ما هو في الرسم البياني للوظيفة. الوظائف والرسوم البيانية

هذه المادة التعليمية هي للإشارة فقط وتتعلق بمجموعة واسعة من المواضيع. تقدم المقالة نظرة عامة على الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية وتنظر في القضية الأكثر أهمية - كيفية بناء الرسم البياني بشكل صحيح وبسرعة. في سياق دراسة الرياضيات العليا دون معرفة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية، سيكون الأمر صعبًا، لذلك من المهم جدًا أن تتذكر كيف تبدو الرسوم البيانية للقطع المكافئ، والقطع الزائد، والجيب، وجيب التمام، وما إلى ذلك، وتذكر بعض من معاني الوظائف. سنتحدث أيضًا عن بعض خصائص الوظائف الرئيسية.

أنا لا أدعي اكتمال المواد ودقتها العلمية؛ سيتم التركيز في المقام الأول على الممارسة - تلك الأشياء التي يتم بها ذلك يواجه المرء حرفيًا في كل خطوة في أي موضوع من موضوعات الرياضيات العليا. الرسوم البيانية للدمى؟ يمكن للمرء أن يقول ذلك.

نظرا للطلبات العديدة من القراء جدول محتويات قابل للنقر عليه:

بالإضافة إلى ذلك، هناك ملخص قصير للغاية حول هذا الموضوع
- أتقن 16 نوعًا من الرسوم البيانية من خلال دراسة ست صفحات!

على محمل الجد، ستة، حتى أنني فوجئت. يحتوي هذا الملخص على رسومات محسنة ومتاح مقابل رسوم رمزية، ويمكن الاطلاع على النسخة التجريبية. من السهل طباعة الملف بحيث تكون الرسوم البيانية في متناول اليد دائمًا. شكرا لدعم المشروع!

ولنبدأ على الفور:

كيفية بناء محاور الإحداثيات بشكل صحيح؟

من الناحية العملية، يتم إكمال الاختبارات دائمًا تقريبًا من قبل الطلاب في دفاتر ملاحظات منفصلة، ​​مبطنة في مربع. لماذا تحتاج إلى علامات متقلب؟ بعد كل شيء، يمكن أن يتم العمل، من حيث المبدأ، على أوراق A4. والقفص ضروري فقط لتصميم الرسومات عالي الجودة والدقيق.

يبدأ أي رسم للرسم البياني للدالة بمحاور الإحداثيات.

يمكن أن تكون الرسومات ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد.

دعونا نفكر أولاً في الحالة ثنائية الأبعاد نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل:

1) رسم محاور الإحداثيات. يسمى المحور المحور السيني ، والمحور هو المحور ص . نحاول دائمًا رسمهم أنيق وغير ملتوي. يجب أيضًا ألا تشبه الأسهم لحية بابا كارلو.

2) نوقع المحاور بالأحرف الكبيرة "X" و"Y". لا تنس تسمية المحاور.

3) ضبط المقياس على طول المحاور: ارسم صفرًا واثنين من الآحاد. عند الرسم، فإن المقياس الأكثر ملاءمة والأكثر استخدامًا هو: وحدة واحدة = خليتين (الرسم على اليسار) - التزم به إذا أمكن. ومع ذلك، من وقت لآخر يحدث أن الرسم لا يتناسب مع ورقة دفتر الملاحظات - ثم نقوم بتقليل المقياس: وحدة واحدة = خلية واحدة (الرسم على اليمين). إنه أمر نادر، ولكن يحدث أنه يجب تقليل (أو زيادة) حجم الرسم أكثر

ليست هناك حاجة إلى "مدفع رشاش"...-5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، .....لأن المستوى الإحداثي ليس نصبًا تذكاريًا لديكارت، والطالب ليس حمامة. نضع صفرو وحدتين على طول المحاور. أحيانا بدلاً منالوحدات، من الملائم "وضع علامة" على القيم الأخرى، على سبيل المثال، "اثنين" على محور الإحداثيات و"ثلاثة" على المحور الإحداثي - وهذا النظام (0 و2 و3) سيحدد أيضًا شبكة الإحداثيات بشكل فريد.

من الأفضل تقدير الأبعاد المقدرة للرسم قبل إنشاء الرسم. لذلك، على سبيل المثال، إذا كانت المهمة تتطلب رسم مثلث ذو رؤوس، ,، فمن الواضح تمامًا أن المقياس الشائع 1 وحدة = 2 خلية لن يعمل. لماذا؟ دعونا نلقي نظرة على هذه النقطة - هنا سيتعين عليك قياس خمسة عشر سنتيمترًا لأسفل، ومن الواضح أن الرسم لن يتناسب (أو بالكاد يتناسب) مع ورقة دفتر الملاحظات. لذلك، نختار على الفور مقياسًا أصغر: وحدة واحدة = خلية واحدة.

