كيفية حل أمثلة المعادلات المثلثية مع الحل. كيفية حل المعادلات المثلثية

المعادلات المثلثية ليست موضوعا سهلا. فهي متنوعة للغاية.) على سبيل المثال، ما يلي:

خطيئة 2 س + cos3x = ctg5x

خطيئة(5س+ط /4) = سرير(2س-ط /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

إلخ...

لكن هذه الوحوش المثلثية (وجميعها) لها ميزتان مشتركتان وإلزاميتان. أولاً - لن تصدق - هناك دوال مثلثية في المعادلات.) ثانياً: تم العثور على جميع التعبيرات ذات x ضمن هذه الوظائف نفسها.وهناك فقط! إذا ظهر X في مكان ما الخارج،على سبيل المثال، الخطيئة2س + 3س = 3،ستكون هذه بالفعل معادلة من النوع المختلط. تتطلب مثل هذه المعادلات نهجًا فرديًا. لن نعتبرهم هنا.

لن نحل المعادلات الشريرة في هذا الدرس أيضًا.) هنا سنتعامل معها أبسط المعادلات المثلثية.لماذا؟ نعم لأن الحل أيتتكون المعادلات المثلثية من مرحلتين. في المرحلة الأولى، يتم اختزال المعادلة الشريرة إلى معادلة بسيطة من خلال مجموعة متنوعة من التحولات. وفي الثانية، تم حل هذه المعادلة الأبسط. لا توجد طريقة أخرى.

لذا، إذا كانت لديك مشاكل في المرحلة الثانية، فإن المرحلة الأولى ليس لها معنى كبير.)

كيف تبدو المعادلات المثلثية الأولية؟

سينكس = أ

كوسكس = أ

تغكس = أ

ctgx = أ

هنا أ يقف على أي رقم. أي.

بالمناسبة، داخل الدالة قد لا يكون هناك X خالص، ولكن نوع من التعبير، مثل:

cos(3x+π /3) = 1/2

إلخ. وهذا يعقد الحياة لكنه لا يؤثر على طريقة حل المعادلة المثلثية.

كيفية حل المعادلات المثلثية؟

يمكن حل المعادلات المثلثية بطريقتين. الطريقة الأولى: استخدام المنطق والدائرة المثلثية. سننظر في هذا المسار هنا. الطريقة الثانية - استخدام الذاكرة والصيغ - سيتم مناقشتها في الدرس التالي.

الطريقة الأولى واضحة وموثوقة ويصعب نسيانها.) إنها جيدة لحل المعادلات المثلثية والمتباينات وجميع أنواع الأمثلة غير القياسية الصعبة. المنطق أقوى من الذاكرة!)

حل المعادلات باستخدام الدائرة المثلثية.

نقوم بتضمين المنطق الأولي والقدرة على استخدام الدائرة المثلثية. لا تعرف كيف؟ ومع ذلك... سيكون لديك صعوبة في علم المثلثات...) ولكن لا يهم. قم بإلقاء نظرة على الدروس "الدائرة المثلثية... ما هي؟" و"قياس الزوايا على الدائرة المثلثية". كل شيء بسيط هناك. بخلاف الكتب المدرسية...)

انت تعرف!؟ وحتى أتقن "العمل العملي مع الدائرة المثلثية"!؟ تهانينا. سيكون هذا الموضوع قريبًا ومفهومًا بالنسبة لك.) الأمر الممتع بشكل خاص هو أن الدائرة المثلثية لا تهتم بالمعادلة التي تحلها. جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام - كل شيء هو نفسه بالنسبة له. هناك مبدأ حل واحد فقط.

لذا، فإننا نأخذ أي معادلة مثلثية أولية. على الأقل هذا:

كوزكس = 0.5

نحن بحاجة إلى العثور على X. التحدث باللغة البشرية، تحتاج أوجد الزاوية (x) التي جيب تمامها 0.5.

كيف استخدمنا الدائرة سابقًا؟ لقد رسمنا زاوية عليه. بالدرجات أو الراديان. وعلى الفور رأى الدوال المثلثية لهذه الزاوية. الآن دعونا نفعل العكس. لنرسم جيب التمام على الدائرة يساوي 0.5 وعلى الفور سوف نرى ركن. كل ما تبقى هو كتابة الإجابة.) نعم، نعم!

ارسم دائرة وضع علامة على جيب التمام يساوي 0.5. على محور جيب التمام، بطبيعة الحال. مثله:

الآن دعونا نرسم الزاوية التي يعطينا إياها جيب التمام هذا. قم بتمرير مؤشر الماوس فوق الصورة (أو المس الصورة الموجودة على جهازك اللوحي)، و سوف ترىهذه الزاوية بالذات X.

جيب التمام لأي زاوية يساوي 0.5؟

س = ط /3

كوس 60 درجة= كوس( π /3) = 0,5

سوف يضحك بعض الناس متشككين، نعم... مثل، هل كان الأمر يستحق عمل دائرة عندما يكون كل شيء واضحًا بالفعل... يمكنك بالطبع أن تضحك ضحكة مكتومة...) لكن الحقيقة هي أن هذه إجابة خاطئة. أو بالأحرى غير كافية. يدرك خبراء الدائرة أن هناك مجموعة كاملة من الزوايا الأخرى هنا والتي تعطي أيضًا جيب التمام 0.5.

