مشتق التابع y f x. قواعد الحساب المشتقة

من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة مشتقها وطرق حسابها. المشتق من أهم مفاهيم التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه الفيزيائي والهندسي ، كيف نحسب مشتقة دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) تعطى في بعض الفترات (أ ، ب) ... النقاط х و х0 تنتمي إلى هذا الفاصل الزمني. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - الفرق بين قيمها x-x0 ... هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق في قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:

مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

خلاف ذلك ، يمكن كتابتها على النحو التالي:

ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ وإليك ما يلي:

مشتق الوظيفة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للوظيفة عند هذه النقطة.

المعنى المادي للمشتق: المشتق الزمني للمسار يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع ، منذ أيام الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص س \u003d و (ر) و الوقت ر ... متوسط \u200b\u200bالسرعة خلال فترة زمنية:

لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: إخراج ثابت

يمكن نقل الثابت خارج علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، خذ كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .

مثال. دعنا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف

مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق اختلاف الوظائف.

لن نعطي دليلًا على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.

أوجد مشتق دالة:

القاعدة الثالثة: مشتق من حاصل ضرب التوابع

يتم حساب مشتق ناتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: أوجد مشتق دالة:

القرار:

من المهم أن نقول هنا عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي منتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

في المثال أعلاه ، نلتقي بالتعبير:

في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نعتبر المشتق أولاً وظيفة خارجية بالوسيطة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة نفسها فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتق خارج القسمة لوظيفتين

صيغة تحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:

حاولنا إخباركم عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس سهلاً كما يبدو ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

لأي سؤال حول هذا الموضوع وغيره ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب اختبار والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تكن قد قمت بحساب المشتقات من قبل.

إذا اتبعنا التعريف ، فإن مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة Δ ذ لزيادة الوسيطة Δ x:

يبدو أن كل شيء واضح. لكن حاول أن تحسب باستخدام هذه الصيغة ، على سبيل المثال ، مشتق دالة f(x) = x 2 + (2x + 3) ه x الخطيئة x... إذا كنت تفعل كل شيء بحكم التعريف ، فبعد بضع صفحات من العمليات الحسابية ، سوف تغفو. لذلك ، هناك طرق أبسط وأكثر فعالية.

بادئ ذي بدء ، نلاحظ أنه يمكن تمييز ما يسمى بالوظائف الأولية عن مجموعة الوظائف المتنوعة. هذه تعبيرات بسيطة نسبيًا ، تم حساب مشتقاتها وإدخالها في الجدول منذ فترة طويلة. يسهل تذكر مثل هذه الوظائف - إلى جانب مشتقاتها.

مشتقات الدوال الابتدائية

الوظائف الابتدائية هي كل شيء مدرج أدناه. يجب معرفة مشتقات هذه الوظائف عن ظهر قلب. علاوة على ذلك ، فإن حفظها ليس بالأمر الصعب على الإطلاق - وهذا هو سبب كونها ابتدائية.

إذن ، مشتقات الدوال الأولية:

اسم	وظيفة	المشتق
ثابت	f(x) = ج, ج ∈ ر	0 (نعم ، صفر!)
الدرجة العقلانية	f(x) = x ن	ن · x ن − 1
التجويف	f(x) \u003d الخطيئة x	كوس x
جيب التمام	f(x) \u003d كوس x	- خطيئة x (ناقص شرط)
الظل	f(x) \u003d tg x	1 / كوس 2 x
ظل التمام	f(x) \u003d ctg x	- 1 / الخطيئة 2 x
اللوغاريتم الطبيعي	f(x) \u003d ln x	1/x
اللوغاريتم التعسفي	f(x) \u003d تسجيل الدخول أ x	1/(x Ln أ)
دالة أسية	f(x) = ه x	ه x (لا شيء تغير)

إذا تم ضرب الدالة الأولية بواسطة ثابت تعسفي ، فسيتم أيضًا حساب مشتق الوظيفة الجديدة بسهولة:

(ج · f)’ = ج · f ’.