بالمناسبة، حوالي سنتيمترات وخلايا الكمبيوتر المحمول. هل صحيح أن 30 خلية دفترية تحتوي على 15 سم؟ للمتعة، قم بقياس 15 سم في دفترك باستخدام المسطرة. ربما كان هذا صحيحًا في الاتحاد السوفييتي... ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه إذا قمت بقياس هذه السنتيمترات نفسها أفقيًا وعموديًا، فإن النتائج (في الخلايا) ستكون مختلفة! بالمعنى الدقيق للكلمة، أجهزة الكمبيوتر المحمولة الحديثة ليست متقلب، ولكن مستطيلة. قد يبدو هذا هراء، لكن رسم دائرة ببوصلة في مثل هذه المواقف، على سبيل المثال، أمر غير مريح للغاية. لنكون صادقين، في مثل هذه اللحظات، تبدأ في التفكير في صحة الرفيق ستالين، الذي تم إرساله إلى معسكرات العمل الاختراق في الإنتاج، ناهيك عن صناعة السيارات المحلية أو الطائرات المتساقطة أو انفجار محطات الطاقة.

الحديث عن الجودة، أو توصية موجزة بشأن القرطاسية. اليوم، معظم أجهزة الكمبيوتر المحمولة المعروضة للبيع هي، على أقل تقدير، حماقة كاملة. لأنها تتبلل، ليس فقط من أقلام الجل، ولكن أيضًا من أقلام الحبر الجاف! إنهم يوفرون المال على الورق. لإكمال الاختبارات، أوصي باستخدام دفاتر الملاحظات من مصنع اللب والورق في أرخانجيلسك (18 ورقة، مربع) أو "Pyaterochka"، على الرغم من أنها أكثر تكلفة. يُنصح باختيار قلم هلامي؛ فحتى أرخص عبوة هلام صينية أفضل بكثير من قلم الحبر الجاف، الذي يؤدي إلى تلطيخ الورق أو تمزيقه. قلم الحبر الوحيد "التنافسي" الذي يمكنني تذكره هو قلم إريك كراوس. إنها تكتب بشكل واضح وجميل ومتسق – سواء بنواة كاملة أو بنواة فارغة تقريبًا.

بالإضافة إلى ذلك: رؤية نظام الإحداثيات المستطيل من خلال عيون الهندسة التحليلية تمت تغطيتها في المقالة الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات، يمكن العثور على معلومات مفصلة حول الأرباع الإحداثية في الفقرة الثانية من الدرس المتباينات الخطية.

حالة ثلاثية الأبعاد

إنه نفس الشيء تقريبًا هنا.

1) رسم محاور الإحداثيات. معيار: ينطبق المحور - موجه للأعلى، المحور - موجه لليمين، المحور - موجه للأسفل لليسار بشكل صارمبزاوية 45 درجة.

2) تسمية المحاور.

3) ضبط المقياس على طول المحاور. المقياس على طول المحور أصغر مرتين من المقياس على طول المحاور الأخرى. لاحظ أيضًا أنه في الرسم الأيمن استخدمت "درجة" غير قياسية على طول المحور (وقد سبق ذكر هذا الاحتمال أعلاه). من وجهة نظري، هذا أكثر دقة وأسرع وأكثر جمالية - ليست هناك حاجة للبحث عن منتصف الخلية تحت المجهر و"نحت" وحدة قريبة من أصل الإحداثيات.

عند عمل رسم ثلاثي الأبعاد، أعط الأولوية مرة أخرى للقياس
وحدة واحدة = خليتين (الرسم على اليسار).

لماذا كل هذه القواعد؟ مصنوعة قواعد لا بد من كسرها. وهذا ما سأفعله الآن. والحقيقة هي أن الرسومات اللاحقة للمقال سوف أقوم بها في Excel، وستبدو محاور الإحداثيات غير صحيحة من وجهة نظر التصميم الصحيح. يمكنني رسم جميع الرسوم البيانية يدويًا، ولكن من المخيف في الواقع رسمها لأن برنامج Excel متردد في رسمها بشكل أكثر دقة.

الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية

دالة خطية تعطى بالمعادلة. الرسم البياني للوظائف الخطية هو مباشر. من أجل بناء خط مستقيم، يكفي معرفة نقطتين.

مثال 1

إنشاء رسم بياني للوظيفة. دعونا نجد نقطتين. من المفيد اختيار الصفر كأحد النقاط.

اذا ثم

لنأخذ نقطة أخرى، على سبيل المثال، 1.

اذا ثم

عند الانتهاء من المهام، عادة ما يتم تلخيص إحداثيات النقاط في جدول:

ويتم حساب القيم نفسها شفويا أو على مسودة الآلة الحاسبة.

تم العثور على نقطتين، دعونا نرسم:

عند إعداد الرسم، نقوم دائمًا بالتوقيع على الرسومات.

قد يكون من المفيد التذكير بحالات خاصة للدالة الخطية:

لاحظوا كيف قمت بوضع التوقيعات، يجب ألا تسمح التوقيعات بالتناقضات عند دراسة الرسم. في هذه الحالة، كان من غير المرغوب فيه للغاية وضع التوقيع بجوار نقطة تقاطع الخطوط، أو في أسفل اليمين بين الرسوم البيانية.

1) تسمى الدالة الخطية بالشكل () التناسب المباشر. على سبيل المثال، . يمر مخطط التناسب المباشر دائمًا عبر نقطة الأصل. وبالتالي، يتم تبسيط إنشاء خط مستقيم - يكفي العثور على نقطة واحدة فقط.

2) تحدد معادلة النموذج خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، على وجه الخصوص، يتم إعطاء المحور نفسه بواسطة المعادلة. يتم رسم الرسم البياني للدالة على الفور، دون العثور على أي نقاط. أي أنه يجب فهم الإدخال على النحو التالي: "y تساوي دائمًا -4 لأي قيمة لـ x."

