Paralelné čiary. Uhol medzi rovnými čiarami

V tomto článku najskôr zadefinujeme uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a poskytneme grafické znázornenie. Ďalej odpovieme na otázku: „Ako nájsť uhol medzi krížiacimi sa čiarami, ak sú známe súradnice smerových vektorov týchto čiar v pravouhlom súradnicovom systéme“? Na záver si precvičíme hľadanie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pri riešení príkladov a úloh.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami - definícia.

K určovaniu uhla medzi pretínajúcimi sa priamkami budeme pristupovať postupne.

Najprv si pripomeňme definíciu šikmých čiar: nazývajú sa dve čiary v trojrozmernom priestore kríženie, ak neležia v rovnakej rovine. Z tejto definície vyplýva, že pretínajúce sa čiary sa nepretínajú, nie sú rovnobežné a navyše sa nezhodujú, inak by obe ležali v určitej rovine.

Uveďme ďalšie pomocné zdôvodnenie.

Nech sú dve pretínajúce sa priamky aab dané v trojrozmernom priestore. Zostrojme priamky a 1 a b 1 tak, aby boli rovnobežné so šikmými priamkami a a b a prechádzali nejakým bodom v priestore M 1 . Tak dostaneme dve pretínajúce sa čiary a 1 a b 1. Nech je uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 rovný uhlu . Teraz zostrojme priamky a 2 a b 2 rovnobežné so šikmými priamkami a a b, ktoré prechádzajú bodom M 2, odlišným od bodu M 1. Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a 2 a b 2 bude tiež rovný uhlu. Toto tvrdenie je pravdivé, pretože priame čiary a 1 a b 1 sa zhodujú s priamkami a 2 a b 2, ak sa vykoná paralelný prenos, v ktorom sa bod M 1 presunie do bodu M 2. Preto miera uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v bode M, respektíve rovnobežnými s danými priesečníkmi, nezávisí od výberu bodu M.

Teraz sme pripravení definovať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Definícia.

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami, ktoré sú v tomto poradí rovnobežné s danými pretínajúcimi sa čiarami.

Z definície vyplýva, že uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami tiež nebude závisieť od výberu bodu M. Preto ako bod M môžeme vziať ľubovoľný bod patriaci jednej z pretínajúcich sa priamok.

Uveďme ilustráciu určenia uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Pretože uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je určený uhlom medzi pretínajúcimi sa čiarami, nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami je redukované na nájdenie uhla medzi zodpovedajúcimi pretínajúcimi sa čiarami v trojrozmernom priestore.

Metódy študované na hodinách geometrie na strednej škole sú nepochybne vhodné na zistenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami. To znamená, že po dokončení potrebných konštrukcií môžete požadovaný uhol spojiť s akýmkoľvek uhlom známym z podmienky na základe rovnosti alebo podobnosti obrázkov, v niektorých prípadoch to pomôže kosínusová veta a niekedy vedie k výsledku definícia sínusu, kosínusu a tangens uhla správny trojuholník.

Je však veľmi vhodné vyriešiť problém hľadania uhla medzi križujúcimi sa čiarami pomocou súradnicovej metódy. To je to, čo zvážime.

Nechajte Oxyz zaviesť v trojrozmernom priestore (hoci v mnohých problémoch doň musíte vstúpiť sami).

Dajme si úlohu: nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b, ktoré zodpovedajú niektorým rovniciam priamky v priestore v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz.

Poďme to vyriešiť.

Zoberme si ľubovoľný bod v trojrozmernom priestore M a predpokladajme, že ním prechádzajú priamky a 1 a b 1 rovnobežné s pretínajúcimi sa priamkami a a b. Potom sa požadovaný uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b rovná uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 podľa definície.

Musíme teda nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a1 a b1. Aby sme mohli použiť vzorec na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami v priestore, potrebujeme poznať súradnice smerových vektorov priamok a 1 a b 1.

Ako ich môžeme získať? A je to veľmi jednoduché. Definícia smerového vektora priamky nám umožňuje tvrdiť, že množiny smerových vektorov rovnobežných čiar sa zhodujú. Preto smerové vektory priamych čiar a 1 a b 1 možno považovať za smerové vektory A priamky a a b.

takže, Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b sa vypočíta podľa vzorca
, Kde A sú smerové vektory priamok a a b.

Vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b majú tvar .

Umožňuje vám nájsť sínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami, ak je známy kosínus: .

Zostáva analyzovať riešenia príkladov.

Príklad.

Nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b, ktoré sú v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz definované rovnicami A .

Riešenie.

Kanonické rovnice priamky v priestore umožňujú okamžite určiť súradnice smerového vektora tejto priamky - sú dané číslami v menovateľoch zlomkov, tj. . Parametrické rovnice priamky v priestore tiež umožňujú okamžite zapísať súradnice smerového vektora - rovnajú sa koeficientom pred parametrom, tj. - priamy vektor . Máme teda všetky potrebné údaje na použitie vzorca, podľa ktorého sa vypočíta uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami:

odpoveď:

Uhol medzi danými pretínajúcimi sa čiarami je rovný .

Príklad.

Nájdite sínus a kosínus uhla medzi priesečníkmi, na ktorých ležia hrany AD a BC pyramídy ABCD, ak sú známe súradnice jej vrcholov: .

Riešenie.

Smerové vektory križujúcich sa čiar AD a BC sú vektory a . Vypočítajme ich súradnice ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami koncového a počiatočného bodu vektora:

Podľa vzorca môžeme vypočítať kosínus uhla medzi určenými čiarami kríženia:

Teraz vypočítajme sínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami:

Tento materiál je venovaný takej koncepcii, ako je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami. V prvom odseku vysvetlíme, čo to je a ukážeme to na ilustráciách. Potom sa pozrieme na spôsoby, akými môžete nájsť sínus, kosínus tohto uhla a samotný uhol (samostatne zvážime prípady s rovinou a trojrozmerným priestorom), uvedieme potrebné vzorce a presne ukážeme príklady ako sa používajú v praxi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby sme pochopili, aký je uhol vytvorený pri pretínaní dvoch čiar, musíme si zapamätať samotnú definíciu uhla, kolmosti a priesečníka.

Definícia 1

Dve priamky, ktoré sa pretínajú, nazývame, ak majú jeden spoločný bod. Tento bod sa nazýva priesečník dvoch priamok.

Každá priamka je rozdelená priesečníkom na lúče. Obe priamky tvoria 4 uhly, z ktorých dva sú vertikálne a dva susedia. Ak poznáme mieru jedného z nich, potom môžeme určiť zvyšné.

Povedzme, že vieme, že jeden z uhlov sa rovná α. V tomto prípade sa uhol, ktorý je vzhľadom k nemu vertikálny, bude rovnať aj α. Aby sme našli zostávajúce uhly, musíme vypočítať rozdiel 180 ° - α. Ak sa α rovná 90 stupňom, potom všetky uhly budú pravé. Priamky pretínajúce sa v pravom uhle sa nazývajú kolmé (pojmu kolmosti je venovaný samostatný článok).

Pozrite sa na obrázok:

Prejdime k formulácii hlavnej definície.

Definícia 2

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami je mierou menšieho zo 4 uhlov, ktoré tvoria tieto dve čiary.

Z definície treba vyvodiť dôležitý záver: veľkosť uhla v tomto prípade bude vyjadrená ľubovoľným reálnym číslom v intervale (0, 90]. Ak sú priamky kolmé, potom uhol medzi nimi bude v každom prípade rovných 90 stupňov.

Schopnosť nájsť mieru uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami je užitočná pri riešení mnohých praktických problémov. Spôsob riešenia je možné zvoliť z niekoľkých možností.

Na začiatok môžeme použiť geometrické metódy. Ak vieme niečo o komplementárnych uhloch, môžeme ich spojiť s uhlom, ktorý potrebujeme, pomocou vlastností rovnakých alebo podobných útvarov. Ak napríklad poznáme strany trojuholníka a potrebujeme vypočítať uhol medzi priamkami, na ktorých sa tieto strany nachádzajú, potom je pre naše riešenie vhodná kosínusová veta. Ak máme v našej podmienke pravouhlý trojuholník, tak na výpočty budeme potrebovať poznať aj sínus, kosínus a tangens uhla.