إذا قمت بتشغيل الجانب المتحرك الزراعة العضوية بدوره الكامل، ستعود النقطة أ إلى وضعها الأصلي. مع نفس جيب التمام يساوي 0.5. أولئك. سوف تتغير الزاويةبمقدار 360° أو 2π راديان، و جيب التمام - لا.الزاوية الجديدة 60° + 360° = 420° ستكون أيضًا حلاً لمعادلتنا، لأن

ويمكن عمل عدد لا نهائي من هذه الدورات الكاملة... وكل هذه الزوايا الجديدة ستكون حلولاً لمعادلتنا المثلثية. ويجب تدوينهم جميعًا بطريقة أو بأخرى ردًا على ذلك. الجميع.وإلا فلا يعتد بالقرار، نعم...)

يمكن للرياضيات أن تفعل ذلك ببساطة وأناقة. اكتب في إجابة واحدة قصيرة مجموعة لا نهائيةقرارات. إليك ما تبدو عليه معادلتنا:

س = π /3 + 2π ن، ن ∈ ض

سأقوم بفك شفرتها. لا تزال تكتب بشكل هادفإنه أكثر متعة من رسم بعض الحروف الغامضة بغباء، أليس كذلك؟)

π /3 - هذه هي نفس الزاوية التي نحن فيها رأىعلى الدائرة و عازموفقا لجدول جيب التمام.

2π هي ثورة كاملة بالراديان.

ن - هذا هو عدد الكاملات، أي. جميعدورة في الدقيقة فمن الواضح أن ن يمكن أن تكون مساوية لـ 0، ±1، ±2، ±3.... وهكذا. كما هو موضح بواسطة إدخال قصير:

ن ∈ ض

ن ينتمي ( ∈ ) مجموعة من الأعداد الصحيحة ( ز ). بالمناسبة، بدلا من الرسالة ن يمكن استخدام الحروف ك، م، ر إلخ.

هذا الترميز يعني أنه يمكنك أخذ أي عدد صحيح ن . على الأقل -3، على الأقل 0، على الأقل +55. أياً كان ما تريد. إذا قمت باستبدال هذا الرقم في الإجابة، فستحصل على زاوية محددة، والتي ستكون بالتأكيد الحل لمعادلتنا القاسية.)

أو بكلمات أخرى، س = ط /3 - هذا هو الجذر الوحيد لمجموعة لا نهائية. للحصول على جميع الجذور الأخرى، يكفي إضافة أي عدد من الدورات الكاملة إلى π /3 ( ن ) بالراديان. أولئك. 2πn راديان.

الجميع؟ لا. أنا عمدا إطالة أمد المتعة. لكي نتذكر بشكل أفضل.) لقد تلقينا جزءًا فقط من إجابات معادلتنا. سأكتب هذا الجزء الأول من الحل مثل هذا:

س 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

× 1 - ليس جذرًا واحدًا فقط، بل سلسلة كاملة من الجذور، مكتوبة في شكل قصير.

ولكن هناك أيضًا زوايا تعطي أيضًا جيب التمام 0.5!

لنعد إلى صورتنا التي كتبنا منها الإجابة. ها هي:

مرر مؤشر الفأرة فوق الصورة و نحن نرىزاوية أخرى ذلك كما يعطي جيب التمام 0.5.ما رأيك يساوي؟ المثلثان متماثلان... نعم! وهي تساوي الزاوية X ، تأخر فقط في الاتجاه السلبي. هذه هي الزاوية -X. لكننا قمنا بالفعل بحساب x. π /3 أو 60 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:

س 2 = - ط /3

حسنًا، بالطبع، نضيف جميع الزوايا التي تم الحصول عليها من خلال الثورات الكاملة:

س 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

هذا كل شيء الآن.) في الدائرة المثلثية نحن رأى(من يفهم طبعا)) الجميعالزوايا التي تعطي جيب التمام 0.5. وكتبنا هذه الزوايا في صورة رياضية قصيرة. نتج عن الإجابة سلسلتين لا نهائيتين من الجذور:

س 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

س 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

هذا هو الجواب الصحيح.

يأمل، المبدأ العام لحل المعادلات المثلثيةباستخدام دائرة واضحة. نحدد جيب التمام (الجيب، الظل، ظل التمام) من المعادلة المحددة على دائرة، ونرسم الزوايا المقابلة لها ونكتب الإجابة.وبطبيعة الحال، نحن بحاجة إلى معرفة ما هي الزوايا التي نحن فيها رأىعلى الدائرة. في بعض الأحيان لا يكون الأمر واضحًا جدًا. حسنًا، لقد قلت أن المنطق مطلوب هنا.)

على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى معادلة مثلثية أخرى:

يرجى الأخذ في الاعتبار أن الرقم 0.5 ليس الرقم الوحيد الممكن في المعادلات!) إن كتابته أكثر ملاءمة بالنسبة لي من الجذور والكسور.