3) تحدد معادلة النموذج خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، على وجه الخصوص، يتم إعطاء المحور نفسه بواسطة المعادلة. يتم أيضًا رسم الرسم البياني للوظيفة على الفور. ينبغي فهم الإدخال على النحو التالي: "x دائمًا، لأي قيمة لـ y، يساوي 1."

قد يتساءل البعض لماذا تتذكر الصف السادس؟! هذا هو الحال، ربما يكون الأمر كذلك، ولكن على مدار سنوات الممارسة التقيت بعدد كبير من الطلاب الذين كانوا في حيرة من أمرهم بشأن مهمة إنشاء رسم بياني مثل أو.

يعد إنشاء خط مستقيم الإجراء الأكثر شيوعًا عند عمل الرسومات.

تمت مناقشة الخط المستقيم بالتفصيل في سياق الهندسة التحليلية، ويمكن للمهتمين الرجوع إلى المقال معادلة الخط المستقيم على المستوى.

رسم بياني لدالة تربيعية ومكعبة، رسم بياني لكثيرة الحدود

القطع المكافئ. الرسم البياني للدالة التربيعية () يمثل القطع المكافئ. لنتأمل الحالة الشهيرة:

دعونا نتذكر بعض خصائص الوظيفة.

إذن حل معادلتنا: – عند هذه النقطة يقع رأس القطع المكافئ. يمكن تعلم سبب ذلك من المقالة النظرية حول المشتقة والدرس الخاص بالنقاط القصوى للدالة. في هذه الأثناء، دعونا نحسب القيمة المقابلة لـ "Y":

وبالتالي فإن قمة الرأس تقع عند النقطة

والآن نجد نقاطًا أخرى، بينما نستخدم بوقاحة تماثل القطع المكافئ. وتجدر الإشارة إلى أن الوظيفة – ليست حتىولكن، مع ذلك، لم يقم أحد بإلغاء تماثل القطع المكافئ.

وبأي ترتيب لإيجاد النقاط المتبقية أعتقد أنه سيكون واضحاً من الجدول النهائي:

يمكن تسمية خوارزمية البناء هذه مجازيًا بـ "المكوك" أو مبدأ "الذهاب والإياب" لدى Anfisa Chekhova.

لنقم بالرسم:

ومن خلال الرسوم البيانية التي تم فحصها، تتبادر إلى الذهن ميزة أخرى مفيدة:

لدالة تربيعية () صحيح ما يلي:

إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى.

إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل.

يمكن الحصول على معرفة متعمقة حول المنحنى في درس القطع الزائد والقطع المكافئ.

يتم إعطاء القطع المكافئ المكعب بواسطة الوظيفة. هنا رسم مألوف من المدرسة:

دعونا قائمة الخصائص الرئيسية للوظيفة

رسم بياني للدالة

وهو يمثل أحد فروع القطع المكافئ. لنقم بالرسم:

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

وفي هذه الحالة يكون المحور الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للقطع الزائد في .

سيكون خطأً فادحًا إذا سمحت للرسم البياني بالتقاطع مع الخط المقارب أثناء رسم الرسم.

تخبرنا الحدود أحادية الجانب أيضًا أن القطع الزائد لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل.

دعونا نتفحص الدالة عند اللانهاية: أي أننا إذا بدأنا التحرك على طول المحور إلى اليسار (أو اليمين) إلى ما لا نهاية، فإن "الألعاب" ستكون في خطوة منظمة قريبة بلا حدوديقترب من الصفر، وبالتالي فروع القطع الزائد قريبة بلا حدودالاقتراب من المحور.

وبالتالي فإن المحور هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة، إذا كان "x" يميل إلى زائد أو ناقص اللانهاية.

الوظيفة هي غريب، وبالتالي فإن القطع الزائد متماثل حول الأصل. هذه الحقيقة واضحة من الرسم، بالإضافة إلى أنه يمكن التحقق منها بسهولة من الناحية التحليلية: .

يمثل الرسم البياني لدالة النموذج () فرعين من القطع الزائد.

إذا كان القطع الزائد يقع في ربعي الإحداثيات الأول والثالث(انظر الصورة أعلاه).

إذا كان القطع الزائد يقع في ربعي الإحداثيات الثاني والرابع.

من السهل تحليل النمط المشار إليه لإقامة القطع الزائد من وجهة نظر التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

مثال 3

بناء الفرع الأيمن من القطع الزائد

نستخدم طريقة البناء النقطي، ومن المفيد اختيار القيم بحيث تكون قابلة للقسمة على الكل:

لنقم بالرسم:

لن يكون من الصعب إنشاء الفرع الأيسر من القطع الزائد؛ فغرابة الدالة ستساعد هنا. بشكل تقريبي، في جدول البناء النقطي، نضيف عقليًا ناقصًا لكل رقم، ونضع النقاط المقابلة ونرسم الفرع الثاني.

يمكن العثور على معلومات هندسية تفصيلية حول الخط المعني في مقالة القطع الزائد والقطع المكافئ.

رسم بياني للدالة الأسية

في هذا القسم، سأفكر على الفور في الوظيفة الأسية، لأنه في مشاكل الرياضيات العليا في 95٪ من الحالات، تظهر الأسي.