Súradnicová metóda je tiež veľmi vhodná na riešenie problémov tohto typu. Poďme si vysvetliť, ako ho správne používať.

Máme pravouhlý (karteziánsky) súradnicový systém O x y, v ktorom sú dané dve priamky. Označme ich písmenami a a b. Priame čiary možno opísať pomocou niektorých rovníc. Pôvodné čiary majú priesečník M. Ako určiť požadovaný uhol (označme ho α) medzi týmito priamkami?

Začnime formulovaním základného princípu hľadania uhla za daných podmienok.

Vieme, že pojem priamka úzko súvisí s takými pojmami, ako je smerový vektor a normálový vektor. Ak máme rovnicu určitej priamky, môžeme z nej prevziať súradnice týchto vektorov. Môžeme to urobiť pre dve pretínajúce sa čiary naraz.

Uhol zvieraný dvoma pretínajúcimi sa čiarami možno nájsť pomocou:

• uhol medzi smerovými vektormi;
• uhol medzi normálovými vektormi;
• uhol medzi normálovým vektorom jednej priamky a smerovým vektorom druhej.

Teraz sa pozrime na každú metódu samostatne.

1. Predpokladajme, že máme priamku a so smerovým vektorom a → = (a x, a y) a priamku b so smerovým vektorom b → (b x, b y). Teraz nakreslíme dva vektory a → a b → z priesečníka. Potom uvidíme, že každý bude umiestnený na svojej vlastnej priamke. Potom máme štyri možnosti ich relatívneho usporiadania. Pozri ilustráciu:

Ak uhol medzi dvoma vektormi nie je tupý, potom to bude uhol, ktorý potrebujeme medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. Ak je tupý, potom sa požadovaný uhol bude rovnať uhlu susediacemu s uhlom a →, b → ^. Teda α = a → , b → ^ , ak a → , b → ^ ≤ 90 ° , a α = 180 ° - a → , b → ^ ak a → , b → ^ > 90 ° .

Na základe skutočnosti, že kosínusy rovnakých uhlov sú rovnaké, môžeme výsledné rovnosti prepísať takto: cos α = cos a →, b → ^, ak a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ak a →, b → ^ > 90 °.

V druhom prípade boli použité redukčné vzorce. teda

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Posledný vzorec napíšme slovami:

Definícia 3

Kosínus uhla vytvoreného dvoma pretínajúcimi sa priamkami sa bude rovnať modulu kosínusu uhla medzi jeho smerovými vektormi.

Všeobecná forma vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) vyzerá takto:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Z toho môžeme odvodiť vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma danými priamkami:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Samotný uhol potom možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tu a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory daných čiar.

Uveďme príklad riešenia problému.

Príklad 1

V pravouhlom súradnicovom systéme v rovine sú dané dve pretínajúce sa priamky a a b. Možno ich opísať pomocou parametrických rovníc x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3. Vypočítajte uhol medzi týmito čiarami.

Riešenie

V podmienke máme parametrickú rovnicu, čo znamená, že pre túto čiaru si môžeme okamžite zapísať súradnice jej smerového vektora. Aby sme to dosiahli, musíme vziať hodnoty koeficientov pre parameter, t.j. priamka x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mať smerový vektor a → = (4, 1).

Druhý riadok je opísaný pomocou kanonickej rovnice x 5 = y - 6 - 3. Tu môžeme prevziať súradnice z menovateľov. Táto priamka má teda smerový vektor b → = (5 , - 3) .

Ďalej prejdeme priamo k hľadaniu uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho dosaďte existujúce súradnice dvoch vektorov do vyššie uvedeného vzorca α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Získame nasledovné:

α = arc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = arc cos 17 17 34 = arc cos 1 2 = 45 °

Odpoveď: Tieto priame čiary zvierajú uhol 45 stupňov.