نحن نعمل وفقا للمبدأ العام. نرسم دائرة ونضع علامة (على محور الجيب بالطبع!) 0.5. نرسم جميع الزوايا المقابلة لهذا الجيب مرة واحدة. نحصل على هذه الصورة:

دعونا نتعامل مع الزاوية أولا X في الربع الأول. نتذكر جدول الجيب ونحدد قيمة هذه الزاوية. إنها مسألة بسيطة:

س = ط /6

نتذكر المنعطفات الكاملة ونكتب بضمير مرتاح السلسلة الأولى من الإجابات:

س 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

تم إنجاز نصف المهمة. لكن الآن علينا أن نحدد الزاوية الثانية...إنها أصعب من استخدام جيب التمام، نعم... لكن المنطق سينقذنا! كيفية تحديد الزاوية الثانية من خلال العاشر؟ نعم سهل! المثلثات الموجودة في الصورة هي نفسها والزاوية الحمراء X يساوي الزاوية X . يتم حسابه فقط من الزاوية π في الاتجاه السلبي. ولهذا السبب هو أحمر.) وللإجابة نحتاج إلى زاوية، تقاس بشكل صحيح، من نصف المحور الموجب OX، أي. من زاوية 0 درجة.

نحرك المؤشر فوق الرسم ونرى كل شيء. أزلت الزاوية الأولى حتى لا أعقد الصورة. الزاوية التي نهتم بها (المرسومة باللون الأخضر) ستكون مساوية لـ:

π - س

× نحن نعرف هذا π /6 . وبالتالي تكون الزاوية الثانية:

π - π /6 = 5π /6

مرة أخرى نتذكر إضافة الثورات الكاملة ونكتب السلسلة الثانية من الإجابات:

× 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

هذا كل شئ. تتكون الإجابة الكاملة من سلسلتين من الجذور:

س 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

× 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

يمكن حل معادلات الظل وظل التمام بسهولة باستخدام نفس المبدأ العام لحل المعادلات المثلثية. إذا كنت، بالطبع، تعرف كيفية رسم الظل وظل التمام على دائرة مثلثية.

في الأمثلة أعلاه، استخدمت القيمة الجدولية للجيب وجيب التمام: 0.5. أولئك. أحد تلك المعاني التي يعرفها الطالب يجب.الآن دعونا توسيع قدراتنا ل جميع القيم الأخرى.قرر، فقرر!)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل هذه المعادلة المثلثية:

لا توجد قيمة جيب التمام هذه في الجداول القصيرة. نحن نتجاهل ببرود هذه الحقيقة الرهيبة. ارسم دائرة، ضع علامة 2/3 على محور جيب التمام وارسم الزوايا المقابلة. نحصل على هذه الصورة.

دعونا ننظر أولاً إلى الزاوية الموجودة في الربع الأول. إذا كنا نعرف فقط ما يساوي x، فسوف نكتب الإجابة على الفور! لا ندري... فشل!؟ هادئ! الرياضيات لا تترك شعبها في ورطة! لقد توصلت إلى جيب التمام القوسي لهذه الحالة. لا أعلم؟ بلا فائدة. اكتشف أن الأمر أسهل بكثير مما تعتقد. لا توجد تعويذة صعبة واحدة حول "الدوال المثلثية العكسية" على هذا الرابط... هذا غير ضروري في هذا الموضوع.

إذا كنت تعرف، فقط قل لنفسك: "X هي الزاوية التي جيب تمامها يساوي 2/3". وعلى الفور، من خلال تعريف قوس جيب التمام، يمكننا أن نكتب:

نتذكر الثورات الإضافية ونكتب بهدوء السلسلة الأولى من جذور معادلتنا المثلثية:

x 1 = قوس 2/3 + 2π n, n ∈ Z

تتم كتابة السلسلة الثانية من جذور الزاوية الثانية تلقائيًا تقريبًا. كل شيء هو نفسه، فقط X (arccos 2/3) سيكون مع ناقص:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

وهذا كل شيء! هذا هو الجواب الصحيح. حتى أسهل من قيم الجدول. ليست هناك حاجة لتذكر أي شيء.) بالمناسبة، سيلاحظ الأكثر انتباهًا أن هذه الصورة توضح الحل من خلال قوس جيب التمام في جوهرها لا يختلف عن الصورة بالنسبة للمعادلة cosx = 0.5.

بالضبط! المبدأ العام هو ذلك فقط! لقد قمت عمدا برسم صورتين متطابقتين تقريبا. الدائرة توضح لنا الزاوية X بواسطة جيب التمام. ما إذا كان جيب التمام جدولي أم لا غير معروف للجميع. ما هو نوع هذه الزاوية، π /3، أو ما هو قوس جيب التمام - الأمر متروك لنا لنقرره.

نفس الأغنية مع جيب. على سبيل المثال:

ارسم دائرة مرة أخرى، ضع علامة على جيب الجيب يساوي 1/3، وارسم الزوايا. وهذه هي الصورة التي نحصل عليها:

ومرة أخرى، الصورة هي نفسها تقريبًا بالنسبة للمعادلة سينكس = 0.5.مرة أخرى نبدأ من الزاوية في الربع الأول. ما هو X يساوي إذا كان جيبها هو 1/3؟ لا مشكلة!