اسمحوا لي أن أذكرك أن هذا رقم غير منطقي: سيكون هذا مطلوبًا عند إنشاء رسم بياني، والذي سأبنيه في الواقع بدون احتفال. ثلاث نقاط ربما تكون كافية:

دعونا نترك الرسم البياني للوظيفة بمفرده في الوقت الحالي، وسنتحدث عنه لاحقًا.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

تبدو الرسوم البيانية للوظائف، وما إلى ذلك، متشابهة بشكل أساسي.

ويجب أن أقول إن الحالة الثانية تحدث بشكل أقل تكرارا في الممارسة العملية، ولكنها تحدث، لذلك رأيت أنه من الضروري إدراجها في هذه المقالة.

رسم بياني لوظيفة لوغاريتمية

خذ بعين الاعتبار دالة ذات لوغاريتم طبيعي.
دعونا نرسم نقطة بنقطة:

إذا نسيت ما هو اللوغاريتم، يرجى الرجوع إلى الكتب المدرسية الخاصة بك.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

اِختِصاص:

مدى من القيم: .

الوظيفة لا تقتصر على ما سبق: وإن كان ذلك ببطء، إلا أن فرع اللوغاريتم يرتفع إلى ما لا نهاية.
دعونا نتفحص سلوك الدالة القريبة من الصفر على اليمين: . وبالتالي فإن المحور هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للدالة حيث يميل "x" إلى الصفر من اليمين.

من الضروري معرفة وتذكر القيمة النموذجية للوغاريتم: .

من حيث المبدأ، يبدو الرسم البياني للوغاريتم للأساس كما هو: , , (اللوغاريتم العشري للأساس 10)، إلخ. علاوة على ذلك، كلما كانت القاعدة أكبر، كلما كان الرسم البياني مسطحًا.

لن نأخذ هذه الحالة بعين الاعتبار؛ لا أتذكر آخر مرة قمت فيها بإنشاء رسم بياني على هذا الأساس. ويبدو أن اللوغاريتم ضيف نادر جدًا في مشاكل الرياضيات العليا.

وفي نهاية هذه الفقرة سأقول حقيقة أخرى: الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية- هاتان وظيفتان عكسيتان. إذا نظرت عن كثب إلى الرسم البياني للوغاريتم، يمكنك أن ترى أن هذا هو نفس الأس، ولكنه يقع بشكل مختلف قليلاً.

الرسوم البيانية للدوال المثلثية

أين يبدأ العذاب المثلثي في ​​المدرسة؟ يمين. من جيب

دعونا نرسم الوظيفة

هذا الخط يسمى الجيوب الأنفية.

اسمحوا لي أن أذكرك أن "باي" هو عدد غير نسبي: وفي علم المثلثات يجعل عينيك تبهر.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

هذه الوظيفة دوريةمع فترة . ماذا يعني ذلك؟ دعونا نلقي نظرة على هذا الجزء. وعلى يساره ويمينه، تتكرر نفس القطعة من الرسم البياني إلى ما لا نهاية.

اِختِصاص: أي أنه لأي قيمة لـ "x" هناك قيمة جيبية.

مدى من القيم: . الوظيفة هي محدود: أي أن جميع "الألعاب" موجودة بشكل صارم في هذا المقطع.
هذا لا يحدث: أو بالأحرى، يحدث، لكن هذه المعادلات ليس لها حل.

الجامعة الوطنية للبحوث

قسم الجيولوجيا التطبيقية

ملخص عن الرياضيات العليا

حول الموضوع: "الوظائف الأولية الأساسية،

خصائصها ورسومها البيانية"

مكتمل:

التحقق:

مدرس

تعريف. الدالة المعطاة بالصيغة y=a x (حيث a>0, a≠1) تسمى دالة أسية ذات الأساس a.

دعونا صياغة الخصائص الرئيسية للوظيفة الأسية:

1. مجال التعريف هو المجموعة (R) لجميع الأعداد الحقيقية.

2. المدى - المجموعة (R+) لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

3. بالنسبة لـ > 1، تزداد الدالة على طول خط الأعداد بأكمله؛ عند 0<а<1 функция убывает.

4. هي دالة ذات شكل عام.

، على الفاصل الزمني xO [-3;3]
، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

دالة من الشكل y(x)=x n، حيث n هو الرقم ОR، تسمى دالة القدرة. يمكن أن يتخذ الرقم n قيمًا مختلفة: عدد صحيح وكسري، وزوجي وفردي. اعتمادا على هذا، سيكون لوظيفة الطاقة شكل مختلف. دعونا نفكر في حالات خاصة هي دوال قوة وتعكس الخصائص الأساسية لهذا النوع من المنحنيات بالترتيب التالي: دالة القدرة y=x² (دالة ذات أس زوجي - قطع مكافئ)، دالة القدرة y=x³ (دالة ذات أس فردي - القطع المكافئ المكعب) والدالة y=√x (x أس ½) (الدالة ذات الأس الكسري)، والدالة ذات الأس الصحيح السالب (القطع الزائد).

