Čo je a v grafe funkcie. Funkcie a grafy

Tento učebný materiál je len orientačný a týka sa širokého spektra tém. Článok poskytuje prehľad grafov základných elementárnych funkcií a zaoberá sa najdôležitejšou otázkou - ako správne a RÝCHLO zostaviť graf. V priebehu štúdia vyššej matematiky bez znalosti grafov základných elementárnych funkcií to bude ťažké, preto je veľmi dôležité zapamätať si, ako vyzerajú grafy paraboly, hyperboly, sínusu, kosínusu atď., a zapamätať si niektoré o významoch funkcií. Povieme si aj o niektorých vlastnostiach hlavných funkcií.

Nenárokujem si úplnosť a vedeckú dôkladnosť materiálov, dôraz sa bude klásť predovšetkým na prax - tie veci, s ktorými človek sa stretáva doslova na každom kroku, v akejkoľvek téme vyššej matematiky. Tabuľky pre figuríny? Dalo by sa to povedať aj vy.

Kvôli početným požiadavkám čitateľov klikateľný obsah:

K téme je navyše superkrátke zhrnutie
– osvojte si 16 typov grafov štúdiom 6 strán!

Vážne, šesť, dokonca aj mňa to prekvapilo. Tento súhrn obsahuje vylepšenú grafiku a je k dispozícii za symbolický poplatok. Súbor je vhodné vytlačiť, aby ste mali grafy vždy po ruke. Ďakujeme za podporu projektu!

A začnime hneď:

Ako správne zostaviť súradnicové osi?

V praxi testy takmer vždy vypĺňajú žiaci do samostatných zošitov, linajkových do štvorca. Prečo potrebujete kockované označenie? Koniec koncov, prácu je možné v zásade vykonať na listoch A4. A klietka je potrebná práve pre kvalitný a presný dizajn výkresov.

Akékoľvek kreslenie funkčného grafu začína súradnicovými osami.

Výkresy môžu byť dvojrozmerné alebo trojrozmerné.

Zoberme si najprv dvojrozmerný prípad Kartézsky pravouhlý súradnicový systém:

1) Nakreslite súradnicové osi. Os je tzv os x , a os je os y . Vždy sa ich snažíme nakresliť úhľadné a nie krivé. Šípky by tiež nemali pripomínať bradu Papa Carla.

2) Osy podpíšeme veľkými písmenami „X“ a „Y“. Nezabudnite si osy označiť.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí: nakreslite nulu a dve jednotky. Pri kreslení je najpohodlnejšia a najčastejšie používaná mierka: 1 jednotka = 2 bunky (výkres vľavo) - ak je to možné, držte sa jej. Z času na čas sa však stane, že sa nám kresba nezmestí na hárok zošita – vtedy zmenšíme mierku: 1 jednotka = 1 bunka (nákres vpravo). Je to zriedkavé, ale stáva sa, že mierka výkresu sa musí ešte viac zmenšiť (alebo zväčšiť).

NIE JE POTREBNÉ „guľomet“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Súradnicová rovina totiž nie je pamätníkom Descarta a študent nie je holubica. Dali sme nula A dve jednotky pozdĺž osí. Niekedy namiesto jednotky, je vhodné „označiť“ iné hodnoty, napríklad „dve“ na osi x a „tri“ na osi y - a tento systém (0, 2 a 3) bude tiež jednoznačne definovať súradnicovú sieť.

Odhadované rozmery výkresu je lepšie odhadnúť PRED konštrukciou výkresu. Takže napríklad, ak úloha vyžaduje nakreslenie trojuholníka s vrcholmi , , , potom je úplne jasné, že populárna mierka 1 jednotka = 2 bunky nebude fungovať. prečo? Pozrime sa na vec - tu budete musieť merať pätnásť centimetrov a kresba sa, samozrejme, nezmestí (alebo sa sotva zmestí) na list notebooku. Preto hneď vyberieme menšiu mierku: 1 jednotka = 1 bunka.