Podobný problém môžeme vyriešiť nájdením uhla medzi normálovými vektormi. Ak máme priamku a s normálovým vektorom n a → = (n a x , n a y) a priamku b s normálovým vektorom n b → = (n b x , n b y), potom sa uhol medzi nimi bude rovnať uhlu medzi n a → a n b → alebo uhol, ktorý bude susediť s n a →, n b → ^. Táto metóda je znázornená na obrázku:

Vzorce na výpočet kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami a samotným uhlom pomocou súradníc normálnych vektorov vyzerajú takto:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a 2 + n b y + n a 2 + n b y 2

Tu n a → a n b → označujú normálové vektory dvoch daných čiar.

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme sú dve priamky dané pomocou rovníc 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite sínus a kosínus uhla medzi nimi a veľkosť tohto uhla samotného.

Riešenie

Pôvodné čiary sú špecifikované pomocou rovníc normálnych čiar v tvare A x + B y + C = 0. Normálny vektor označíme ako n → = (A, B). Nájdite súradnice prvého normálového vektora pre jeden riadok a napíšme ich: n a → = (3, 5) . Pre druhý riadok x + 4 y - 17 = 0 bude mať normálový vektor súradnice n b → = (1, 4). Teraz pridajte získané hodnoty do vzorca a vypočítajte súčet:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ak poznáme kosínus uhla, potom môžeme vypočítať jeho sínus pomocou základnej goniometrickej identity. Pretože uhol α tvorený priamkami nie je tupý, potom sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

V tomto prípade α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34.

Odpoveď: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

Analyzujme posledný prípad - nájdenie uhla medzi priamkami, ak poznáme súradnice smerového vektora jednej priamky a normálového vektora druhej.

Predpokladajme, že priamka a má smerový vektor a → = (a x , a y) a priamka b má normálový vektor n b → = (n b x , n b y) . Tieto vektory musíme odložiť od priesečníka a zvážiť všetky možnosti ich relatívnej polohy. Pozri na obrázku:

Ak uhol medzi danými vektormi nie je väčší ako 90 stupňov, ukáže sa, že doplní uhol medzi a a b do pravého uhla.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ak a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ak je menej ako 90 stupňov, dostaneme nasledovné:

a → , n b → ^ > 90 ° , potom a → , n b → ^ = 90 ° + α

Pomocou pravidla rovnosti kosínusov s rovnakými uhlami píšeme:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pre a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pre a → , n b → ^ > 90 ° .

teda

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformulujme záver.

Definícia 4

Ak chcete nájsť sínus uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v rovine, musíte vypočítať modul kosínusu uhla medzi smerovým vektorom prvého riadku a normálovým vektorom druhého.

Zapíšme si potrebné vzorce. Nájdenie sínusu uhla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Nájdenie samotného uhla:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu a → je smerový vektor prvého riadku a n b → je normálový vektor druhého.

Príklad 3

Dve pretínajúce sa čiary sú dané rovnicami x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite uhol priesečníka.

Riešenie

Súradnice vodiaceho a normálového vektora berieme z daných rovníc. Ukazuje sa a → = (- 5, 3) a n → b = (1, 4). Zoberieme vzorec α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a vypočítame:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

Upozorňujeme, že sme prevzali rovnice z predchádzajúcej úlohy a dostali sme presne rovnaký výsledok, ale iným spôsobom.

odpoveď:α = a rc sin 7 2 34

Ukážme si iný spôsob, ako nájsť požadovaný uhol pomocou uhlových koeficientov daných priamok.

Máme priamku a, ktorá je definovaná v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovnice y = k 1 x + b 1, a priamku b, definovanú ako y = k 2 x + b 2. Sú to rovnice priamok so sklonmi. Na nájdenie uhla priesečníka použijeme vzorec:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 sú sklony daných čiar. Na získanie tohto záznamu boli použité vzorce na určenie uhla cez súradnice normálových vektorov.

Príklad 4

V rovine sa pretínajú dve priamky dané rovnicami y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4. Vypočítajte hodnotu uhla priesečníka.

