Parallella linjer. Vinkel mellan raka linjer

I den här artikeln kommer vi först att definiera vinkeln mellan korsande linjer och tillhandahålla en grafisk illustration. Därefter kommer vi att svara på frågan: "Hur hittar man vinkeln mellan korsande linjer om koordinaterna för riktningsvektorerna för dessa linjer i ett rektangulärt koordinatsystem är kända"? Avslutningsvis ska vi träna på att hitta vinkeln mellan skärande linjer när vi löser exempel och problem.

Sidnavigering.

Vinkel mellan korsande räta linjer - definition.

Vi kommer att närma oss att bestämma vinkeln mellan korsande räta linjer gradvis.

Låt oss först komma ihåg definitionen av sneda linjer: två linjer i tredimensionellt utrymme kallas korsning, om de inte ligger i samma plan. Av denna definition följer att skärande linjer inte skär varandra, inte är parallella och dessutom inte sammanfaller, annars skulle de båda ligga i ett visst plan.

Låt oss ge ytterligare hjälpresonemang.

Låt två skärande linjer a och b ges i tredimensionellt rum. Låt oss konstruera räta linjer a 1 och b 1 så att de är parallella med de sneda linjerna a respektive b och passerar genom någon punkt i rymden M 1 . Således får vi två skärande linjer a 1 och b 1. Låt vinkeln mellan skärande linjer a 1 och b 1 vara lika med vinkel . Låt oss nu konstruera linjerna a 2 och b 2, parallella med de sneda linjerna a respektive b, som går genom en punkt M 2, som skiljer sig från punkten M 1. Vinkeln mellan de skärande linjerna a 2 och b 2 kommer också att vara lika med vinkeln. Detta påstående är sant, eftersom räta linjer a 1 och b 1 kommer att sammanfalla med räta linjer a 2 respektive b 2 om en parallell överföring utförs, i vilken punkt M 1 flyttas till punkt M 2. Måttet på vinkeln mellan två räta linjer som skär i en punkt M, respektive parallella med de givna skärande linjerna, beror alltså inte på valet av punkt M.

Nu är vi redo att definiera vinkeln mellan skärande linjer.

Definition.

Vinkel mellan korsande linjerär vinkeln mellan två skärande linjer som är parallella med de givna skärande linjerna.

Av definitionen följer att vinkeln mellan korsande linjer inte heller kommer att bero på valet av punkt M. Därför kan vi som en punkt M ta vilken punkt som helst som hör till en av de skärande linjerna.

Låt oss ge en illustration av bestämning av vinkeln mellan skärande linjer.

Hitta vinkeln mellan skärande linjer.

Eftersom vinkeln mellan skärande linjer bestäms genom vinkeln mellan skärande linjer, reduceras att hitta vinkeln mellan skärande linjer till att hitta vinkeln mellan motsvarande skärande linjer i tredimensionellt rum.

Utan tvekan är de metoder som studeras på geometrilektionerna på gymnasiet lämpliga för att hitta vinkeln mellan skärande linjer. Det vill säga, efter att ha slutfört de nödvändiga konstruktionerna kan du ansluta den önskade vinkeln med vilken vinkel som helst som är känd från villkoret, baserat på figurernas likhet eller likhet, i vissa fall kommer det att hjälpa cosinussatsen, och ibland leder till resultatet definition av sinus, cosinus och tangens för en vinkel rät triangel.

Det är dock mycket bekvämt att lösa problemet med att hitta vinkeln mellan korsande linjer med hjälp av koordinatmetoden. Det är vad vi ska överväga.

Låt Oxyz introduceras i det tredimensionella rummet (även om du i många problem måste gå in i det själv).

Låt oss sätta oss en uppgift: hitta vinkeln mellan korsningslinjerna a och b, som motsvarar några ekvationer av en linje i rymden i det rektangulära koordinatsystemet Oxyz.

Låt oss lösa det.