Mimochodom, asi centimetre a bunky notebooku. Je pravda, že 30 buniek notebooku obsahuje 15 centimetrov? Pre zábavu si pravítkom odmerajte v zápisníku 15 centimetrov. V ZSSR to možno platilo... Je zaujímavé, že ak tieto isté centimetre zmeriate horizontálne aj vertikálne, výsledky (v bunkách) budú iné! Prísne vzaté, moderné notebooky nie sú kockované, ale obdĺžnikové. Môže sa to zdať nezmysel, ale kresliť napríklad kružnicu kružidlom v takýchto situáciách je veľmi nepohodlné. Úprimne povedané, v takých chvíľach začínate uvažovať o správnosti súdruha Stalina, ktorého poslali do táborov na hackerské práce vo výrobe, nehovoriac o domácom automobilovom priemysle, padajúcich lietadlách či vybuchujúcich elektrárňach.

Keď už hovoríme o kvalite, alebo krátke odporúčanie na písacie potreby. Dnes je väčšina notebookov v predaji prinajmenšom úplná kravina. Z toho dôvodu, že sa namočia, a to nielen z gélových pier, ale aj z guľôčkových pier! Šetria peniaze na papieri. Na dokončenie testov odporúčam použiť notebooky z Arkhangelskej celulózky a papiera (18 listov, štvorec) alebo „Pyaterochka“, hoci je to drahšie. Je vhodné zvoliť gélové pero aj tá najlacnejšia čínska gélová náplň je oveľa lepšia ako guľôčkové pero, ktoré papier buď rozmazáva, alebo trhá. Jediné „konkurenčné“ guľôčkové pero, ktoré si pamätám, je Erich Krause. Píše jasne, krásne a dôsledne – či už s plným jadrom, alebo s takmer prázdnym.

Okrem toho: Vízia pravouhlého súradnicového systému očami analytickej geometrie je zahrnutá v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Základy vektorov, podrobné informácie o súradnicových štvrťrokoch nájdete v druhom odseku lekcie Lineárne nerovnosti.

3D puzdro

Tu je to takmer rovnaké.

1) Nakreslite súradnicové osi. štandard: os aplikovať – smeruje nahor, os – smeruje doprava, os – smeruje dole doľava prísne pod uhlom 45 stupňov.

2) Označte osi.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí. Mierka pozdĺž osi je dvakrát menšia ako mierka pozdĺž ostatných osí. Všimnite si tiež, že v pravom výkrese som použil neštandardný "zárez" pozdĺž osi (táto možnosť už bola spomenutá vyššie). Z môjho pohľadu je to presnejšie, rýchlejšie a estetickejšie – netreba hľadať stred bunky pod mikroskopom a „vyrezávať“ jednotku blízko začiatku súradníc.

Pri vytváraní 3D výkresu dávajte opäť prednosť mierke
1 jednotka = 2 bunky (nákres vľavo).

Načo sú všetky tieto pravidlá? Pravidlá sú na to aby sa porušovali. To je to, čo teraz urobím. Faktom je, že následné kresby článku urobím v Exceli a súradnicové osi budú z hľadiska správneho návrhu vyzerať nesprávne. Všetky grafy by som mohol kresliť ručne, ale v skutočnosti je strašidelné ich kresliť, pretože Excel sa zdráha kresliť ich oveľa presnejšie.

Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií

Lineárna funkcia je daná rovnicou. Graf lineárnych funkcií je priamy. Na zostrojenie priamky stačí poznať dva body.

Príklad 1

Zostrojte graf funkcie. Nájdime dva body. Ako jeden z bodov je výhodné zvoliť nulu.

Ak potom

Vezmime si ďalší bod, napríklad 1.

Ak potom

Pri plnení úloh sú súradnice bodov zvyčajne zhrnuté v tabuľke:

A samotné hodnoty sa počítajú ústne alebo na koncepte, kalkulačke.

Našli sme dva body, urobme nákres:

Pri príprave výkresu vždy podpisujeme grafiku.

Bolo by užitočné pripomenúť si špeciálne prípady lineárnej funkcie:

Všimnite si, ako som umiestnil podpisy, podpisy by nemali umožňovať nezrovnalosti pri štúdiu výkresu. V tomto prípade bolo krajne nežiaduce umiestniť podpis vedľa priesečníka čiar alebo vpravo dole medzi grafy.

1) Lineárna funkcia tvaru () sa nazýva priama úmernosť. Napríklad, . Počiatkom vždy prechádza graf priamej úmernosti. Zostrojenie priamky je teda zjednodušené – stačí nájsť len jeden bod.

2) Rovnica v tvare určuje priamku rovnobežnú s osou, najmä samotná os je daná rovnicou. Graf funkcie sa vykreslí okamžite, bez nájdenia bodov. To znamená, že záznam by sa mal chápať takto: „y sa vždy rovná –4 pre akúkoľvek hodnotu x“.