وظيفة الطاقة ص=س²

1. D(x)=R – يتم تعريف الدالة على المحور العددي بأكمله؛

2. E(y)= ويزداد على الفترة

وظيفة الطاقة ص=س³

1. الرسم البياني للدالة y=x³ يسمى القطع المكافئ المكعب. دالة الطاقة y=x³ لها الخصائص التالية:

2. D(x)=R – يتم تعريف الدالة على المحور العددي بأكمله؛

3. E(y)=(-∞;∞) – تأخذ الدالة جميع القيم في مجال تعريفها؛

4. عندما x=0 y=0 – تمر الدالة عبر أصل الإحداثيات O(0;0).

5. تزيد الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله.

6. الدالة فردية (متناظرة حول الأصل).

، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

اعتمادًا على العامل العددي الموجود أمام x³، يمكن أن تكون الدالة شديدة الانحدار/مسطحة ومتزايدة/متناقصة.

دالة القدرة ذات الأس الصحيح السالب:

إذا كان الأس n فرديًا، فإن الرسم البياني لدالة القدرة هذه يسمى القطع الزائد. دالة القدرة ذات الأس السالب الصحيح لها الخصائص التالية:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) لأي n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞)، إذا كان n رقمًا فرديًا؛ E(y)=(0;∞)، إذا كان n رقمًا زوجيًا؛

3. تتناقص الدالة على نطاق التعريف بأكمله إذا كان n رقمًا فرديًا؛ تزيد الدالة على الفاصل الزمني (-∞;0) وتتناقص على الفاصل الزمني (0;∞) إذا كان n رقمًا زوجيًا.

4. تكون الدالة فردية (متناظرة حول الأصل) إذا كان n رقمًا فرديًا؛ الدالة زوجية إذا كان n رقمًا زوجيًا.

5. تمر الدالة عبر النقطتين (1;1) و (-1;-1) إذا كان n عددا فرديا ومن خلال النقطتين (1;1) و (-1;1) إذا كان n عددا زوجيا.

، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

دالة القدرة مع الأس الكسرى

تحتوي دالة القدرة ذات الأس الكسري (الصورة) على رسم بياني للدالة الموضحة في الشكل. دالة القدرة ذات الأس الكسري لها الخصائص التالية: (صورة)

1. D(x) ОR، إذا كان n رقمًا فرديًا وD(x)=
، على الفاصل الزمني xO
، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

الدالة اللوغاريتمية y = log a x لها الخصائص التالية:

1. مجال التعريف D(x)O (0; + ∞).

2. نطاق القيم E(y) О (- ∞; + ∞)

3. الدالة ليست زوجية ولا فردية (بشكل عام).

4. تزيد الدالة على الفاصل الزمني (0; + ∞) لـ a > 1، وتتناقص على (0; + ∞) لـ 0< а < 1.

يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة y = log a x من الرسم البياني للدالة y = a x باستخدام تحويل التماثل حول الخط المستقيم y = x. يوضح الشكل 9 رسمًا بيانيًا للدالة اللوغاريتمية لـ a > 1، والشكل 10 لـ 0< a < 1.

; على الفاصل الزمني xO
; على الفاصل الزمني xO

الدوال y = sin x، y = cos x، y = tan x، y = ctg x تسمى الدوال المثلثية.

الوظائف y = sin x، y = tan x، y = ctg x فردية، والدالة y = cos x زوجية.

الدالة ص = الخطيئة(س).

1. مجال التعريف D(x) ОR.

2. نطاق القيم E(y) О [ - 1; 1].

3. الوظيفة دورية. الفترة الرئيسية هي 2π.

4. الوظيفة غريبة.

5. تزداد الدالة على فترات [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ويتناقص على فترات [π/2 + 2πn؛ 3π/2 + 2πn]، n О Z.

يظهر الرسم البياني للدالة y = sin (x) في الشكل 11.

الرسم البياني للدالة هو تمثيل مرئي لسلوك الوظيفة على المستوى الإحداثي. تساعدك الرسوم البيانية على فهم الجوانب المختلفة للوظيفة التي لا يمكن تحديدها من الوظيفة نفسها. يمكنك بناء رسوم بيانية للعديد من الوظائف، وسيتم إعطاء كل منها صيغة محددة. يتم إنشاء الرسم البياني لأي دالة باستخدام خوارزمية محددة (إذا كنت قد نسيت العملية الدقيقة لرسم دالة معينة).

خطوات

رسم بياني للدالة الخطية

تحديد ما إذا كانت الدالة خطية.يتم إعطاء الدالة الخطية بواسطة صيغة النموذج F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)أو ص = ك س + ب (\displaystyle y=kx+b)(على سبيل المثال، )، ورسمه البياني عبارة عن خط مستقيم. وبالتالي، تتضمن الصيغة متغيرًا واحدًا وثابتًا واحدًا (ثابتًا) دون أي أسس أو علامات جذر أو ما شابه. إذا تم إعطاء دالة من نوع مماثل، فمن السهل جدًا رسم رسم بياني لهذه الوظيفة. فيما يلي أمثلة أخرى للوظائف الخطية:

استخدم ثابتًا لتحديد نقطة على المحور Y.الثابت (b) هو الإحداثي "y" للنقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور Y، أي أنها نقطة يساوي إحداثيها "x" 0. وبالتالي، إذا تم استبدال x = 0 في الصيغة. ، ثم ص = ب (ثابت). في مثالنا ص = 2 س + 5 (\displaystyle y=2x+5)الثابت يساوي 5، أي أن نقطة التقاطع مع المحور Y لها إحداثيات (0.5). ارسم هذه النقطة على المستوى الإحداثي.