Låt oss ta en godtycklig punkt i det tredimensionella rummet M och anta att räta linjer a 1 och b 1 passerar genom den, parallellt med de korsande räta linjerna a respektive b. Då är den erforderliga vinkeln mellan de skärande linjerna a och b lika med vinkeln mellan de skärande linjerna a 1 och b 1 per definition.

Så vi behöver bara hitta vinkeln mellan skärande linjer a 1 och b 1. För att tillämpa formeln för att hitta vinkeln mellan två skärande linjer i rymden behöver vi känna till koordinaterna för riktningsvektorerna för linjerna a 1 och b 1.

Hur kan vi få dem? Och det är väldigt enkelt. Definitionen av riktningsvektorn för en rät linje tillåter oss att hävda att uppsättningarna av riktningsvektorer för parallella linjer sammanfaller. Därför kan riktningsvektorerna för räta linjer a 1 och b 1 tas som riktningsvektorer Och räta linjer a respektive b.

Så, Vinkeln mellan två skärande linjer a och b beräknas med formeln
, Var Och är riktningsvektorerna för räta linjer a respektive b.

Formel för att hitta cosinus för vinkeln mellan korsande linjer a och b har formen .

Låter dig hitta sinus för vinkeln mellan korsande linjer om cosinus är känd: .

Det återstår att analysera lösningarna på exemplen.

Exempel.

Hitta vinkeln mellan korsningslinjerna a och b, som definieras i Oxyz rektangulära koordinatsystem av ekvationerna Och .

Lösning.

De kanoniska ekvationerna för en rät linje i rymden låter dig omedelbart bestämma koordinaterna för riktningsvektorn för denna räta linje - de ges av siffrorna i bråkens nämnare, det vill säga, . Parametriska ekvationer för en rät linje i rymden gör det också möjligt att omedelbart skriva ner koordinaterna för riktningsvektorn - de är lika med koefficienterna framför parametern, det vill säga - direkt vektor . Således har vi alla nödvändiga data för att tillämpa formeln med vilken vinkeln mellan skärande linjer beräknas:

Svar:

Vinkeln mellan de givna skärande linjerna är lika med .

Exempel.

Hitta sinus och cosinus för vinkeln mellan de korsande linjerna på vilka kanterna AD och BC på pyramiden ABCD ligger, om koordinaterna för dess hörn är kända: .

Lösning.

Riktningsvektorerna för de korsande linjerna AD och BC är vektorerna och . Låt oss beräkna deras koordinater som skillnaden mellan motsvarande koordinater för vektorns slut- och början:

Enligt formeln vi kan beräkna cosinus för vinkeln mellan de angivna korsningslinjerna:

Låt oss nu beräkna sinus för vinkeln mellan de korsande linjerna:

Detta material ägnas åt ett sådant koncept som vinkeln mellan två korsande linjer. I det första stycket kommer vi att förklara vad det är och visa det i illustrationer. Sedan kommer vi att titta på de sätt på vilka du kan hitta sinus, cosinus för denna vinkel och själva vinkeln (vi kommer separat att överväga fall med ett plan och tredimensionellt utrymme), vi kommer att ge de nödvändiga formlerna och visa med exempel exakt hur de används i praktiken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

För att förstå vilken vinkel som bildas när två linjer skär varandra måste vi komma ihåg själva definitionen av vinkel, vinkelräthet och skärningspunkt.

Definition 1

Vi kallar två linjer som skär varandra om de har en gemensam punkt. Denna punkt kallas skärningspunkten mellan två linjer.

Varje rak linje delas av en skärningspunkt i strålar. Båda räta linjerna bildar 4 vinklar, varav två är vertikala och två är angränsande. Om vi ​​vet måttet på en av dem kan vi bestämma de återstående.