3) Rovnica v tvare určuje priamku rovnobežnú s osou, najmä samotná os je daná rovnicou. Okamžite sa vykreslí aj graf funkcie. Záznam by sa mal chápať takto: „x sa vždy pre akúkoľvek hodnotu y rovná 1.“

Niektorí sa budú pýtať, prečo si pamätať 6. ročník?! Je to tak, možno je to tak, ale v priebehu rokov praxe som stretol dobrý tucet študentov, ktorí boli zmätení úlohou zostrojiť graf ako alebo.

Zostrojenie priamky je najbežnejšou činnosťou pri vytváraní výkresov.

Priamka je podrobne diskutovaná v kurze analytickej geometrie a záujemcovia si môžu prečítať článok Rovnica priamky na rovine.

Graf kvadratickej, kubickej funkcie, graf polynómu

Parabola. Graf kvadratickej funkcie () predstavuje parabolu. Zvážte slávny prípad:

Pripomeňme si niektoré vlastnosti funkcie.

Takže riešenie našej rovnice: – v tomto bode sa nachádza vrchol paraboly. Prečo je to tak, nájdete v teoretickom článku o derivácii a lekcii o extrémoch funkcie. Medzitým vypočítajme zodpovedajúcu hodnotu „Y“:

Vrchol je teda v bode

Teraz nájdeme ďalšie body, pričom drzo využívame symetriu paraboly. Treba poznamenať, že funkcia – nie je rovnomerné, ale napriek tomu nikto nezrušil symetriu paraboly.

V akom poradí nájsť zvyšné body, myslím, že bude jasné z konečnej tabuľky:

Tento konštrukčný algoritmus možno obrazne nazvať „kyvadlo“ alebo princíp „tam a späť“ s Anfisou Čechovou.

Urobme výkres:

Zo skúmaných grafov prichádza na myseľ ďalšia užitočná funkcia:

Pre kvadratickú funkciu () platí:

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nahor.

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nadol.

Hlboké znalosti o krivke je možné získať na lekcii Hyperbola a parabola.

Kubická parabola je daná funkciou. Tu je kresba známa zo školy:

Uveďme hlavné vlastnosti funkcie

Graf funkcie

Predstavuje jednu z vetiev paraboly. Urobme výkres:

Základné vlastnosti funkcie:

V tomto prípade je os vertikálna asymptota pre graf hyperboly v .

Bolo by HRUBOU chybou, ak by ste pri kreslení nedbanlivo dovolili, aby sa graf pretínal s asymptotou.

Aj jednostranné limity nám hovoria, že hyperbola nie je zhora obmedzený A nie je obmedzený zdola.

Pozrime sa na funkciu v nekonečne: , to znamená, že ak sa začneme pohybovať pozdĺž osi doľava (alebo doprava) do nekonečna, potom budú „hry“ v usporiadanom kroku. nekonečne blízko priblížiť sa k nule a podľa toho aj vetvy hyperboly nekonečne blízko priblížiť sa k osi.

Takže os je horizontálna asymptota pre graf funkcie, ak „x“ smeruje k plus alebo mínus nekonečnu.

Funkcia je zvláštny, a preto je hyperbola symetrická podľa pôvodu. Táto skutočnosť je zrejmá z výkresu, navyše sa dá ľahko analyticky overiť: .

Graf funkcie tvaru () predstavuje dve vetvy hyperboly.

Ak , potom sa hyperbola nachádza v prvej a tretej súradnicovej štvrtine(pozri obrázok vyššie).

Ak , potom sa hyperbola nachádza v druhej a štvrtej súradnicovej štvrtine.

Naznačený vzor pobytu hyperboly je ľahko analyzovateľný z hľadiska geometrických transformácií grafov.

Príklad 3

Zostrojte pravú vetvu hyperboly

Používame metódu bodovej konštrukcie a je výhodné voliť hodnoty tak, aby boli deliteľné celkom:

Urobme výkres:

Nebude ťažké skonštruovať ľavú vetvu hyperboly, tu pomôže zvláštnosť funkcie. Zhruba povedané, v tabuľke bodovej konštrukcie mentálne pridáme ku každému číslu mínus, dáme zodpovedajúce body a nakreslíme druhú vetvu.