الآن الحزمة الأولى من الجذور جاهزة:

x 1 = أركسين 1/3 + 2π n, n ∈ Z

دعونا نتعامل مع الزاوية الثانية. في المثال الذي تبلغ قيمته الجدولية 0.5، كانت تساوي:

π - س

وسوف يكون بالضبط نفس الشيء هنا أيضا! فقط x مختلف، arcsin 1/3. وماذا في ذلك!؟ يمكنك تدوين الحزمة الثانية من الجذور بأمان:

س 2 = π - أركسين 1/3 + 2π n, n ∈ Z

هذه إجابة صحيحة تماما. على الرغم من أنها لا تبدو مألوفة للغاية. ولكن الأمر واضح، كما آمل.)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات المثلثية باستخدام الدائرة. وهذا الطريق واضح ومفهوم. هو الذي يحفظ في المعادلات المثلثية مع اختيار الجذور في فترة معينة، في عدم المساواة المثلثية - يتم حلها بشكل عام دائمًا تقريبًا في دائرة. باختصار، في أي مهام أصعب قليلاً من المهام القياسية.

دعونا نطبق المعرفة في الممارسة العملية؟)

حل المعادلات المثلثية:

أولاً، أبسط، مباشرة من هذا الدرس.

الآن أصبح الأمر أكثر تعقيدًا.

تلميح: هنا عليك أن تفكر في الدائرة. شخصيا.)

والآن هم بسيطون ظاهريًا... ويطلق عليهم أيضًا حالات خاصة.

com.sinx = 0

com.sinx = 1

com.cosx = 0

com.cosx = -1

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة مكان وجود سلسلتين من الإجابات في الدائرة وأين توجد سلسلة واحدة... وكيفية كتابة سلسلة واحدة بدلاً من سلسلتين من الإجابات. نعم، حتى لا يضيع جذر واحد من عدد لا نهائي!)

حسنًا ، بسيط جدًا):

com.sinx = 0,3

com.cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

تلميح: هنا عليك أن تعرف ما هو أركسين وأركوسين؟ ما هو الظل القوسي، الظل القوسي؟ أبسط التعاريف. لكنك لا تحتاج إلى تذكر أي قيم في الجدول!)

الإجابات بالطبع فوضى):

× 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
× 2= π - أركسين0.3 + 2

ليس كل شيء يعمل؟ يحدث. اقرأ الدرس مرة أخرى. فقط مدروس(هناك مثل هذه الكلمة القديمة...) واتبع الروابط. الروابط الرئيسية تدور حول الدائرة. وبدونها، يصبح علم المثلثات مثل عبور الطريق معصوب العينين. في بعض الأحيان يعمل.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

درس وعرض حول موضوع: "حل المعادلات المثلثية البسيطة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
نحن نحل المشاكل في الهندسة. المهام التفاعلية للبناء في الفضاء
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"

ما سوف ندرسه :
1. ما هي المعادلات المثلثية؟

3. طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات المثلثية.
4. المعادلات المثلثية المتجانسة.
5. أمثلة.

ما هي المعادلات المثلثية؟

يا رفاق، لقد درسنا بالفعل أركسين وأركوسين وظل قوسي وظل قوسي. الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات المثلثية بشكل عام.

المعادلات المثلثية هي معادلات تحتوي على متغير تحت إشارة الدالة المثلثية.

دعونا نكرر شكل حل أبسط المعادلات المثلثية:

1)إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة cos(x) = a لها حل:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة sin(x) = a لها حل:

3) إذا |أ| > 1، فإن المعادلة sin(x) = a وcos(x) = a ليس لها حلول 4) المعادلة tg(x)=a لها حل: x=arctg(a)+ πk

5) المعادلة ctg(x)=a لها حل: x=arcctg(a)+ πk

لجميع الصيغ ك هو عدد صحيح

أبسط المعادلات المثلثية لها الشكل التالي: T(kx+m)=a، T هي دالة مثلثية.

مثال.

حل المعادلات: أ) sin(3x)= √3/2

حل:

أ) لنشير إلى 3x=t، ثم سنعيد كتابة معادلتنا على الصورة:

حل هذه المعادلة سيكون: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

من جدول القيم نحصل على: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

دعنا نعود إلى المتغير: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

ثم x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

الإجابة: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، حيث n عدد صحيح. (-1)^n – ناقص واحد أس n.

المزيد من الأمثلة على المعادلات المثلثية.

حل المعادلات: أ) cos(x/5)=1 ب)tg(3x- π/3)= √3

حل:

أ) هذه المرة لننتقل مباشرة إلى حساب جذور المعادلة على الفور:

X/5= ± قوس(1) + 2ط ك. ثم x/5= πk => x=5πk

الإجابة: x=5πk، حيث k عدد صحيح.

ب) نكتبها على الصورة: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. نحن نعلم أن: arctan(√3)=π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

الإجابة: x=2π/9 + πk/3، حيث k عدد صحيح.

حل المعادلات: cos(4x)= √2/2. وابحث عن جميع الجذور في القطعة.

حل:

دعونا نحل معادلتنا بشكل عام: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

الآن دعونا نرى ما هي الجذور التي تقع على قطاعنا. عند k عند k=0, x= π/16، نكون في المقطع المحدد.
مع k=1، x= π/16+ π/2=9π/16، نضرب مرة أخرى.
بالنسبة إلى k=2، x= π/16+ π=17π/16، لكننا لم نصل هنا، مما يعني أنه من الواضح أيضًا أننا لن نصل إلى k الكبيرة.