بشكل عام ، يمكن نقل الثوابت خارج علامة الاشتقاق. على سبيل المثال:

(2x 3) '\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 3 x 2 = 6x 2 .

من الواضح أنه يمكن إضافة الوظائف الأولية إلى بعضها البعض ، ومضاعفتها ، وتقسيمها - وأكثر من ذلك بكثير. هذه هي الطريقة التي ستظهر بها الوظائف الجديدة ، والتي لم تعد أولية بشكل خاص ، ولكنها أيضًا قابلة للتمييز وفقًا لقواعد معينة. تمت مناقشة هذه القواعد أدناه.

مشتق المجموع والفرق

دعونا وظائف f(x) و ز(x) ، ومشتقاته معروفة لنا. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك إيجاد مشتق مجموع واختلاف هذه الدوال:

1. (f + ز)’ = f ’ + ز ’
2. (f − ز)’ = f ’ − ز ’

لذا ، فإن مشتق مجموع (فرق) وظيفتين يساوي مجموع (فرق) المشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. على سبيل المثال، ( f + ز + ح)’ = f ’ + ز ’ + ح ’.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم "العنصر السلبي". لذلك الاختلاف f − ز يمكن إعادة كتابتها كمجموع f + (1) ز، وبعد ذلك تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

f(x) = x 2 + الخطيئة x ؛ ز(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

وظيفة f(x) هو مجموع وظيفتين أساسيتين ، لذلك:

f ’(x) = (x 2 + الخطيئة x)’ = (x 2) "+ (الخطيئة x)’ = 2x + كوس س ؛

نحن نتحدث بالمثل عن الوظيفة ز(x). يوجد فقط ثلاثة مصطلحات (من وجهة نظر الجبر):

ز ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

إجابة:
f ’(x) = 2x + كوس س ؛
ز ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

مشتق من العمل

الرياضيات علم منطقي ، لذلك يعتقد الكثيرون أنه إذا كان مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات ، فإن مشتق المنتج إضراب"\u003e يساوي حاصل ضرب المشتقات. لكنك أنت التين! مشتق المنتج يحسب باستخدام معادلة مختلفة تمامًا. وهي:

(f · ز) ’ = f ’ · ز + f · ز ’

الصيغة بسيطة ، ولكن غالبًا ما يتم تجاهلها. وليس فقط تلاميذ المدارس ، ولكن أيضًا الطلاب. النتيجة هي حل المشاكل بشكل غير صحيح.

مهمة. ابحث عن مشتقات الدوال: f(x) = x 3 كوس س ؛ ز(x) = (x 2 + 7x - 7) ه x .

وظيفة f(x) هو نتاج وظيفتين أساسيتين ، لذلك كل شيء بسيط:

f ’(x) = (x 3 كوس x)’ = (x 3) "جيب التمام x + x 3 (كوس x)’ = 3x 2 كوس x + x 3 (- الخطيئة x) = x 2 (3cos x − x الخطيئة x)

الوظيفة ز(x) العامل الأول أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لكن المخطط العام لا يتغير من هذا. من الواضح أن العامل الأول للدالة ز(x) هي كثيرة الحدود ، ومشتقاتها هي مشتق المجموع. نحن لدينا:

ز ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) ه x)’ = (x 2 + 7x - 7) " ه x + (x 2 + 7x - 7) ( ه x)’ = (2x +7) ه x + (x 2 + 7x - 7) ه x = ه x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ه x = x(x + 9) ه x .

إجابة:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x الخطيئة x);
ز ’(x) = x(x + 9) ه x .

لاحظ أنه في الخطوة الأخيرة ، تم تحليل المشتق إلى عوامل. رسميًا ، هذا ليس ضروريًا ، لكن معظم المشتقات لا يتم حسابها من تلقاء نفسها ، ولكن من أجل التحقيق في الوظيفة. هذا يعني أنه سيتم معادلة المشتق كذلك بالصفر ، وسيتم توضيح علاماته ، وهكذا. في مثل هذه الحالة ، من الأفضل أن يكون لديك تعبير عامل.