العثور على منحدر من الخط.وهو يساوي مضاعف المتغير. في مثالنا ص = 2 س + 5 (\displaystyle y=2x+5)مع المتغير "x" هناك عامل 2؛ وبالتالي فإن معامل الميل يساوي 2. ويحدد معامل الميل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور X، أي أنه كلما زاد معامل الميل، زادت سرعة الدالة أو نقصانها.

اكتب الميل في صورة كسر.المعامل الزاوي يساوي ظل زاوية الميل، أي نسبة المسافة العمودية (بين نقطتين على خط مستقيم) إلى المسافة الأفقية (بين نفس النقاط). في مثالنا، الميل هو 2، لذلك يمكننا أن نذكر أن المسافة الرأسية هي 2 والمسافة الأفقية هي 1. اكتب هذا في صورة كسر: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• إذا كان الميل سالبًا، فإن الدالة تتناقص.

1. من النقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم مع المحور Y، ارسم نقطة ثانية باستخدام المسافات الرأسية والأفقية. يمكن رسم دالة خطية باستخدام نقطتين. في مثالنا، نقطة التقاطع مع المحور Y لها إحداثيات (0.5)؛ من هذه النقطة، حرك مسافتين للأعلى ثم مسافة واحدة إلى اليمين. ضع علامة على نقطة؛ سيكون لها إحداثيات (1،7). الآن يمكنك رسم خط مستقيم.

   باستخدام المسطرة، ارسم خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطتين.لتجنب الأخطاء، ابحث عن النقطة الثالثة، ولكن في معظم الحالات يمكن رسم الرسم البياني باستخدام نقطتين. وهكذا، قمت برسم دالة خطية.

رسم النقاط على المستوى الإحداثي

تحديد وظيفة.تتم الإشارة إلى الوظيفة كـ f(x). تسمى جميع القيم الممكنة للمتغير "y" بمجال الدالة، وتسمى جميع القيم الممكنة للمتغير "x" بمجال الدالة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الدالة y = x+2، وهي f(x) = x+2.

ارسم خطين متعامدين متقاطعين.الخط الأفقي هو المحور X والخط العمودي هو المحور Y.

قم بتسمية محاور الإحداثيات.قسم كل محور إلى أجزاء متساوية وقم بترقيمها. نقطة تقاطع المحاور هي 0. بالنسبة للمحور X: يتم رسم الأرقام الموجبة إلى اليمين (من 0)، والأرقام السالبة إلى اليسار. بالنسبة للمحور Y: يتم رسم الأرقام الموجبة في الأعلى (من 0)، والأرقام السالبة في الأسفل.

ابحث عن قيم "y" من قيم "x".في مثالنا، f(x) = x+2. استبدل قيم x محددة في هذه الصيغة لحساب قيم y المقابلة. إذا أعطيت دالة معقدة، قم بتبسيطها عن طريق عزل "y" في أحد طرفي المعادلة.

• -1: -1 + 2 = 1
• 0: 0 +2 = 2
• 1: 1 + 2 = 3

1. رسم النقاط على المستوى الإحداثي.لكل زوج من الإحداثيات، قم بما يلي: ابحث عن القيمة المقابلة على المحور X وارسم خطًا رأسيًا (منقطًا)؛ ابحث عن القيمة المقابلة على المحور Y وارسم خطًا أفقيًا (خط متقطع). حدد نقطة تقاطع الخطين المنقطين؛ وهكذا، قمت برسم نقطة على الرسم البياني.

   محو الخطوط المنقطة.افعل ذلك بعد رسم جميع النقاط على الرسم البياني على المستوى الإحداثي. ملحوظة: الرسم البياني للدالة f(x) = x هو خط مستقيم يمر عبر مركز الإحداثيات [نقطة بإحداثيات (0,0)]؛ الرسم البياني f(x) = x + 2 هو خط موازي للخط f(x) = x، ولكنه مُزاح لأعلى بمقدار وحدتين وبالتالي يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (0,2) (لأن الثابت هو 2) .

رسم بياني لوظيفة معقدة

أوجد أصفار الدالة.أصفار الدالة هي قيم المتغير x حيث y = 0، أي أن هذه هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور X. ضع في اعتبارك أنه ليست كل الدوال بها أصفار، ولكنها الأولى خطوة في عملية الرسم البياني لأي وظيفة. للعثور على أصفار دالة، قم بمساواتها بالصفر. على سبيل المثال:

ابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية وحددها.الخط المقارب هو خط يقترب منه الرسم البياني للدالة ولكنه لا يتقاطع معه أبدًا (أي أنه في هذه المنطقة لا يتم تعريف الدالة، على سبيل المثال، عند القسمة على 0). ضع علامة على الخط المقارب بخط منقط. إذا كان المتغير "x" موجودًا في مقام الكسر (على سبيل المثال، y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))) ، اضبط المقام على الصفر وابحث عن "x". في القيم التي تم الحصول عليها للمتغير "x" لم يتم تعريف الدالة (في مثالنا، ارسم خطوطًا منقطة عبر x = 2 و x = -2)، لأنه لا يمكنك القسمة على 0. لكن الخطوط المقاربة لا توجد فقط في الحالات التي تحتوي فيها الدالة على تعبير كسري. لذلك يوصى باستخدام المنطق السليم:

1. العثور على إحداثيات عدة نقاط ورسمها على المستوى الإحداثي.ما عليك سوى تحديد عدة قيم x وتوصيلها بالوظيفة للعثور على قيم y المقابلة. ثم ارسم النقاط على المستوى الإحداثي. كلما كانت الوظيفة أكثر تعقيدًا، زاد عدد النقاط التي تحتاج إلى العثور عليها ورسمها. في معظم الحالات، استبدل x = -1; س = 0; x = 1، لكن إذا كانت الدالة معقدة، فأوجد ثلاث نقاط على كل جانب من نقطة الأصل.