الإجابة: س= ط/16، س= 9ط/16

طريقتان رئيسيتان للحل.

لقد نظرنا إلى أبسط المعادلات المثلثية، ولكن هناك أيضًا معادلات أكثر تعقيدًا. ولحلها يتم استخدام طريقة إدخال متغير جديد وطريقة التحليل. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

دعونا نحل المعادلة:

حل:
لحل المعادلة سنستخدم طريقة إدخال متغير جديد يدل على: t=tg(x).

نتيجة الاستبدال نحصل على: t 2 + 2t -1 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-1 وt=1/3

ثم tg(x)=-1 وtg(x)=1/3، نحصل على أبسط معادلة مثلثية، لنجد جذورها.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

الإجابة: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

مثال على حل المعادلة

حل المعادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

حل:

لنستخدم الهوية: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ستكون معادلتنا بالشكل التالي: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 كوس 2 (س) - 3 كوس (س) -2 = 0

دعونا نقدم الاستبدال t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=2 وt=-1/2

ثم cos(x)=2 وcos(x)=-1/2.

لأن لا يمكن لجيب التمام أن يأخذ قيمًا أكبر من واحد، وبالتالي فإن cos(x)=2 ليس له جذور.

بالنسبة لـ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; س= ±2π/3 + 2πك

الإجابة: x= ±2π/3 + 2πk

المعادلات المثلثية المتجانسة.

تعريف: تسمى المعادلات ذات الشكل a sin(x)+b cos(x) بالمعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى.

معادلات النموذج

المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية.

لحل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى، قم بتقسيمها على cos(x): لا يمكنك القسمة على جيب التمام إذا كان يساوي صفر، فلنتأكد من أن الأمر ليس كذلك:
لنفترض أن cos(x)=0، ثم asin(x)+0=0 => sin(x)=0، لكن الجيب وجيب التمام لا يساويان الصفر في نفس الوقت، نحصل على تناقض، حتى نتمكن من القسمة بأمان بمقدار الصفر.

حل المعادلة:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

حل:

لنأخذ العامل المشترك: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

ثم نحتاج إلى حل معادلتين:

Cos(x)=0 وcos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 عند x= π/2 + πk;

خذ بعين الاعتبار المعادلة cos(x)+sin(x)=0 قسّم المعادلة على cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

الإجابة: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

كيفية حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية؟
يا رفاق، اتبعوا هذه القواعد دائمًا!

1. تعرف على ما يساويه المعامل a، إذا كانت a=0 فإن معادلتنا ستأخذ الشكل cos(x)(bsin(x)+ccos(x))، مثال على الحل موجود في الشريحة السابقة

2. إذا كان a≠0، فأنت بحاجة إلى قسمة طرفي المعادلة على مربع جيب التمام، نحصل على:

نغير المتغير t=tg(x) ونحصل على المعادلة:

حل المثال رقم:3

حل المعادلة:
حل:

دعونا نقسم طرفي المعادلة على مربع جيب التمام:

نغير المتغير t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-3 وt=1

ثم: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

الإجابة: x=-arctg(3) + πk و x= π/4+ πk

حل المثال رقم:4

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

يمكننا حل هذه المعادلات: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

الإجابة: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

حل المثال رقم:5

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

دعونا نقدم الاستبدال tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

سيكون حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=-2 وt=1/2

ثم نحصل على: tg(2x)=-2 و tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

الإجابة: x=-arctg(2)/2 + πk/2 و x=arctg(1/2)/2+ πk/2

مشاكل للحل المستقل.

1) حل المعادلة

أ) sin(7x)= 1/2 ب) cos(3x)= √3/2 ج) cos(-x) = -1 د) tg(4x) = √3 د) ctg(0.5x) = -1.7

2) حل المعادلات: sin(3x)= √3/2. وأوجد جميع الجذور في القطعة [π/2; π].

3) حل المعادلة: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) حل المعادلة: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) حل المعادلة: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) حل المعادلة: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

عند حل الكثير المشاكل الرياضيةوخاصة تلك التي تحدث قبل الصف العاشر، فإن ترتيب الإجراءات التي يتم تنفيذها والتي ستؤدي إلى الهدف محدد بوضوح. وتشمل هذه المشاكل، على سبيل المثال، المعادلات الخطية والتربيعية، والمتباينات الخطية والتربيعية، والمعادلات الكسرية والمعادلات التي يتم اختزالها إلى معادلات تربيعية. مبدأ حل كل من المشاكل المذكورة بنجاح هو كما يلي: تحتاج إلى تحديد نوع المشكلة التي تحلها، وتذكر التسلسل الضروري للإجراءات التي ستؤدي إلى النتيجة المرجوة، أي. قم بالإجابة واتبع هذه الخطوات.

من الواضح أن النجاح أو الفشل في حل مشكلة معينة يعتمد بشكل أساسي على مدى صحة تحديد نوع المعادلة التي يتم حلها، ومدى صحة إعادة إنتاج تسلسل جميع مراحل حلها. بالطبع، في هذه الحالة من الضروري أن تكون لديك المهارات اللازمة لإجراء تحويلات وحسابات متطابقة.