Låt oss säga att vi vet att en av vinklarna är lika med α. I detta fall kommer vinkeln som är vertikal i förhållande till den också att vara lika med α. För att hitta de återstående vinklarna måste vi beräkna skillnaden 180 ° - α. Om α är lika med 90 grader blir alla vinklar räta. Linjer som skär i räta vinklar kallas vinkelräta (en separat artikel ägnas åt begreppet vinkelräthet).

Ta en titt på bilden:

Låt oss gå vidare till att formulera huvuddefinitionen.

Definition 2

Vinkeln som bildas av två skärande linjer är måttet på den minsta av de 4 vinklarna som bildar dessa två linjer.

En viktig slutsats måste dras från definitionen: storleken på vinkeln i detta fall kommer att uttryckas med valfritt reellt tal i intervallet (0, 90]. Om linjerna är vinkelräta, kommer vinkeln mellan dem i alla fall att vara lika med 90 grader.

Förmågan att hitta måttet på vinkeln mellan två skärande linjer är användbar för att lösa många praktiska problem. Lösningsmetoden kan väljas från flera alternativ.

Till att börja med kan vi ta geometriska metoder. Om vi ​​vet något om kompletterande vinklar, så kan vi relatera dem till den vinkel vi behöver med hjälp av egenskaperna hos lika eller liknande figurer. Till exempel, om vi känner till sidorna i en triangel och behöver beräkna vinkeln mellan linjerna på vilka dessa sidor är belägna, så är cosinussatsen lämplig för att lösa det. Om vi ​​har en rätvinklig triangel i vårt tillstånd, måste vi för beräkningar också känna till sinus, cosinus och tangens för vinkeln.

Koordinatmetoden är också mycket bekväm för att lösa problem av denna typ. Låt oss förklara hur man använder det korrekt.

Vi har ett rektangulärt (kartesiskt) koordinatsystem O x y, där två räta linjer är givna. Låt oss beteckna dem med bokstäverna a och b. De räta linjerna kan beskrivas med hjälp av några ekvationer. De ursprungliga linjerna har en skärningspunkt M. Hur bestämmer man den erforderliga vinkeln (låt oss beteckna den α) mellan dessa raka linjer?

Låt oss börja med att formulera grundprincipen för att hitta en vinkel under givna förutsättningar.

Vi vet att begreppet rät linje är nära besläktat med begrepp som en riktningsvektor och en normalvektor. Om vi ​​har en ekvation för en viss linje kan vi ta koordinaterna för dessa vektorer från den. Vi kan göra detta för två korsande linjer samtidigt.

Vinkeln som täcks av två skärande linjer kan hittas med:

• vinkel mellan riktningsvektorer;
• vinkel mellan normalvektorer;
• vinkeln mellan normalvektorn för en linje och riktningsvektorn för den andra.

Låt oss nu titta på varje metod separat.

1. Låt oss anta att vi har en linje a med en riktningsvektor a → = (a x, a y) och en linje b med en riktningsvektor b → (b x, b y). Låt oss nu plotta två vektorer a → och b → från skärningspunkten. Efter detta kommer vi att se att de kommer att ligga på var sin raka linje. Sedan har vi fyra alternativ för deras relativa upplägg. Se illustration:

Om vinkeln mellan två vektorer inte är trubbig, kommer det att vara den vinkel vi behöver mellan de skärande linjerna a och b. Om den är trubbig kommer den önskade vinkeln att vara lika med vinkeln intill vinkeln a →, b → ^. Således, α = a → , b → ^ om a → , b → ^ ≤ 90 ° och α = 180 ° - a → , b → ^ om a → , b → ^ > 90 ° .

Baserat på det faktum att cosinus för lika vinklar är lika, kan vi skriva om de resulterande likheterna enligt följande: cos α = cos a →, b → ^, om a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, om a →, b → ^ > 90 °.

I det andra fallet användes reduktionsformler. Således,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Låt oss skriva den sista formeln med ord:

Definition 3

Cosinus för vinkeln som bildas av två skärande räta linjer kommer att vara lika med modulen för cosinus för vinkeln mellan dess riktningsvektorer.