إذا كانت هناك وظيفتان f(x) و ز(x) و ز(x) ≠ 0 في المجموعة التي تهمنا ، يمكننا تحديد وظيفة جديدة ح(x) = f(x)/ز(x). لمثل هذه الوظيفة ، يمكنك أيضًا العثور على مشتق:

ليس ضعيفا ، أليس كذلك؟ من أين أتى الطرح؟ لماذا ا ز 2؟ ومثل هذا! هذه واحدة من أصعب الصيغ - لا يمكنك اكتشافها بدون زجاجة. لذلك ، من الأفضل دراستها بأمثلة محددة.

مهمة. ابحث عن مشتقات الدوال:

يحتوي بسط كل كسر ومقامه على وظائف أولية ، لذلك كل ما نحتاجه هو صيغة مشتق حاصل القسمة:

حسب التقاليد ، فإن تحليل البسط إلى عوامل سوف يبسط الإجابة بشكل كبير:

ليست الوظيفة المعقدة بالضرورة صيغة طولها نصف كيلومتر. على سبيل المثال ، يكفي أن تأخذ الوظيفة f(x) \u003d الخطيئة x واستبدل المتغير xدعنا نقول x 2 + ln x... سوف تتحول f(x) \u003d الخطيئة ( x 2 + ln x) هي وظيفة معقدة. يحتوي أيضًا على مشتق ، لكنه لن يعمل على العثور عليه وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه.

كيف تكون؟ في مثل هذه الحالات ، يساعد الاستبدال المتغير وصيغة مشتق دالة معقدة:

f ’(x) = f ’(ر) · ر '، اذا كان x لقد بدل بواسطة ر(x).

كقاعدة عامة ، مع فهم هذه الصيغة ، يكون الموقف أكثر حزنًا من مشتق حاصل القسمة. لذلك ، من الأفضل أيضًا شرحها بأمثلة محددة ، مع وصف مفصل لكل خطوة.

مهمة. ابحث عن مشتقات الدوال: f(x) = ه 2x + 3 ; ز(x) \u003d الخطيئة ( x 2 + ln x)

لاحظ أنه إذا كانت الوظيفة f(x) بدلاً من التعبير 2 x + 3 سيكون سهلاً x، ثم نحصل على دالة أولية f(x) = ه x ... لذلك ، نجري استبدالًا: دعنا 2 x + 3 = ر, f(x) = f(ر) = ه ر ... نبحث عن مشتق دالة معقدة بالصيغة:

f ’(x) = f ’(ر) · ر ’ = (ه ر)’ · ر ’ = ه ر · ر ’

والآن - الاهتمام! نقوم بالاستبدال العكسي: ر = 2x + 3. نحصل على:

f ’(x) = ه ر · ر ’ = ه 2x + 3 (2 x + 3)’ = ه 2x + 3 2 \u003d 2 ه 2x + 3

الآن دعونا نتعامل مع الدالة ز(x). من الواضح أنك بحاجة إلى الاستبدال x 2 + ln x = ر... نحن لدينا:

ز ’(x) = ز ’(ر) · ر '\u003d (الخطيئة ر)’ · ر '\u003d كوس ر · ر ’

الاستبدال العكسي: ر = x 2 + ln x... ثم:

ز ’(x) \u003d كوس ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '\u003d كوس ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

هذا كل شئ! كما يتضح من التعبير الأخير ، تم اختزال المشكلة برمتها لحساب المجموع المشتق.

إجابة:
f ’(x) \u003d 2 ه 2x + 3 ;
ز ’(x) = (2x + 1/x) كوس ( x 2 + ln x).

في كثير من الأحيان في دروسي أستخدم كلمة "ضربة" بدلاً من مصطلح "مشتق". على سبيل المثال ، أولي من المجموع يساوي مجموع الضربات. هل هذا أوضح؟ حسنا هذا جيد.