الوضع مختلف مع المعادلات المثلثية.ليس من الصعب على الإطلاق إثبات حقيقة أن المعادلة مثلثية. تنشأ الصعوبات عند تحديد تسلسل الإجراءات التي من شأنها أن تؤدي إلى الإجابة الصحيحة.

ويصعب أحيانًا تحديد نوعه بناءً على مظهر المعادلة. وبدون معرفة نوع المعادلة، يكاد يكون من المستحيل اختيار المعادلة الصحيحة من بين عشرات الصيغ المثلثية.

لحل معادلة مثلثية، عليك تجربة ما يلي:

1. جلب جميع الدوال المتضمنة في المعادلة إلى "نفس الزوايا"؛
2. تحويل المعادلة إلى "دوال متطابقة"؛
3. قم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة، وما إلى ذلك.

دعونا نفكر الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.

I. الاختزال إلى أبسط المعادلات المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.التعبير عن دالة مثلثية بدلالة المركبات المعروفة.

الخطوة 2.ابحث عن وسيطة الوظيفة باستخدام الصيغ:

كوس س = أ؛ x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

الخطيئة س = أ؛ x = (-1) n قوسسين a + πn، n Є Z.

تان س = أ؛ x = القطب الشمالي a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

الخطوه 3.ابحث عن المتغير المجهول.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

س = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

س = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, nЄZ.

الإجابة: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, nЄZ.

ثانيا. استبدال متغير

مخطط الحل

الخطوة 1.اختزل المعادلة إلى الصورة الجبرية فيما يتعلق بإحدى الدوال المثلثية.

الخطوة 2.قم بالإشارة إلى الوظيفة الناتجة بواسطة المتغير t (إذا لزم الأمر، ضع قيودًا على t).

الخطوه 3.اكتب وحل المعادلة الجبرية الناتجة.

الخطوة 4.قم بإجراء استبدال عكسي.

الخطوة 5.حل أبسط معادلة مثلثية.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

حل.

1) 2(1 – الخطيئة 2 (س/2)) – 5الخطيئة (س/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) دع الخطيئة (x/2) = t، حيث |t| ≥ 1.

3) 2ر 2 + 5ر + 3 = 0؛

t = 1 أو e = -3/2، لا يحقق الشرط |t| ≥ 1.

4) خطيئة(س/2) = 1.

5) س/2 = π/2 + 2πn، n Є Z؛

س = π + 4πn، n Є Z.

الجواب: س = π + 4πn، n Є Z.

ثالثا. طريقة تخفيض ترتيب المعادلة

مخطط الحل

الخطوة 1.استبدل هذه المعادلة بمعادلة خطية، باستخدام صيغة تقليل الدرجة:

خطيئة 2 س = 1/2 · (1 - جتا 2س)؛

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

الخطوة 2.حل المعادلة الناتجة باستخدام الطريقتين الأولى والثانية.

مثال.

كوس 2س + كوس 2 س = 5/4.

حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4؛

3/2 كوس 2س = 3/4؛

2x = ±π/3 + 2πn, nЄZ;

س = ±π/6 + πn, nЄZ.

الإجابة: x = ±π/6 + πn, nЄZ.

رابعا. المعادلات المتجانسة

مخطط الحل

الخطوة 1.تقليل هذه المعادلة إلى النموذج

أ) أ خطيئة س + ب جتا س = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى)

أو إلى الرأي

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

الخطوة 2.اقسم طرفي المعادلة على

أ) كوس س ≠ 0؛

ب) جتا 2 س ≠ 0؛

واحصل على معادلة tan x:

أ) تان س + ب = 0؛

ب) أ تان 2 س + ب القطب الشمالي س + ج = 0.

الخطوه 3.حل المعادلة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

جا 2 س + 3 جا س · كوس س – 4كوس 2 × = 0/كوس 2 × ≠ 0.

2) تيراغرام 2 س + 3تيراغرام س – 4 = 0.

3) دع tg x = t، إذن

ر 2 + 3ت – 4 = 0;

ر = 1 أو ر = -4، وهو ما يعني

تيراغرام س = 1 أو تيراغرام س = -4.

من المعادلة الأولى x = π/4 + πn, n Є Z; من المعادلة الثانية x = -arctg 4 + πk، kЄ Z.

الجواب: س = π/4 + πn، n Є Z؛ س = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. طريقة تحويل المعادلة باستخدام الصيغ المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.باستخدام جميع الصيغ المثلثية الممكنة، اختزل هذه المعادلة إلى معادلة تم حلها بالطرق I، II، III، IV.

الخطوة 2.حل المعادلة الناتجة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

خطيئة س + خطيئة 2س + خطيئة 3س = 0.

حل.

1) (الخطيئة س + الخطيئة 3س) + الخطيئة 2س = 0؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) خطيئة 2س (2كوس س + 1) = 0؛

الخطيئة 2x = 0 أو 2cos x + 1 = 0؛

من المعادلة الأولى 2x = π/2 + πn, n Є Z; من المعادلة الثانية cos x = -1/2.

لدينا x = π/4 + πn/2, n Є Z; من المعادلة الثانية x = ±(π – π/3) + 2πk, kЄZ.