   • في حالة الوظيفة ص = 5 × 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6)قم بتوصيل قيم x التالية: -1، 0، 1، -2، 2، -10، 10. سوف تحصل على عدد كاف من النقاط.
   • اختر قيم x الخاصة بك بحكمة. في مثالنا، من السهل أن نفهم أن الإشارة السالبة لا تهم: قيمة "y" عند x = 10 وعند x = -10 ستكون هي نفسها.
3. إذا كنت لا تعرف ما يجب فعله، فابدأ بإدخال قيم x مختلفة في الدالة للعثور على قيم y (وبالتالي إحداثيات النقاط). من الناحية النظرية، يمكن إنشاء رسم بياني للدالة باستخدام هذه الطريقة فقط (إذا، بالطبع، يتم استبدال مجموعة لا حصر لها من قيم "x").

1. الدالة الخطية الكسرية ورسمها البياني

دالة من النموذج y = P(x) / Q(x)، حيث P(x) وQ(x) كثيرات الحدود، تسمى دالة عقلانية كسرية.

ربما تكون على دراية بمفهوم الأعداد العقلانية. على نفس المنوال وظائف عقلانيةهي الدوال التي يمكن تمثيلها كحاصل اثنين من كثيرات الحدود.

إذا كانت الدالة الكسرية هي حاصل دالتين خطيتين - كثيرات الحدود من الدرجة الأولى، أي. وظيفة النموذج

y = (ax + b) / (cx + d) ويسمى خطيًا كسريًا.

لاحظ أنه في الدالة y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (وإلا تصبح الدالة خطية y = ax/d + b/d) وأن a/c ≠ b/d (وإلا فإن الدالة ثابتة). يتم تعريف الدالة الكسرية الخطية لجميع الأعداد الحقيقية باستثناء x = -d/c. الرسوم البيانية للدوال الخطية الكسرية لا تختلف في الشكل عن الرسم البياني y = 1/x الذي تعرفه. يسمى المنحنى الذي يمثل رسمًا بيانيًا للدالة y = 1/x مقارنة مبالغ فيها. مع زيادة غير محدودة في x في القيمة المطلقة، فإن الدالة y = 1/x تقلل القيمة المطلقة غير المحدودة وكلا فرعي الرسم البياني يقتربان من الإحداثي: يقترب اليمين من الأعلى، واليسار من الأسفل. الخطوط التي تسمى فروع نهج القطع الزائد لها الخطوط المقاربة.

مثال 1.

ص = (2س + 1) / (س – 3).

حل.

لنحدد الجزء بالكامل: (2س + 1) / (س – 3) = 2 + 7/(س – 3).

من السهل الآن أن نرى أن الرسم البياني لهذه الدالة يتم الحصول عليه من الرسم البياني للدالة y = 1/x عن طريق التحويلات التالية: التحول بمقدار 3 وحدات إلى اليمين، والتمدد على طول محور Oy 7 مرات والتحول بمقدار 2 وحدات الوحدة إلى أعلى.

يمكن كتابة أي جزء y = (ax + b) / (cx + d) بطريقة مماثلة، مع تحديد "الجزء الصحيح". وبالتالي، فإن الرسوم البيانية لجميع الدوال الخطية الكسرية عبارة عن قطع زائدة، يتم إزاحتها بطرق مختلفة على طول محاور الإحداثيات وتمتد على طول محور أوي.

لإنشاء رسم بياني لأي دالة خطية كسرية اعتباطية، ليس من الضروري على الإطلاق تحويل الكسر الذي يحدد هذه الوظيفة. وبما أننا نعلم أن الرسم البياني عبارة عن قطع زائد، فسيكون كافيًا العثور على الخطوط المستقيمة التي تقترب منها فروعه - الخطوط المقاربة للقطع الزائد x = -d/c و y = a/c.

مثال 2.

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة y = (3x + 5)/(2x + 2).

حل.

لم يتم تعريف الدالة، عند x = -1. هذا يعني أن الخط المستقيم x = -1 يعمل كخط مقارب رأسي. للعثور على الخط المقارب الأفقي، دعونا نكتشف ما تقترب منه قيم الدالة y(x) عندما تزداد قيمة الوسيطة x في القيمة المطلقة.

للقيام بذلك، قم بتقسيم البسط والمقام للكسر على x:

ص = (3 + 5/س) / (2 + 2/س).

مثل x → ∞ سيميل الكسر إلى 3/2. وهذا يعني أن الخط المقارب الأفقي هو الخط المستقيم y = 3/2.

مثال 3.

ارسم بيانيًا الدالة y = (2x + 1)/(x + 1).

حل.

لنختار "الجزء الكامل" من الكسر:

(2س + 1) / (س + 1) = (2س + 2 – 1) / (س + 1) = 2(س + 1) / (س + 1) – 1/(س + 1) =

2 - 1/(س + 1).