Podrobné geometrické informácie o uvažovanej priamke nájdete v článku Hyperbola a parabola.

Graf exponenciálnej funkcie

V tejto časti sa budem okamžite zaoberať exponenciálnou funkciou, pretože v úlohách vyššej matematiky sa v 95% prípadov objavuje práve exponenciála.

Dovoľte mi pripomenúť, že toto je iracionálne číslo: , to bude potrebné pri zostavovaní grafu, ktorý v skutočnosti zostavím bez obradu. Tri body asi stačia:

Graf funkcie nechajme zatiaľ na pokoji, viac o ňom neskôr.

Základné vlastnosti funkcie:

Funkčné grafy atď. vyzerajú v podstate rovnako.

Musím povedať, že druhý prípad sa v praxi vyskytuje menej často, ale vyskytuje sa, preto som považoval za potrebné zahrnúť ho do tohto článku.

Graf logaritmickej funkcie

Uvažujme funkciu s prirodzeným logaritmom.
Urobme nákres bod po bode:

Ak ste zabudli, čo je logaritmus, pozrite si prosím svoje školské učebnice.

Základné vlastnosti funkcie:

doména:

Rozsah hodnôt: .

Funkcia nie je obmedzená zhora: , aj keď pomaly, ale vetva logaritmu ide až do nekonečna.
Pozrime sa na správanie funkcie blízko nuly vpravo: . Takže os je vertikálna asymptota pre graf funkcie ako „x“ má sklon k nule sprava.

Je nevyhnutné poznať a zapamätať si typickú hodnotu logaritmu: .

V princípe vyzerá graf logaritmu so základom rovnako: , , (desatinný logaritmus so základom 10) atď. Navyše, čím väčšia základňa, tým plochejší bude graf.

Nebudeme brať do úvahy prípad. Nepamätám si, kedy som naposledy zostavil graf s takýmto základom. A zdá sa, že logaritmus je veľmi zriedkavým hosťom v problémoch vyššej matematiky.

Na konci tohto odseku poviem ešte jednu skutočnosť: Exponenciálna funkcia a logaritmická funkcia– sú to dve vzájomne inverzné funkcie. Ak sa pozriete pozorne na graf logaritmu, môžete vidieť, že ide o rovnaký exponent, len je umiestnený trochu inak.

Grafy goniometrických funkcií

Kde začína trigonometrické trápenie v škole? Správny. Zo sínusu

Nakreslíme funkciu

Táto linka je tzv sínusoida.

Dovoľte mi pripomenúť, že „pí“ je iracionálne číslo: a pri trigonometrii vám oslnia oči.

Základné vlastnosti funkcie:

Táto funkcia je periodické s bodkou . Čo to znamená? Pozrime sa na segment. Naľavo a napravo od neho sa donekonečna opakuje presne ten istý kus grafu.

doména: , to znamená, že pre každú hodnotu „x“ existuje sínusová hodnota.

Rozsah hodnôt: . Funkcia je obmedzené: , čiže všetci „hráči“ sedia striktne v segmente .
To sa nestane: alebo presnejšie, stane sa, ale tieto rovnice nemajú riešenie.

Národná výskumná univerzita

Katedra aplikovanej geológie

Abstrakt z vyššej matematiky

Na tému: „Základné elementárne funkcie,

ich vlastnosti a grafy"

Dokončené:

Skontrolované:

učiteľ

Definícia. Funkcia daná vzorcom y=a x (kde a>0, a≠1) sa nazýva exponenciálna funkcia so základom a.

Formulujme hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie:

1. Definičný obor je množina (R) všetkých reálnych čísel.

2. Rozsah - množina (R+) všetkých kladných reálnych čísel.

3. Pre a > 1 funkcia rastie pozdĺž celej číselnej osi; na 0<а<1 функция убывает.

4. Je funkciou všeobecného tvaru.

, na intervale xО [-3;3]
, na intervale xО [-3;3]

Funkcia v tvare y(x)=x n, kde n je číslo ОR, sa nazýva mocninná funkcia. Číslo n môže nadobúdať rôzne hodnoty: celé číslo aj zlomok, párne aj nepárne. V závislosti od toho bude mať funkcia napájania inú formu. Uvažujme špeciálne prípady, ktoré sú mocninovými funkciami a odrážajú základné vlastnosti tohto typu krivky v nasledujúcom poradí: mocninná funkcia y=x² (funkcia s párnym exponentom - parabola), mocninná funkcia y=x³ (funkcia s nepárnym exponentom - kubická parabola) a funkcia y=√x (x s mocninou ½) (funkcia so zlomkovým exponentom), funkcia so záporným celočíselným exponentom (hyperbola).