ونتيجة لذلك، x = π/4 + πn/2, n Є Z; س = ±2π/3 + 2πك، ك، ض.

الجواب: x = π/4 + πn/2, n Є Z؛ س = ±2π/3 + 2πك، ك، ض.

القدرة والمهارة على حل المعادلات المثلثية للغاية والأهم من ذلك أن تطويرها يتطلب جهدًا كبيرًا، سواء من جانب الطالب أو من جانب المعلم.

ترتبط العديد من مسائل القياس الفراغي والفيزياء وغيرها بحل المعادلات المثلثية، وتجسد عملية حل مثل هذه المسائل العديد من المعارف والمهارات التي يتم اكتسابها من خلال دراسة عناصر علم المثلثات.

تحتل المعادلات المثلثية مكانًا مهمًا في عملية تعلم الرياضيات والتنمية الشخصية بشكل عام.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل المعادلات المثلثية؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

يتم حل أبسط المعادلات المثلثية، كقاعدة عامة، باستخدام الصيغ. دعني أذكرك أن أبسط المعادلات المثلثية هي:

سينكس = أ

كوسكس = أ

تغكس = أ

ctgx = أ

x هي الزاوية التي سيتم العثور عليها،
a هو أي رقم.

وإليك الصيغ التي يمكنك من خلالها كتابة حلول أبسط المعادلات على الفور.

لجيب:

لجيب التمام:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

للظل:

x = قطبي a + π n, n ∈ Z

لظل التمام:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

في الواقع، هذا هو الجزء النظري لحل أبسط المعادلات المثلثية. علاوة على ذلك، كل شيء!) لا شيء على الإطلاق. ومع ذلك، فإن عدد الأخطاء في هذا الموضوع هو ببساطة خارج المخططات. خاصة إذا كان المثال ينحرف قليلاً عن القالب. لماذا؟

نعم، لأن الكثير من الناس يكتبون هذه الرسائل، دون أن نفهم معناها على الإطلاق!إنه يكتب بحذر، خشية أن يحدث شيء ما...) يجب حل هذا الأمر. علم المثلثات للناس، أو الناس لعلم المثلثات، بعد كل شيء!؟)

دعونا معرفة ذلك؟

زاوية واحدة ستكون مساوية ل أركوس أ, ثانية: -اركوس أ.

وسوف تعمل دائما بهذه الطريقة.لأي أ.

إذا كنت لا تصدقني، قم بتمرير مؤشر الماوس فوق الصورة، أو المس الصورة الموجودة على جهازك اللوحي.) لقد قمت بتغيير الرقم أ إلى شيء سلبي. على أية حال، حصلنا على زاوية واحدة أركوس أ, ثانية: -اركوس أ.

ولذلك، يمكن دائمًا كتابة الإجابة على شكل سلسلتين من الجذور:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

دعونا ندمج هاتين السلسلتين في سلسلة واحدة:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

و هذا كل شيء. لقد حصلنا على صيغة عامة لحل أبسط معادلة مثلثية باستخدام جيب التمام.

إذا فهمت أن هذه ليست بعض الحكمة العلمية الفائقة، ولكن مجرد نسخة مختصرة من سلسلتين من الإجابات،ستتمكن أيضًا من التعامل مع المهام "ج". مع عدم المساواة، مع اختيار الجذور من فترة معينة... هناك الإجابة مع زائد/ناقص لا تعمل. ولكن إذا تعاملت مع الإجابة بطريقة عملية، وقسمتها إلى إجابتين منفصلتين، فسيتم حل كل شيء.) في الواقع، هذا هو سبب بحثنا في الأمر. ماذا وكيف وأين.

في أبسط معادلة مثلثية

سينكس = أ

نحصل أيضًا على سلسلتين من الجذور. دائماً. ويمكن أيضًا تسجيل هاتين السلسلتين في سطر واحد. فقط هذا الخط سيكون أكثر تعقيدًا:

x = (-1) n قوسسين a + π n, n ∈ Z

لكن الجوهر يبقى كما هو. لقد صمم علماء الرياضيات ببساطة صيغة لإنشاء سجل واحد بدلاً من سجلين لسلسلة من الجذور. هذا كل شئ!

دعونا نتحقق من علماء الرياضيات؟ ولا تعلمون...)

في الدرس السابق، تمت مناقشة الحل (بدون أي صيغ) للمعادلة المثلثية مع الجيب بالتفصيل:

نتج عن الإجابة سلسلتين من الجذور:

س 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

× 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

إذا حللنا نفس المعادلة باستخدام الصيغة، فسنحصل على الجواب:

x = (-1) n قوسسين 0.5 + π n, n ∈ Z

في الواقع، هذه إجابة غير مكتملة.) يجب أن يعرف الطالب ذلك أركسين 0.5 = π /6.الجواب الكامل سيكون:

س = (-1) ن π /6+ π ن، ن ∈ ض

وهذا يثير مسألة مثيرة للاهتمام. الرد عبر × 1؛ × 2 (هذه هي الإجابة الصحيحة!) ومن خلال وحيدا X (وهذه هي الإجابة الصحيحة!) - هل هما نفس الشيء أم لا؟ سنكتشف ذلك الآن.)