وبالتالي ، يتم تقليل حساب المشتق للتخلص من نفس السكتات الدماغية وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه. كمثال أخير ، دعنا نعود إلى مشتق الأس ذو الأس المنطقي:

(x ن)’ = ن · x ن − 1

قلة يعرفون ما هو الدور ن قد يكون عددًا كسريًا. على سبيل المثال ، الجذر هو x 0.5 ماذا لو كان هناك شيء خيالي تحت الجذر؟ مرة أخرى ، تحصل على دالة معقدة - مثل هذه الإنشاءات تحب الاستغناء عنها أعمال التحكم والامتحانات.

مهمة. أوجد مشتق دالة:

أولًا ، دعنا نعيد كتابة الجذر في صورة قوة ذات أس كسري:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

الآن نقوم بعمل بديل: دعونا x 2 + 8x − 7 = ر... نجد المشتق بالصيغة:

f ’(x) = f ’(ر) · ر ’ = (ر 0.5) " ر '\u003d 0.5 ر −0.5 ر ’.

نقوم بالاستبدال العكسي: ر = x 2 + 8x - 7. لدينا:

f ’(x) \u003d 0.5 ( x 2 + 8x - 7) −0.5 ( x 2 + 8x - 7) '\u003d 0.5 · (2 x +8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

أخيرًا ، عد إلى الجذور:

في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية تطبيق قواعد وقواعد التفاضل.

أمثلة. أوجد مشتقات الدوال.

1. ص \u003d س 7 + س 5-س 4 + س 3-س 2 + س -9. نحن نطبق القاعدة أنا، الصيغ 4 و 2 و 1... نحن نحصل:

ص '\u003d 7 س 6 + 5 س 4 -4 س 3 + 3 س 2 -2 س + 1.

2. ص \u003d 3 س 6 -2 س + 5. نحل بطريقة مماثلة ، باستخدام نفس الصيغ والصيغة 3.

ص '\u003d 3 ∙ 6 س 5 -2 \u003d 18 س 5 -2.

نحن نطبق القاعدة أنا، الصيغ 3, 5 و 6 و 1.

نحن نطبق القاعدة رابعا، الصيغ 5 و 1 .

في المثال الخامس حسب القاعدة أنا مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات ، وقد وجدنا للتو مشتق المصطلح الأول (مثال 4 ) ، لذلك سنجد المشتقات الثانيو الثالث شروط و ل 1st المصطلح ، يمكننا كتابة النتيجة على الفور.

التفريق الثاني و الثالث الشروط وفقًا للصيغة 4 ... للقيام بذلك ، نقوم بتحويل جذور الدرجتين الثالثة والرابعة في المقام إلى درجات ذات أسس سالبة ، ثم عن طريق 4 الصيغة ، نوجد مشتقات القوى.

ألق نظرة على هذا المثال والنتيجة. هل اشتعلت هذا النمط؟ حسن. هذا يعني أن لدينا صيغة جديدة ويمكننا إضافتها إلى جدول المشتقات.

لنحل المثال السادس ونشتق صيغة أخرى.

نحن نستخدم القاعدة رابعا والصيغة 4 ... اختصر الكسور الناتجة.

ننظر إلى هذه الدالة ومشتقاتها. أنت ، بالطبع ، فهمت النمط ومستعد لتسمية الصيغة:

تعلم الصيغ الجديدة!

أمثلة.

1. أوجد زيادة الوسيطة وزيادة الدالة y \u003d × 2إذا كانت القيمة الأولية للوسيطة 4 و الجديد - 4,01 .

القرار.

قيمة الوسيطة الجديدة س \u003d س 0 + Δx... استبدل البيانات: 4.01 \u003d 4 + Δx ، ومن ثم زيادة الوسيطة Δx\u003d 4.01-4 \u003d 0.01. زيادة دالة ، حسب التعريف ، تساوي الفرق بين القيم الجديدة والسابقة للوظيفة ، أي Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). بما أن لدينا وظيفة ص \u003d س 2ثم Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx + (Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · Δx + (Δx) 2 \u003d

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

إجابة: زيادة الحجة Δx\u003d 0.01 ؛ زيادة الوظيفة Δy=0,0801.

يمكن العثور على زيادة الدالة بشكل مختلف: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2-4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. أوجد ميل المماس لرسم بياني للدالة ص \u003d و (س) في هذه النقطة × 0، اذا كان و "(× 0) \u003d 1.