Riešenie

Uhlové koeficienty našich čiar sa rovnajú k 1 = - 3 5 a k 2 = - 1 4. Pridajme ich do vzorca α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítajme:

α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34

odpoveď:α = a rc cos 23 2 34

V záveroch tohto odseku treba poznamenať, že tu uvedené vzorce na nájdenie uhla sa netreba učiť naspamäť. K tomu stačí poznať súradnice vodiacich čiar a/alebo normálových vektorov daných čiar a vedieť ich určiť pomocou rôznych typov rovníc. Ale je lepšie si zapamätať alebo zapísať vzorce na výpočet kosínusu uhla.

Ako vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore

Výpočet takéhoto uhla možno zredukovať na výpočet súradníc smerových vektorov a určenie veľkosti uhla, ktorý tieto vektory zvierajú. Pre takéto príklady sa používa rovnaké zdôvodnenie, aké sme uviedli predtým.

Predpokladajme, že máme pravouhlý súradnicový systém umiestnený v trojrozmernom priestore. Obsahuje dve priamky a a b s priesečníkom M. Na výpočet súradníc smerových vektorov potrebujeme poznať rovnice týchto priamok. Smerové vektory označme a → = (a x , a y, a z) a b → = (b x , b y, b z) . Na výpočet kosínusu uhla medzi nimi použijeme vzorec:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby sme našli samotný uhol, potrebujeme tento vzorec:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Príklad 5

Máme priamku definovanú v trojrozmernom priestore pomocou rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Je známe, že sa pretína s osou O z. Vypočítajte uhol priesečníka a kosínus tohto uhla.

Riešenie

Označme uhol, ktorý je potrebné vypočítať, písmenom α. Zapíšme si súradnice smerového vektora pre prvú priamku – a → = (1, - 3, - 2) . Pre aplikačnú os môžeme použiť súradnicový vektor k → = (0, 0, 1). Dostali sme potrebné údaje a môžeme ich pridať do požadovaného vzorca:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

V dôsledku toho sme zistili, že uhol, ktorý potrebujeme, sa bude rovnať a rc cos 1 2 = 45 °.

odpoveď: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

kolmosť dvoch čiar.

1. Ak sú priamky L 1 a L 2 dané všeobecnými rovnicami

Aix + B1y + C1 = 0 a A2x + B2y + C2 = 0,

potom sa uhol medzi nimi rovná uhlu medzi ich normálami, teda medzi vektormi (A 1,B 1) a (A 2,B 2). teda

Podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť priamok sú tiež redukované na podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť normál:

Paralelný stav, (7.11)

- podmienka kolmosti. (7.12).

2. Ak sú priamky dané kanonickými rovnicami (7.5), analogicky s bodom 1 dostaneme:

, (7.13)

Paralelný stav, (7.14)

- podmienka kolmosti. (7,16).

Tu a sú smerové vektory čiar.

3. Nech sú priamky L 1 a L 2 dané rovnicami s uhlovými koeficientmi (7.8)

y = ki x + b1 a y = k2 x + b2, kde , a α 1 a α 2 sú uhly sklonu priamok k osi Ox, potom pre uhol φ medzi priamkami platí rovnosť: φ = α 2 - α 1 . Potom

Podmienka rovnobežnosti má tvar: k 1 =k 2, (7.18)

podmienka kolmosti – k 2 =-1/k 1 , (7.19)

pretože v tomto prípade tgφ neexistuje.

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Uvažujme priamku L a nakreslite na ňu kolmicu OP z počiatku súradníc (predpokladáme, že priamka neprechádza počiatkom súradníc). Nech n je jednotkový vektor, ktorého smer sa zhoduje s OR. Vytvorme rovnicu pre priamku L, ktorá obsahuje dva parametre: p - dĺžka segmentu OP a α - uhol medzi OP a Ox.

Pre bod M ležiaci na L je priemet vektora OM na priamku

ALEBO sa rovná p. Na druhej strane, pr nOM=n·OM. Pretože

n =(cos α ,hriech α ), a OM ={x, y), chápeme to

X cosα + r sinα = p, alebo

X cosα + r sinα - p = 0 - (7.20)

Požadovaná rovnica priamky L, volal normálne

rovnica priamky(pojem „normálna rovnica“ súvisí

s tým, že segment ALEBO je kolmá alebo normálna k danej čiare).