Den allmänna formen av formeln för cosinus för vinkeln mellan två vektorer a → = (a x , a y) och b → = (b x , b y) ser ut så här:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Från den kan vi härleda formeln för cosinus för vinkeln mellan två givna räta linjer:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Sedan kan själva vinkeln hittas med följande formel:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Här är a → = (a x , a y) och b → = (b x , b y) riktningsvektorerna för de givna linjerna.

Låt oss ge ett exempel på att lösa problemet.

Exempel 1

I ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan ges två skärande linjer a och b. De kan beskrivas med de parametriska ekvationerna x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R och x 5 = y - 6 - 3. Beräkna vinkeln mellan dessa linjer.

Lösning

Vi har en parametrisk ekvation i vårt tillstånd, vilket innebär att vi för denna linje omedelbart kan skriva ner koordinaterna för dess riktningsvektor. För att göra detta måste vi ta värdena för koefficienterna för parametern, dvs. den räta linjen x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R kommer att ha en riktningsvektor a → = (4, 1).

Den andra raden beskrivs med den kanoniska ekvationen x 5 = y - 6 - 3. Här kan vi ta koordinaterna från nämnarna. Således har denna linje en riktningsvektor b → = (5 , - 3) .

Därefter går vi direkt till att hitta vinkeln. För att göra detta, ersätt helt enkelt de befintliga koordinaterna för de två vektorerna i formeln ovan α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Vi får följande:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Svar: Dessa raka linjer bildar en vinkel på 45 grader.

Vi kan lösa ett liknande problem genom att hitta vinkeln mellan normalvektorer. Om vi ​​har en linje a med en normalvektor n a → = (n a x , n a y) och en linje b med en normalvektor n b → = (n b x , n b y), så blir vinkeln mellan dem lika med vinkeln mellan n a → och n b → eller vinkeln som kommer att ligga intill n a →, n b → ^. Denna metod visas på bilden:

Formler för att beräkna cosinus för vinkeln mellan skärande linjer och denna vinkel med hjälp av koordinaterna för normala vektorer ser ut så här:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + a n y 2 + n b 2 2

Här betecknar n a → och n b → normalvektorerna för två givna linjer.

Exempel 2

I ett rektangulärt koordinatsystem ges två räta linjer med hjälp av ekvationerna 3 x + 5 y - 30 = 0 och x + 4 y - 17 = 0. Hitta sinus och cosinus för vinkeln mellan dem och storleken på själva vinkeln.

Lösning

De ursprungliga linjerna specificeras med normallinjeekvationer av formen A x + B y + C = 0. Vi betecknar normalvektorn som n → = (A, B). Låt oss hitta koordinaterna för den första normalvektorn för en linje och skriva dem: n a → = (3, 5) . För den andra linjen x + 4 y - 17 = 0 kommer normalvektorn att ha koordinater n b → = (1, 4). Låt oss nu lägga till de erhållna värdena till formeln och beräkna summan:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Om vi ​​vet cosinus för en vinkel kan vi beräkna dess sinus med hjälp av den grundläggande trigonometriska identiteten. Eftersom vinkeln α som bildas av räta linjer inte är trubbig, är sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

I detta fall är α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Svar: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Låt oss analysera det sista fallet - att hitta vinkeln mellan räta linjer om vi känner till koordinaterna för riktningsvektorn för en rät linje och normalvektorn för den andra.

Låt oss anta att rät linje a har en riktningsvektor a → = (a x , a y) , och rät linje b har en normalvektor n b → = (n b x , n b y) . Vi måste sätta dessa vektorer åt sidan från skärningspunkten och överväga alla alternativ för deras relativa positioner. Se på bilden:

Om vinkeln mellan de givna vektorerna inte är mer än 90 grader, visar det sig att den kommer att komplettera vinkeln mellan a och b till en rät vinkel.

a → , n b → ^ = 90 ° - α om a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Om det är mindre än 90 grader får vi följande:

a → , n b → ^ > 90 ° , sedan a → , n b → ^ = 90 ° + α

Med hjälp av regeln om likhet för cosinus med lika vinklar skriver vi:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α för a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α för a → , n b → ^ > 90 ° .