Funkcia napájania y=x²

1. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;

2. E(y)= a rastie na intervale

Funkcia napájania y=x³

1. Graf funkcie y=x³ sa nazýva kubická parabola. Mocninná funkcia y=x³ má nasledujúce vlastnosti:

2. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcia nadobúda všetky hodnoty vo svojej definičnej oblasti;

4. Keď x=0 y=0 – funkcia prechádza počiatkom súradníc O(0;0).

5. Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

6. Funkcia je nepárna (symetrická podľa pôvodu).

, na intervale xО [-3;3]

V závislosti od číselného faktora pred x³ môže byť funkcia strmá/plochá a stúpajúca/klesajúca.

Mocninná funkcia s exponentom celého záporného čísla:

Ak je exponent n nepárny, potom sa graf takejto mocninnej funkcie nazýva hyperbola. Mocninná funkcia s celočíselným záporným exponentom má nasledujúce vlastnosti:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pre ľubovoľné n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ak n je nepárne číslo; E(y)=(0;∞), ak n je párne číslo;

3. Funkcia klesá v celom definičnom obore, ak n je nepárne číslo; funkcia rastie na intervale (-∞;0) a klesá na intervale (0;∞), ak n je párne číslo.

4. Funkcia je nepárna (symetrická podľa počiatku), ak n je nepárne číslo; funkcia je párna, ak n je párne číslo.

5. Funkcia prechádza cez body (1;1) a (-1;-1), ak n je nepárne číslo a cez body (1;1) a (-1;1), ak n je párne číslo.

, na intervale xО [-3;3]

Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom

Mocninná funkcia s zlomkovým exponentom (obrázok) má graf funkcie znázornený na obrázku. Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom má tieto vlastnosti: (obrázok)

1. D(x) ОR, ak n je nepárne číslo a D(x)=
, na intervale xО
, na intervale xО [-3;3]

Logaritmická funkcia y = log a x má nasledujúce vlastnosti:

1. Definičná oblasť D(x)О (0; + ∞).

2. Rozsah hodnôt E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcia nie je párna ani nepárna (všeobecného tvaru).

4. Funkcia rastie na intervale (0; + ∞) pre a > 1, klesá na (0; + ∞) pre 0< а < 1.

Graf funkcie y = log a x získame z grafu funkcie y = a x pomocou transformácie symetrie okolo priamky y = x. Obrázok 9 zobrazuje graf logaritmickej funkcie pre a > 1 a obrázok 10 pre 0< a < 1.

; na intervale xО
; na intervale xО

Funkcie y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x sa nazývajú goniometrické funkcie.

Funkcie y = sin x, y = tan x, y = ctg x sú nepárne a funkcia y = cos x je párna.

Funkcia y = sin(x).

1. Definičná oblasť D(x) ОR.

2. Rozsah hodnôt E(y) О [ - 1; 1].

3. Funkcia je periodická; hlavná perióda je 2π.

4. Funkcia je nepárna.

5. Funkcia sa zvyšuje v intervaloch [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] a klesá v intervaloch [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graf funkcie y = sin (x) je na obrázku 11.

Graf funkcie je vizuálna reprezentácia správania sa funkcie v rovine súradníc. Grafy vám pomôžu pochopiť rôzne aspekty funkcie, ktoré sa nedajú určiť zo samotnej funkcie. Môžete zostaviť grafy mnohých funkcií a každá z nich bude mať špecifický vzorec. Graf ľubovoľnej funkcie je zostavený pomocou špecifického algoritmu (ak ste zabudli presný postup grafu konkrétnej funkcie).

Kroky

Grafovanie lineárnej funkcie

Zistite, či je funkcia lineárna. Lineárna funkcia je daná vzorcom tvaru F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) alebo y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(napríklad ) a jeho graf je priamka. Vzorec teda obsahuje jednu premennú a jednu konštantu (konštantu) bez akýchkoľvek exponentov, koreňových znakov a podobne. Vzhľadom na funkciu podobného typu je celkom jednoduché zostrojiť graf takejto funkcie. Tu sú ďalšie príklady lineárnych funkcií:

Na označenie bodu na osi Y použite konštantu. Konštanta (b) je súradnica „y“ bodu, kde graf pretína os Y, to znamená, že ide o bod, ktorého súradnica „x“ sa rovná 0. Ak teda do vzorca dosadíme x = 0. , potom y = b (konštanta). V našom príklade y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konštanta sa rovná 5, to znamená, že priesečník s osou Y má súradnice (0,5). Nakreslite tento bod na rovinu súradníc.

