaktligen är graferna för alla linjära bråkfunktioner hyperboler, förskjutna på olika sätt längs koordinataxlarna och sträckta längs Oy-axeln.

För att konstruera en graf av en godtycklig bråk-linjär funktion är det inte alls nödvändigt att transformera bråket som definierar denna funktion. Eftersom vi vet att grafen är en hyperbel räcker det med att hitta de raka linjer som dess grenar närmar sig - hyperbelns asymptoter x = -d/c och y = a/c.

Exempel 2.

Hitta asymptoterna i grafen för funktionen y = (3x + 5)/(2x + 2).

Lösning.

Funktionen är inte definierad, vid x = -1. Detta betyder att den räta linjen x = -1 fungerar som en vertikal asymptot. För att hitta den horisontella asymptoten, låt oss ta reda på vad värdena för funktionen y(x) närmar sig när argumentet x ökar i absolut värde.

För att göra detta, dividera täljaren och nämnaren för bråket med x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Som x → ∞ tenderar bråket till 3/2. Detta betyder att den horisontella asymptoten är den räta linjen y = 3/2.

Exempel 3.

Rita funktionen y = (2x + 1)/(x + 1).

Lösning.

Låt oss välja "hela delen" av bråkdelen:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1/x genom följande transformationer: en förskjutning med 1 enhet till vänster, en symmetrisk visning med avseende på Ox och en förskjutning av 2 enhetssegment upp längs Oy-axeln.

Domän D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Värdeintervall E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Skärningspunkter med axlar: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktionen ökar vid varje intervall i definitionsdomänen.

Svar: Bild 1.

2. Bråkdel rationell funktion

Betrakta en bråk-rationell funktion av formen y = P(x) / Q(x), där P(x) och Q(x) är polynom med högre grad än först.

Exempel på sådana rationella funktioner:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) eller y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Om funktionen y = P(x) / Q(x) representerar kvoten av två polynom med högre grad än den första, så kommer dess graf som regel att vara mer komplex, och det kan ibland vara svårt att konstruera den exakt , med alla detaljer. Det räcker dock ofta med att använda tekniker som liknar dem vi redan har introducerat ovan.

Låt bråket vara ett egentligt bråk (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M1x + N1) / (x2 +ptx + qt) ml + …+ (Mmlx + Nml) / (x2 +ptx + qt).

Uppenbarligen kan grafen för en rationell bråkfunktion erhållas som summan av grafer för elementära bråk.

Rita grafer över bråkdelar rationella funktioner

Låt oss överväga flera sätt att konstruera grafer för en rationell bråkfunktion.

Exempel 4.

Rita grafen för funktionen y = 1/x 2 .

Lösning.

Vi använder grafen för funktionen y = x 2 för att konstruera en graf av y = 1/x 2 och använder tekniken att "dela" graferna.

Domän D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Värdeintervall E(y) = (0; +∞).

Det finns inga skärningspunkter med axlarna. Funktionen är jämn. Ökar för alla x från intervallet (-∞; 0), minskar för x från 0 till +∞.

Svar: Bild 2.

Exempel 5.

Rita funktionen y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Lösning.

Domän D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Här använde vi tekniken faktorisering, reduktion och reduktion till en linjär funktion.

Svar: Bild 3.

Exempel 6.

Rita funktionen y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Lösning.

Definitionsdomänen är D(y) = R. Eftersom funktionen är jämn är grafen symmetrisk kring ordinatan. Innan vi bygger en graf, låt oss omvandla uttrycket igen och markera hela delen:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Observera att isolering av heltalsdelen i formeln för en rationell bråkfunktion är en av de viktigaste när du konstruerar grafer.

Om x → ±∞, då y → 1, dvs. den räta linjen y = 1 är en horisontell asymptot.

Svar: Bild 4.

Exempel 7.

Låt oss betrakta funktionen y = x/(x 2 + 1) och försöka hitta dess största värde, dvs. den högsta punkten på den högra halvan av grafen. För att korrekt konstruera denna graf räcker inte dagens kunskap. Uppenbarligen kan vår kurva inte "stiga" mycket högt, eftersom nämnaren börjar snabbt "överta" täljaren. Låt oss se om värdet på funktionen kan vara lika med 1. För att göra detta måste vi lösa ekvationen x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Denna ekvation har inga reella rötter. Det betyder att vårt antagande är felaktigt. För att hitta det största värdet på funktionen måste du ta reda på vid vilket största A ekvationen A = x/(x 2 + 1) kommer att ha en lösning. Låt oss ersätta den ursprungliga ekvationen med en kvadratisk: Ax 2 – x + A = 0. Denna ekvation har en lösning när 1 – 4A 2 ≥ 0. Härifrån hittar vi det största värdet A = 1/2.

Svar: Figur 5, max y(x) = ½.

Har du fortfarande frågor? Vet du inte hur man plottar funktioner?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.