Således,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Låt oss formulera en slutsats.

Definition 4

För att hitta sinus för vinkeln mellan två linjer som skär varandra på ett plan, måste du beräkna modulen för cosinus för vinkeln mellan riktningsvektorn för den första linjen och normalvektorn för den andra.

Låt oss skriva ner de nödvändiga formlerna. Hitta sinus för en vinkel:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Hitta själva vinkeln:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Här är a → riktningsvektorn för den första linjen, och n b → är normalvektorn för den andra.

Exempel 3

Två skärande linjer ges av ekvationerna x - 5 = y - 6 3 och x + 4 y - 17 = 0. Hitta skärningsvinkeln.

Lösning

Vi tar koordinaterna för guiden och normalvektorn från de givna ekvationerna. Det visar sig a → = (- 5, 3) och n → b = (1, 4). Vi tar formeln α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 och beräknar:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Observera att vi tog ekvationerna från föregående uppgift och fick exakt samma resultat, men på ett annat sätt.

Svar:α = a r c sin 7 2 34

Låt oss presentera ett annat sätt att hitta den önskade vinkeln med hjälp av vinkelkoefficienterna för givna räta linjer.

Vi har en linje a, som definieras i ett rektangulärt koordinatsystem med hjälp av ekvationen y = k 1 x + b 1, och en linje b, definierad som y = k 2 x + b 2. Dessa är ekvationer av linjer med lutningar. För att hitta skärningsvinkeln använder vi formeln:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, där k 1 och k 2 är lutningarna för de givna linjerna. För att erhålla denna post användes formler för att bestämma vinkeln genom koordinaterna för normalvektorer.

Exempel 4

Det finns två linjer som skär varandra i ett plan, givet av ekvationerna y = - 3 5 x + 6 och y = - 1 4 x + 17 4. Beräkna värdet på skärningsvinkeln.

Lösning

Vinkelkoefficienterna för våra linjer är lika med k 1 = - 3 5 och k 2 = - 1 4. Låt oss lägga till dem i formeln α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 och beräkna:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Svar:α = a r c cos 23 2 34

I slutsatserna av detta stycke bör det noteras att formlerna för att hitta vinkeln som ges här inte behöver läras utantill. För att göra detta räcker det att känna till koordinaterna för guiderna och/eller normalvektorerna för givna linjer och kunna bestämma dem med hjälp av olika typer av ekvationer. Men det är bättre att komma ihåg eller skriva ner formlerna för att beräkna cosinus för en vinkel.

Hur man beräknar vinkeln mellan skärande linjer i rymden

Beräkningen av en sådan vinkel kan reduceras till att beräkna koordinaterna för riktningsvektorerna och bestämma storleken på vinkeln som bildas av dessa vektorer. För sådana exempel används samma resonemang som vi gav tidigare.

Låt oss anta att vi har ett rektangulärt koordinatsystem beläget i tredimensionellt rymd. Den innehåller två raka linjer a och b med en skärningspunkt M. För att beräkna koordinaterna för riktningsvektorerna behöver vi känna till ekvationerna för dessa linjer. Låt oss beteckna riktningsvektorerna a → = (a x , a y , a z) och b → = (b x , b y , b z) . För att beräkna cosinus för vinkeln mellan dem använder vi formeln:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

För att hitta själva vinkeln behöver vi denna formel:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exempel 5

Vi har en linje definierad i det tredimensionella rummet med ekvationen x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Det är känt att det skär Oz-axeln. Beräkna skärningsvinkeln och cosinus för den vinkeln.