القرار.

القيمة المشتقة عند نقطة التماس × 0 وهي قيمة ظل زاوية ميل الظل (المعنى الهندسي للمشتق). نحن لدينا: f "(x 0) \u003d tanα \u003d 1 → α \u003d 45 ° ،لان tg45 درجة \u003d 1.

إجابة: يتشكل المماس للرسم البياني لهذه الوظيفة مع الاتجاه الإيجابي لمحور Ox بزاوية تساوي 45 درجة.

3. اشتق صيغة مشتق دالة ص \u003d س ن.

التفاضل هي عملية إيجاد مشتق دالة.

عند البحث عن المشتقات ، يتم استخدام الصيغ التي تم اشتقاقها بناءً على تعريف المشتق ، بنفس الطريقة التي اشتقنا بها معادلة الدرجة المشتقة: (س ن) "\u003d nx n-1.

هذه هي الصيغ.

جدول المشتقات سيكون الحفظ أسهل عن طريق نطق الصيغ اللفظية:

1. مشتق الثابت هو صفر.

2. حد x يساوي واحدًا.

3. يمكن أخذ العامل الثابت خارج علامة المشتق.

4. مشتق الدرجة يساوي حاصل ضرب أس هذه الدرجة بالدرجة التي لها نفس الأساس ، لكن الأس أقل بواحد.

5. مشتق الجذر يساوي واحدًا على اثنين من نفس الجذور.

6. مشتق الوحدة على x يساوي سالب واحد على x تربيع.

7. مشتق الجيب يساوي جيب التمام.

8. مشتق جيب التمام يساوي سالب الجيب.

9. مشتق الظل يساوي واحدًا على مربع جيب التمام.

10. مشتق ظل التمام يساوي سالب واحد مقسومًا على مربع الجيب.

نحن نعلم قواعد التمايز.

1. مشتق المجموع الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات المصطلحات.

2. مشتق المنتج يساوي حاصل ضرب مشتق العامل الأول بالثاني زائد حاصل ضرب العامل الأول بمشتق الثاني.

3. مشتق "y" مقسومًا على "ve" يساوي الكسر ، في بسطه "y هو الحد مضروبًا في" ve "ناقص" y مضروبًا في الشرطة "، وفي المقام -" ve تربيع ".

4. حالة خاصة للصيغة 3.

نحن نعلم معا!

الصفحة 1 من 1 1

حساب المشتق هي واحدة من أهم العمليات في حساب التفاضل. يوجد أدناه جدول لإيجاد مشتقات وظائف بسيطة. لمزيد من قواعد التفاضل المعقدة ، راجع الدروس الأخرى:

• جدول مشتق للدوال الأسية واللوغاريتمية

استخدم هذه الصيغ كقيم مرجعية. سوف يساعدون في حل المعادلات والمشاكل التفاضلية. في الصورة ، في جدول مشتقات الوظائف البسيطة ، هناك "ورقة غش" للحالات الرئيسية لإيجاد مشتق في شكل يمكن فهمه للاستخدام ، إلى جانب توضيحات لكل حالة.

مشتقات الوظائف البسيطة

1. مشتق رقم هو صفر
الصورة \u003d 0
مثال:
5´ \u003d 0

تفسير:
يوضح المشتق المعدل الذي تتغير به قيمة الوظيفة عندما تتغير الوسيطة. نظرًا لأن الرقم لا يتغير بأي شكل من الأشكال تحت أي ظرف من الظروف ، فإن معدل تغيره دائمًا هو صفر.

2. مشتق متغير يساوي واحد
س´ \u003d 1

تفسير:
لكل زيادة في الوسيطة (س) بمقدار واحد ، يتم زيادة قيمة الوظيفة (نتيجة الحسابات) بنفس المقدار. وبالتالي ، فإن معدل التغيير في قيمة الدالة y \u003d x يساوي تمامًا معدل التغيير في قيمة الوسيطة.