Nájdite sklon čiary. Rovná sa násobiteľu premennej. V našom príklade y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s premennou „x“ je koeficient 2; teda koeficient sklonu sa rovná 2. Koeficient sklonu určuje uhol sklonu priamky k osi X, to znamená, že čím väčší je koeficient sklonu, tým rýchlejšie sa funkcia zvyšuje alebo znižuje.

Napíšte sklon ako zlomok. Uhlový koeficient sa rovná dotyčnici uhla sklonu, to znamená pomeru vertikálnej vzdialenosti (medzi dvoma bodmi na priamke) k horizontálnej vzdialenosti (medzi rovnakými bodmi). V našom príklade je sklon 2, takže môžeme povedať, že vertikálna vzdialenosť je 2 a horizontálna vzdialenosť je 1. Napíšte to zlomkom: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ak je sklon záporný, funkcia klesá.

1. Z bodu, kde priamka pretína os Y, nakreslite druhý bod pomocou vertikálnych a horizontálnych vzdialeností. Lineárnu funkciu je možné vykresliť pomocou dvoch bodov. V našom príklade má priesečník s osou Y súradnice (0,5); Od tohto bodu sa posuňte o 2 polia nahor a potom o 1 pole doprava. Označte bod; bude mať súradnice (1,7). Teraz môžete nakresliť priamku.

   Pomocou pravítka nakreslite priamku cez dva body. Aby ste sa vyhli chybám, nájdite tretí bod, no vo väčšine prípadov je možné graf vykresliť pomocou dvoch bodov. Takto ste nakreslili lineárnu funkciu.

Vykresľovanie bodov na súradnicovej rovine

Definujte funkciu. Funkciu označujeme ako f(x). Všetky možné hodnoty premennej "y" sa nazývajú doména funkcie a všetky možné hodnoty premennej "x" sa nazývajú doména funkcie. Uvažujme napríklad funkciu y = x+2, konkrétne f(x) = x+2.

Nakreslite dve pretínajúce sa kolmé čiary. Vodorovná čiara je os X. Zvislá čiara je os Y.

Označte súradnicové osi. Rozdeľte každú os na rovnaké segmenty a očíslujte ich. Priesečník osí je 0. Pre os X: kladné čísla sa vykresľujú doprava (od 0) a záporné čísla doľava. Pre os Y: kladné čísla sú vynesené hore (od 0) a záporné čísla dole.

Nájdite hodnoty "y" z hodnôt "x". V našom príklade f(x) = x+2. Nahradením konkrétnych hodnôt x do tohto vzorca vypočítate zodpovedajúce hodnoty y. Ak je zadaná komplexná funkcia, zjednodušte ju izoláciou „y“ na jednej strane rovnice.

• -1: -1 + 2 = 1
• 0: 0 +2 = 2
• 1: 1 + 2 = 3

1. Nakreslite body na rovinu súradníc. Pre každý pár súradníc vykonajte nasledovné: nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi X a nakreslite zvislú čiaru (bodkovanú); nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi Y a nakreslite vodorovnú čiaru (prerušovanú čiaru). Označte priesečník dvoch bodkovaných čiar; tým ste vykreslili bod do grafu.

   Vymažte bodkované čiary. Urobte to po vynesení všetkých bodov do grafu v rovine súradníc. Poznámka: graf funkcie f(x) = x je priamka prechádzajúca stredom súradníc [bod so súradnicami (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je priamka rovnobežná s priamkou f(x) = x, ale posunutá nahor o dve jednotky a teda prechádzajúca bodom so súradnicami (0,2) (pretože konštanta je 2) .