Lösning

Låt oss beteckna vinkeln som behöver beräknas med bokstaven α. Låt oss skriva ner koordinaterna för riktningsvektorn för den första räta linjen – a → = (1, - 3, - 2) . För applikataxeln kan vi ta koordinatvektorn k → = (0, 0, 1) som vägledning. Vi har fått de nödvändiga uppgifterna och kan lägga till dem i önskad formel:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Som ett resultat fann vi att vinkeln vi behöver kommer att vara lika med a r c cos 1 2 = 45 °.

Svar: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som krävs för att klara Unified State Exam i matematik med 60-65 poäng. Fullständigt alla uppgifter 1-13 i Profile Unified State Exam i matematik. Även lämplig för att klara Basic Unified State Examination i matematik. Om du vill klara Unified State Exam med 90-100 poäng måste du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!

Förberedelsekurs för Unified State Exam för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av Unified State Exam i matematik (de första 12 problemen) och Problem 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Exam, och varken en 100-poängsstudent eller en humaniorastudent kan klara sig utan dem.

All nödvändig teori. Snabba lösningar, fallgropar och hemligheter med Unified State Exam. Alla aktuella uppgifter i del 1 från FIPI Task Bank har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven för Unified State Exam 2018.

Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.

Hundratals Unified State Exam-uppgifter. Ordproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg algoritmer för att lösa problem. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av Unified State Examination uppgifter. Stereometri. Knepiga lösningar, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från början till problem 13. Förstå istället för att proppa. Tydliga förklaringar av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. En grund för att lösa komplexa problem i del 2 av Unified State Exam.

vinkelrätt av två linjer.

1. Om linjerna L 1 och L 2 ges av allmänna ekvationer

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 och A 2 x + B 2 y + C 2 = 0,

då är vinkeln mellan dem lika med vinkeln mellan deras normaler, det vill säga mellan vektorerna (A 1,B 1) och (A 2, B 2). Därav,

Villkoren för parallellitet och vinkelräthet hos räta linjer reduceras också till villkoren för parallellitet och vinkelräthet hos normaler:

Parallellt skick, (7.11)

- vinkelrätt tillstånd. (7.12).

2. Om linjerna ges av kanoniska ekvationer (7.5), i analogi med punkt 1 får vi:

, (7.13)

Parallellt tillstånd, (7.14)

- vinkelrätt tillstånd. (7.16).

Här och är riktningsvektorerna för linjerna.

3. Låt linjerna L 1 och L 2 ges av ekvationer med vinkelkoefficienter (7.8)

y = k 1 x + bi och y = k 2 x + b 2, där , och α 1 och α 2 är lutningsvinklarna för de räta linjerna mot Ox-axeln, då för vinkeln φ mellan de räta linjerna är likheten sann: φ = α 2 - α 1 . Sedan

Parallellitetsvillkoret har formen: k 1 =k 2 , (7.18)

vinkelrätt tillstånd – k 2 =-1/k 1 , (7,19)

eftersom tgφ i detta fall inte existerar.

Avstånd från en punkt till en linje.

Betrakta den räta linjen L och rita en vinkelrät OP till den från koordinaternas origo (vi antar att den räta linjen inte går genom koordinaternas origo). Låt n vara en enhetsvektor vars riktning sammanfaller med OR. Låt oss skapa en ekvation för rät linje L, som inkluderar två parametrar: p - längden på segmentet OP och α - vinkeln mellan OP och Ox.

För en punkt M som ligger på L, projektionen av vektorn OM på den räta linjen

OR är lika med p. Å andra sidan, pr n OM=n·OM. Eftersom den

n =(cos α ,synd α ), a OM ={x,y), vi förstår det

x cosα + y sinα = p, eller

x cosα + y sinα - sid = 0 - (7.20)

Linjens ekvation som krävs L, ringde vanligt

ekvation för en rät linje(termen "normalekvation" är relaterad

med det faktum att segmentet ELLERär vinkelrät eller normal mot en given linje).