من السهل الآن أن نرى أنه تم الحصول على الرسم البياني لهذه الدالة من الرسم البياني للدالة y = 1/x عن طريق التحويلات التالية: التحول بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار، والعرض المتماثل فيما يتعلق بالثور والتحول بمقدار قطعتان من الوحدة على طول محور أوي.

المجال D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

نطاق القيم E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

نقاط التقاطع مع المحاور: ج أوي: (0؛ 1)؛ ج الثور: (-1/2؛ 0). تزداد الوظيفة عند كل فاصل زمني لمجال التعريف.

الجواب: الشكل 1.

2. وظيفة عقلانية كسرية

فكر في دالة عقلانية كسرية من النموذج y = P(x) / Q(x)، حيث P(x) وQ(x) متعددو الحدود بدرجة أعلى من الأولى.

أمثلة على هذه الوظائف العقلانية:

ص = (س 3 - 5س + 6) / (س 7 - 6) أو ص = (س - 2) 2 (س + 1) / (س 2 + 3).

إذا كانت الدالة y = P(x) / Q(x) تمثل حاصل قسمة كثيرتي حدود بدرجة أعلى من الأولى، فإن الرسم البياني الخاص بها سيكون، كقاعدة عامة، أكثر تعقيدًا، وقد يكون من الصعب في بعض الأحيان إنشاءه بدقة ، بكل التفاصيل. ومع ذلك، غالبًا ما يكفي استخدام تقنيات مشابهة لتلك التي قدمناها أعلاه.

دع الكسر يكون كسرًا مناسبًا (ن< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) مللي ثانية + L 2 /(x – K s) مللي ثانية-1 + … + L مللي ثانية /(x – K s) + …+

+ (ب 1 س + ج 1) / (س 2 + ع 1 س + ف 1) م1 + … + (ب م1 س + ج م1) / (س 2 + ع 1 س + ف 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

من الواضح أنه يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة الكسرية كمجموع الرسوم البيانية للكسور الأولية.

رسم الرسوم البيانية للوظائف العقلانية الكسرية

دعونا نفكر في عدة طرق لإنشاء رسوم بيانية لدالة عقلانية كسرية.

مثال 4.

ارسم الدالة y = 1/x 2 .

حل.

نستخدم الرسم البياني للدالة y = x 2 لإنشاء رسم بياني لـ y = 1/x 2 واستخدام تقنية "تقسيم" الرسوم البيانية.

المجال D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

نطاق القيم E(y) = (0; +∞).

لا توجد نقاط تقاطع مع المحاور. الوظيفة متساوية. الزيادات لجميع x من الفاصل الزمني (-∞; 0)، والنقصان لـ x من 0 إلى +∞.

الجواب: الشكل 2.

مثال 5.

ارسم بيانيًا الدالة y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

حل.

المجال D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

ص = (س 2 – 4س + 3) / (9 – 3س) = (س – 3)(س – 1) / (-3(س – 3)) = -(س – 1)/3 = -س/ 3 + 1/3.

استخدمنا هنا تقنية التحليل والاختزال والاختزال إلى دالة خطية.

الجواب: الشكل 3.

مثال 6.

ارسم بيانيًا الدالة y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

حل.

مجال التعريف هو D(y) = R. وبما أن الدالة زوجية، فإن الرسم البياني يكون متماثلًا حول الإحداثي. قبل بناء الرسم البياني، دعونا نحول التعبير مرة أخرى، مع تسليط الضوء على الجزء بأكمله:

ص = (س 2 - 1)/(س 2 + 1) = 1 - 2/(س 2 + 1).

لاحظ أن عزل الجزء الصحيح في صيغة الدالة الكسرية يعد أحد أهم العناصر عند إنشاء الرسوم البيانية.

إذا كانت x → ±∞، فإن y → 1، على سبيل المثال. الخط المستقيم y = 1 هو خط مقارب أفقي.

الجواب: الشكل 4.

مثال 7.

لنفكر في الدالة y = x/(x 2 + 1) ونحاول العثور على أكبر قيمة لها بدقة، أي. أعلى نقطة في النصف الأيمن من الرسم البياني. إن معرفة اليوم ليست كافية لبناء هذا الرسم البياني بدقة. من الواضح أن منحنىنا لا يمكن أن "يرتفع" عاليًا جدًا، لأنه يبدأ المقام بسرعة في "تجاوز" البسط. دعونا نرى ما إذا كانت قيمة الدالة يمكن أن تساوي 1. للقيام بذلك، علينا حل المعادلة x 2 + 1 = x، x 2 - x + 1 = 0. هذه المعادلة ليس لها جذور حقيقية. وهذا يعني أن افتراضنا غير صحيح. لإيجاد أكبر قيمة للدالة، عليك أن تعرف عند أي قيمة أكبر سيكون للمعادلة A = x/(x 2 + 1) حل. لنستبدل المعادلة الأصلية بمعادلة تربيعية: Ax 2 – x + A = 0. هذه المعادلة لها حل عندما 1 – 4A 2 ≥ 0. ومن هنا نجد القيمة الأكبر A = 1/2.

الإجابة: الشكل 5، الحد الأقصى لـ y(x) = ½.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية الرسم البياني للوظائف؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.