Vytvorenie grafu komplexnej funkcie

Nájdite nuly funkcie. Nuly funkcie sú hodnoty premennej x, kde y = 0, to znamená, že toto sú body, kde graf pretína os X. Majte na pamäti, že nie všetky funkcie majú nuly, ale sú prvé krok v procese grafu akejkoľvek funkcie. Ak chcete nájsť nuly funkcie, prirovnajte ju k nule. Napríklad:

Nájdite a označte vodorovné asymptoty. Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie približuje, no nikdy ju nepretína (to znamená, že v tejto oblasti funkcia nie je definovaná napríklad pri delení 0). Označte asymptotu bodkovanou čiarou. Ak je premenná „x“ v menovateli zlomku (napr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavte menovateľa na nulu a nájdite „x“. V získaných hodnotách premennej „x“ funkcia nie je definovaná (v našom príklade nakreslite bodkované čiary cez x = 2 a x = -2), pretože nemôžete deliť 0. Ale asymptoty existujú nielen v prípadoch, keď funkcia obsahuje zlomkový výraz. Preto sa odporúča používať zdravý rozum:

1. Nájdite súradnice niekoľkých bodov a zakreslite ich do súradnicovej roviny. Jednoducho vyberte niekoľko hodnôt x a zapojte ich do funkcie, aby ste našli zodpovedajúce hodnoty y. Potom zakreslite body do súradnicovej roviny. Čím je funkcia zložitejšia, tým viac bodov musíte nájsť a vykresliť. Vo väčšine prípadov náhrada x = -1; x = 0; x = 1, ale ak je funkcia zložitá, nájdite tri body na každej strane začiatku.

   • V prípade funkcie y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) zapojte nasledovné hodnoty x: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Získate dostatočný počet bodov.
   • Svoje hodnoty x vyberajte múdro. V našom príklade je ľahké pochopiť, že na zápornom znamienku nezáleží: hodnota „y“ pri x = 10 a pri x = -10 bude rovnaká.
3. Ak neviete, čo robiť, začnite zapojením rôznych hodnôt x do funkcie, aby ste našli hodnoty y (a teda súradnice bodov). Teoreticky možno graf funkcie zostrojiť iba pomocou tejto metódy (samozrejme, ak dosadíme nekonečné množstvo hodnôt „x“).

1. Zlomková lineárna funkcia a jej graf

Funkcia tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy, sa nazýva zlomková racionálna funkcia.

Pravdepodobne už poznáte pojem racionálne čísla. Podobne racionálne funkcie sú funkcie, ktoré možno znázorniť ako podiel dvoch polynómov.

Ak je zlomková racionálna funkcia podielom dvoch lineárnych funkcií - polynómov prvého stupňa, t.j. funkcia formulára

y = (ax + b) / (cx + d), potom sa nazýva zlomková lineárna.

Všimnite si, že vo funkcii y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inak sa funkcia stane lineárnou y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (inak funkcia je konštantná). Lineárna zlomková funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla okrem x = -d/c. Grafy zlomkových lineárnych funkcií sa tvarom nelíšia od grafu y = 1/x, ktorý poznáte. Nazýva sa krivka, ktorá je grafom funkcie y = 1/x hyperbola. Pri neobmedzenom náraste x v absolútnej hodnote funkcia y = 1/x neobmedzene klesá v absolútnej hodnote a obe vetvy grafu sa približujú k úsečke: pravá zhora a ľavá zdola. Čiary, ku ktorým sa približujú vetvy hyperboly, sa nazývajú jej asymptoty.

Príklad 1

y = (2x + 1) / (x – 3).

Riešenie.

Vyberieme celú časť: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunutie o 3 jednotkové segmenty doprava, natiahnutie pozdĺž osi Oy 7-krát a posunutie o 2 segmenty jednotky smerom nahor.

Akýkoľvek zlomok y = (ax + b) / (cx + d) možno zapísať podobným spôsobom, pričom sa zvýrazní „celočíselná časť“. V dôsledku toho sú grafy všetkých zlomkových lineárnych funkcií hyperboly, posunuté rôznymi spôsobmi pozdĺž súradnicových osí a natiahnuté pozdĺž osi Oy.

Na zostavenie grafu ľubovoľnej zlomkovo-lineárnej funkcie nie je vôbec potrebné transformovať zlomok definujúci túto funkciu. Keďže vieme, že graf je hyperbola, bude stačiť nájsť priamky, ku ktorým sa približujú jeho vetvy - asymptoty hyperboly x = -d/c a y = a/c.

Príklad 2

Nájdite asymptoty grafu funkcie y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riešenie.