نعوض في الجواب ب × 1 قيم ن =0; 1؛ 2؛ وما إلى ذلك، نحسب، نحصل على سلسلة من الجذور:

س 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 وما إلى ذلك وهلم جرا.

مع نفس الاستبدال في الرد مع × 2 ، نحن نحصل:

س 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 وما إلى ذلك وهلم جرا.

الآن دعونا نستبدل القيم ن (0؛ 1؛ 2؛ 3؛ 4...) في الصيغة العامة للمفرد X . أي أننا نرفع سالب واحد إلى الأس صفر، ثم إلى الأول فالثاني، وهكذا. حسنًا، بالطبع، نعوض بـ 0 في الحد الثاني؛ 1؛ 2 3; 4، الخ. ونحن نحسب. نحصل على السلسلة:

س = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 وما إلى ذلك وهلم جرا.

هذا كل ما يمكنك رؤيته.) الصيغة العامة تعطينا بالضبط نفس النتائجكما هو الحال مع الإجابتين بشكل منفصل. فقط كل شيء دفعة واحدة، بالترتيب. لم ينخدع علماء الرياضيات.)

يمكن أيضًا التحقق من صيغ حل المعادلات المثلثية ذات الظل وظل التمام. لكننا لن نفعل ذلك.) إنها بسيطة بالفعل.

لقد كتبت كل هذا الاستبدال والتحقق على وجه التحديد. من المهم هنا أن نفهم شيئًا واحدًا بسيطًا: هناك صيغ لحل المعادلات المثلثية الأولية، مجرد ملخص قصير للإجابات.لهذا الإيجاز، كان علينا إدراج علامة زائد/ناقص في محلول جيب التمام و(-1) n في محلول الجيب.

لا تتداخل هذه الإدخالات بأي شكل من الأشكال في المهام التي تحتاج فيها فقط إلى كتابة إجابة المعادلة الأولية. ولكن إذا كنت بحاجة إلى حل متباينة، أو كنت بحاجة إلى القيام بشيء ما مع الإجابة: تحديد الجذور على فترة ما، والتحقق من وجود ODZ، وما إلى ذلك، فإن هذه الإدخالات يمكن أن تزعج الشخص بسهولة.

اذا ماذا يجب أن أفعل؟ نعم، إما أن تكتب الإجابة في سلسلتين، أو تحل المعادلة/المتباينة باستخدام الدائرة المثلثية. ثم تختفي هذه الإدخالات وتصبح الحياة أسهل.)

يمكننا أن نلخص.

لحل أبسط المعادلات المثلثية، هناك صيغ إجابات جاهزة. أربع قطع. إنها جيدة لكتابة حل المعادلة على الفور. على سبيل المثال، تحتاج إلى حل المعادلات:

سينكس = 0.3

بسهولة: x = (-1) n قوسسين 0.3 + π n, n ∈ Z

كوزكس = 0.2

لا مشكلة: س = ± قوس 0.2 + 2π n, n ∈ Z

تغكس = 1.2

بسهولة: x = القطب الشمالي 1,2 + π n, n ∈ Z

كجتكس = 3.7

بقيت واحده: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

كوس س = 1.8

إذا كنت تتألق بالمعرفة، فاكتب الإجابة على الفور:

س= ± قوس 1.8 + 2π n, n ∈ Z

فأنت تتألق بالفعل، هذا... ذلك... من بركة.) الإجابة الصحيحة: لا توجد حلول. لا أفهم لماذا؟ اقرأ ما هو قوس جيب التمام. بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت هناك قيم جدولية للجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية، - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 وما إلى ذلك وهلم جرا. - الجواب من خلال الأقواس لن يكتمل. يجب تحويل الأقواس إلى راديان.

وإذا واجهت عدم المساواة، مثل

فالجواب هو:

س πn، ن ∈ Z

هناك هراء نادر، نعم...) هنا تحتاج إلى الحل باستخدام الدائرة المثلثية. ماذا سنفعل في الموضوع المقابل.

بالنسبة لأولئك الذين قرأوا ببطولة هذه السطور. أنا ببساطة لا أستطيع إلا أن أقدر جهودك الجبارة. مكافأة لك.)

علاوة:

عند كتابة الصيغ في موقف قتالي مثير للقلق، غالبًا ما يرتبك حتى المهووسون المتمرسون حول مكانها πن, و أين 2π ن. إليك خدعة بسيطة لك. في الجميعالصيغ تستحق ن. باستثناء الصيغة الوحيدة مع جيب التمام القوسي. انها تقف هناك 2πn. اثنين peen. الكلمة الرئيسية - اثنين.في هذه الصيغة نفسها هناك اثنينالتوقيع في البداية. زائد وناقص. هنا وهناك - اثنين.

لذلك إذا كتبت اثنينقم بالتوقيع قبل قوس جيب التمام، فمن الأسهل أن تتذكر ما سيحدث في النهاية اثنينبين. ويحدث العكس أيضًا. سوف يفتقد الشخص العلامة ± ، يصل إلى النهاية، يكتب بشكل صحيح اثنين Pien، وسوف يأتي إلى رشده. هناك شيء في المستقبل اثنينلافتة! سيعود الشخص إلى البداية ويصحح الخطأ! مثله.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.