Definition 7.2. Om d– avstånd från punkt A till en rak linje L, Den där avvikelseδ poäng A från den raka linjen L det finns ett nummer + d, om punkt A och ursprunget för koordinaterna ligger på motsatta sidor av linjen L, och nummer – d, om de ligger på ena sidan av L.

Sats 7.1. Punktavvikelse A(x 0,y 0) från den raka linjen L, givet av ekvation (7.20), bestäms av formeln:

Bevis.

Utsprång O Q vektor OA till riktningen ELLER lika med

Nej a =x 0 cosα + y 0 sinα. Därför δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=

x 0 cosα + y 0 sinα - sid, vilket är vad som behövde bevisas

Följd.

Avståndet från en punkt till en linje bestäms enligt följande:

Kommentar. För att få den allmänna ekvationen för en linje till normal form måste du multiplicera den med talet, och tecknet väljs mitt emot tecknet för den fria termen MED i den allmänna ekvationen för en rät linje. Detta nummer kallas normaliserande faktor.

Exempel. Hitta avståndet från punkten A(7,-3) till den räta linjen som ges av ekvationen

3X + 4på + 15 = 0. A² + B²=9+16=25, C=15>0, så normaliseringsfaktorn är lika med

1/5, och linjens normala ekvation är: Ersätter punktens koordinater i dess vänstra sida istället för x och y A, finner vi att dess avvikelse från den räta linjen är lika med

Därför avståndet från punkten A till denna linje är 4,8.

8. Rak linje och plan i rymden. Ekvationer av ett plan och en linje i rymden. Vinkel mellan plan. Vinkeln mellan en rät linje och ett plan.

Observera att många påståenden och formler om ett plan i rymden bevisas och härleds på samma sätt som när man studerar en linje på ett plan, därför kommer i dessa fall referenser att ges till föregående föreläsning.

Plan i rymden.

Låt oss först få ekvationen för planet som passerar genom punkten M 0 (x 0, y 0, z 0) vinkelrätt mot vektorn n = {A,B,C), kallad normalen till planet. För vilken punkt som helst på planet M(x, y, z) vektor M 0 M = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0) är ortogonal mot vektorn n , därför är deras skalära produkt lika med noll:

A(x - x 0) + B(å - å 0) + C(z - z 0) = 0. (8.1)

En ekvation erhålls som är uppfylld av vilken punkt som helst på ett givet plan - ekvation för ett plan som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor.

Efter att ha tagit med liknande kan vi skriva ekvation (8.1) i formuläret.

Det kommer att vara användbart för varje student som förbereder sig för Unified State Exam i matematik att upprepa ämnet "Hitta en vinkel mellan raka linjer." Som statistik visar, när de klarar certifieringstestet, orsakar uppgifter i denna del av stereometri svårigheter för ett stort antal elever. Samtidigt finns uppgifter som kräver att hitta vinkeln mellan räta linjer i Unified State Exam på både grundnivå och specialiserad nivå. Det betyder att alla ska kunna lösa dem.

Grundläggande ögonblick

Det finns 4 typer av relativa positioner för linjer i rymden. De kan sammanfalla, skära varandra, vara parallella eller skära varandra. Vinkeln mellan dem kan vara spetsig eller rak.

För att hitta vinkeln mellan raderna i Unified State Exam eller, till exempel, i lösning, kan skolbarn i Moskva och andra städer använda flera sätt att lösa problem i den här delen av stereometri. Du kan slutföra uppgiften med klassiska konstruktioner. För att göra detta är det värt att lära sig de grundläggande axiomen och satserna för stereometri. Eleven behöver kunna resonera logiskt och skapa ritningar för att föra uppgiften till ett planimetriskt problem.

Du kan också använda koordinatvektormetoden med enkla formler, regler och algoritmer. Det viktigaste i det här fallet är att utföra alla beräkningar korrekt. Shkolkovo utbildningsprojekt hjälper dig att finslipa dina problemlösningsförmåga i stereometri och andra delar av skolkursen.