Funkcia nie je definovaná, pri x = -1. To znamená, že priamka x = -1 slúži ako vertikálna asymptota. Aby sme našli horizontálnu asymptotu, zistime, k čomu sa približujú hodnoty funkcie y(x), keď argument x rastie v absolútnej hodnote.

Ak to chcete urobiť, vydeľte čitateľa a menovateľa zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ako x → ∞ bude mať zlomok tendenciu k 3/2. To znamená, že horizontálna asymptota je priamka y = 3/2.

Príklad 3

Nakreslite graf funkcie y = (2x + 1)/(x + 1).

Riešenie.

Vyberme „celú časť“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie získame z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunom o 1 jednotku doľava, symetrickým zobrazením vzhľadom na Ox a posunom o 2 segmenty jednotky nahor pozdĺž osi Oy.

Doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnôt E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Priesečníky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcia sa zvyšuje v každom intervale definičnej oblasti.

Odpoveď: Obrázok 1.

2. Zlomková racionálna funkcia

Uvažujme zlomkovú racionálnu funkciu tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy vyššieho stupňa ako prvý.

Príklady takýchto racionálnych funkcií:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) alebo y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ak funkcia y = P(x) / Q(x) predstavuje kvocient dvoch polynómov stupňa vyššieho ako prvý, potom bude jej graf spravidla zložitejší a niekedy môže byť ťažké ho presne zostrojiť. , so všetkými podrobnosťami. Často však stačí použiť techniky podobné tým, ktoré sme už predstavili vyššie.

Nech je zlomok vlastný zlomok (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + ...+

+ (M1x + N1) / (x2 + pt x + q t) m1 + ... + (M 1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Je zrejmé, že graf zlomkovej racionálnej funkcie možno získať ako súčet grafov elementárnych zlomkov.

Vykresľovanie grafov zlomkových racionálnych funkcií

Uvažujme niekoľko spôsobov, ako zostrojiť grafy zlomkovej racionálnej funkcie.

Príklad 4.

Nakreslite graf funkcie y = 1/x 2 .

Riešenie.

Pomocou grafu funkcie y = x 2 zostrojíme graf y = 1/x 2 a použijeme techniku ​​„delenia“ grafov.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnôt E(y) = (0; +∞).

Neexistujú žiadne priesečníky s osami. Funkcia je rovnomerná. Zvyšuje sa pre všetky x z intervalu (-∞; 0), znižuje sa pre x od 0 do +∞.

Odpoveď: Obrázok 2.

Príklad 5.

Graf funkcie y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Riešenie.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Tu sme použili techniku ​​faktorizácie, redukcie a redukcie na lineárnu funkciu.

Odpoveď: Obrázok 3.

Príklad 6.

Nakreslite graf funkcie y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Riešenie.

Definičný obor je D(y) = R. Keďže funkcia je párna, graf je symetrický podľa ordináty. Pred vytvorením grafu znova transformujme výraz, pričom zvýrazníme celú časť:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Všimnite si, že izolácia celočíselnej časti vo vzorci zlomkovej racionálnej funkcie je jednou z hlavných pri vytváraní grafov.

Ak x → ±∞, potom y → 1, t.j. priamka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpoveď: Obrázok 4.

Príklad 7.

Uvažujme funkciu y = x/(x 2 + 1) a skúsme presne nájsť jej najväčšiu hodnotu, t.j. najvyšší bod v pravej polovici grafu. Na presné zostrojenie tohto grafu dnešné poznatky nestačia. Je zrejmé, že naša krivka nemôže „stúpnuť“ veľmi vysoko, pretože menovateľ rýchlo začne „predbiehať“ čitateľa. Pozrime sa, či sa hodnota funkcie môže rovnať 1. Na to potrebujeme vyriešiť rovnicu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Táto rovnica nemá žiadne skutočné korene. To znamená, že náš predpoklad je nesprávny. Aby ste našli najväčšiu hodnotu funkcie, musíte zistiť, pri akom najväčšom A bude mať rovnica A = x/(x 2 + 1) riešenie. Pôvodnú rovnicu nahraďme kvadratickou: Ax 2 – x + A = 0. Táto rovnica má riešenie, keď 1 – 4A 2 ≥ 0. Odtiaľ nájdeme najväčšiu hodnotu A = 1/2.

Odpoveď: Obrázok 5, maximálne y(x) = ½.

Stále máte otázky? Neviete ako graficky znázorniť funkcie?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.