Definícia 7.2. Ak d- vzdialenosť od bodu A na priamku L, To odchýlkaδ bodov A z priamky L je tam číslo + d, ak bod A a počiatok súradníc leží na opačných stranách priamky L, a číslo – d, ak ležia na jednej strane L.

Veta 7.1. Bodová odchýlka A(x 0,y 0) z priamky L, daný rovnicou (7.20), je určený vzorcom:

Dôkaz.

Projekcia OQ vektor OA do smeru ALEBO rovná

n·OA = x 0 cosα + y 0 sinα. Preto δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=

x 0 cosα + y 0 sinα -p, čo bolo potrebné dokázať

Dôsledok.

Vzdialenosť od bodu k čiare sa určuje takto:

Komentujte. Aby ste dostali všeobecnú rovnicu čiary do normálneho tvaru, musíte ju vynásobiť číslom a znamienko sa vyberie oproti znamienku voľného termínu. S vo všeobecnej rovnici priamky. Toto číslo sa nazýva normalizačný faktor.

Príklad. Nájdite vzdialenosť od bodu A(7,-3) na priamku danú rovnicou

3X + 4pri + 15 = 0. A² + B²=9+16=25, C=15>0, takže normalizačný faktor sa rovná

1/5 a normálna rovnica priamky je: Nahradenie súradníc bodu do jeho ľavej strany namiesto x a y A, zistíme, že jeho odchýlka od priamky sa rovná

Preto vzdialenosť od bodu A na tento riadok je 4.8.

8. Priamka a rovina v priestore. Rovnice roviny a priamky v priestore. Uhol medzi rovinami. Uhol medzi priamkou a rovinou.

Všimnite si, že mnohé tvrdenia a vzorce týkajúce sa roviny v priestore sa dokazujú a odvodzujú rovnakým spôsobom ako pri štúdiu priamky na rovine, preto v týchto prípadoch uvedieme odkazy na predchádzajúcu prednášku.

Lietadlo vo vesmíre.

Najprv získajme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M 0 (x 0, y 0, z 0) kolmo na vektor n = {A, B, C), nazývaná normála k rovine. Pre akýkoľvek bod na rovine M(x, y, z) vektor M 0 M = {x-xo, y-yo, z-z0) je ortogonálny k vektoru n , preto sa ich skalárny súčin rovná nule:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. (8.1)

Získa sa rovnica, ktorá je splnená ľubovoľným bodom danej roviny - rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor.

Po prinesení podobných môžeme do tvaru zapísať rovnicu (8.1).

Pre každého študenta, ktorý sa pripravuje na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky, bude užitočné zopakovať si tému „Hľadanie uhla medzi priamkami“. Ako ukazujú štatistiky, pri absolvovaní certifikačného testu spôsobujú úlohy v tejto časti stereometrie veľkému počtu študentov ťažkosti. Úlohy, ktoré si vyžadujú zistenie uhla medzi priamkami, sa zároveň nachádzajú v Jednotnej štátnej skúške na základnej aj špecializovanej úrovni. To znamená, že by ich mal vedieť vyriešiť každý.

Základné momenty

Existujú 4 typy relatívnych polôh čiar v priestore. Môžu sa zhodovať, pretínať, byť rovnobežné alebo pretínajúce sa. Uhol medzi nimi môže byť ostrý alebo rovný.

Na nájdenie uhla medzi čiarami v Jednotnej štátnej skúške alebo napríklad pri riešení môžu školáci v Moskve a iných mestách použiť niekoľko spôsobov riešenia problémov v tejto časti stereometrie. Úlohu môžete dokončiť pomocou klasických konštrukcií. Aby ste to dosiahli, stojí za to naučiť sa základné axiómy a teorémy stereometrie. Študent musí byť schopný logicky uvažovať a vytvárať kresby, aby priviedol úlohu k planimetrickému problému.

Môžete tiež použiť metódu súradnicového vektora pomocou jednoduchých vzorcov, pravidiel a algoritmov. Hlavná vec v tomto prípade je správne vykonať všetky výpočty. Vzdelávací projekt Shkolkovo vám pomôže zdokonaliť vaše zručnosti pri riešení problémov v stereometrii a iných častiach školského kurzu.