3. مشتق المتغير والعامل يساوي هذا العامل
sx´ \u003d ق
مثال:
(3x) ´ \u003d 3
(2x) ´ \u003d 2
تفسير:
في هذه الحالة ، في كل مرة تتغير وسيطة الوظيفة ( x) تزيد قيمته (ص) في من عند زمن. وبالتالي ، فإن معدل تغيير قيمة الوظيفة بالنسبة إلى معدل تغيير الوسيطة يساوي تمامًا من عند.

من أين يتبع ذلك
(ج س + ب) "\u003d ج
أي أن تفاضل الدالة الخطية y \u003d kx + b يساوي ميل الخط (k).

4. مشتق Modulo لمتغير يساوي حاصل قسمة هذا المتغير في معاملته
| x | "\u003d x / | x | بشرط أن x ≠ 0
تفسير:
نظرًا لأن مشتق المتغير (انظر الصيغة 2) يساوي واحدًا ، فإن مشتق المعامل يختلف فقط في أن قيمة معدل تغير الدالة تتغير إلى العكس عند عبور نقطة الأصل (حاول رسم رسم بياني للدالة y \u003d | x | وانظر بنفسك. القيمة وإرجاع التعبير x / | x |. عند x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - واحد. أي ، مع القيم السالبة للمتغير x ، مع كل زيادة في التغيير في الوسيطة ، تقل قيمة الوظيفة بنفس القيمة بالضبط ، ومع القيم الموجبة ، على العكس ، تزيد ، ولكن بنفس القيمة بالضبط.

5. مشتق من متغير في القوة يساوي حاصل ضرب عدد هذه الدرجة والمتغير في الدرجة مخفضًا بواحد
(x ج) "\u003d cx c-1، بشرط أن يتم تعريف x c و cx c-1 و c 0
مثال:
(× 2) "\u003d 2x
(× 3) "\u003d 3 × 2
لحفظ الصيغة:
ضع قوة المتغير لأسفل كعامل ، ثم قلل القوة نفسها بمقدار واحد. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى x 2 - كان الاثنان أمام x ، ثم أعطتنا الدرجة المخفضة (2-1 \u003d 1) 2x فقط. حدث نفس الشيء مع x 3 - نحن "نتحرك لأسفل" الثلاثة ، وننقصها بمقدار واحد وبدلاً من المكعب لدينا مربع ، أي 3x 2. قليلا "غير علمي" ولكن من السهل جدا تذكر.

6. مشتق من كسر 1 / س
(1 / س) "\u003d - 1 / × 2
مثال:
حيث يمكن اعتبار الكسر على أنه رفع إلى قوة سالبة
(1 / x) "\u003d (x -1)" ، إذًا يمكنك تطبيق الصيغة من القاعدة 5 من جدول المشتقات
(س -1) "\u003d -1 س -2 \u003d - 1 / س 2

7. مشتق من كسر مع متغير درجة اعتباطية في المقام
(1 / س ج) "\u003d - ج / س ج + 1
مثال:
(1 / × 2) "\u003d - 2 / × 3

8. مشتق من الجذر (مشتق من المتغير تحت الجذر التربيعي)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) أو 1/2 × -1 / 2
مثال:
(√x) "\u003d (x 1/2)" تعني أنه يمكنك تطبيق الصيغة من القاعدة 5
(× 1/2) "\u003d 1/2 × -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. مشتق من متغير تحت جذر عشوائي
(n √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

المعلومات الشخصية تعني البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما ترسل طلبًا على الموقع ، قد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك والإبلاغ عن العروض الفريدة والعروض الترويجية والأحداث الأخرى والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ورسائل مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على الجوائز أو مسابقة أو حدث ترويجي مشابه ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

إفشاء المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• إذا كان من الضروري - وفقًا للقانون وأمر المحكمة و / أو إجراءات المحكمة و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمان أو لإنفاذ القانون أو لأسباب أخرى مهمة اجتماعيًا.
• في حالة إعادة التنظيم أو الاندماج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث المناسب - المحال إليه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

من أجل التأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا نقدم قواعد السرية والأمان لموظفينا ، ونراقب بدقة تنفيذ تدابير السرية.