خطوط متوازية. الزاوية بين الخطوط المستقيمة

في هذه المقالة، سنقوم أولاً بتعريف الزاوية بين الخطوط المتقاطعة وتقديم رسم توضيحي. بعد ذلك سنجيب على السؤال: "كيف يمكن العثور على الزاوية بين الخطوط المتقاطعة إذا كانت إحداثيات متجهات اتجاه هذه الخطوط في نظام إحداثيات مستطيل معروفة"؟ وفي الختام، سوف نتدرَّب على إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة عند حل الأمثلة والمسائل.

التنقل في الصفحة.

الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة - التعريف.

وسوف نقترب من تحديد الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة تدريجيا.

أولاً، دعونا نتذكر تعريف الخطوط المنحرفة: يتم استدعاء خطين في مساحة ثلاثية الأبعاد التهجين، إذا لم يكونوا في نفس المستوى. ويترتب على هذا التعريف أن الخطوط المتقاطعة لا تتقاطع، وليست متوازية، وعلاوة على ذلك، لا تتطابق، وإلا فإنهما يقعان في مستوى معين.

دعونا نعطي المزيد من المنطق المساعد.

دع الخطين المتقاطعين a و b موجودان في الفضاء ثلاثي الأبعاد. لنقم بإنشاء خطين مستقيمين a 1 و b 1 بحيث يكونان موازيين لخطي الانحراف a و b على التوالي، ويمران عبر نقطة ما في الفضاء M 1 . وبذلك نحصل على خطين متقاطعين a 1 و b 1. لتكن الزاوية بين الخطين المتقاطعين a 1 و b 1 مساوية للزاوية . الآن لنقم بإنشاء خطين a 2 و b 2، موازيين لخطي الانحراف a و b، على التوالي، ويمران بنقطة M 2، مختلفة عن النقطة M 1. الزاوية بين الخطين المتقاطعين a 2 و b 2 ستكون أيضًا مساوية للزاوية. هذا البيان صحيح، لأن الخطوط المستقيمة أ 1 و ب 1 ستتزامن مع الخطوط المستقيمة أ 2 و ب 2، على التوالي، إذا تم إجراء نقل متوازي، حيث تتحرك النقطة م 1 إلى النقطة م 2. وبالتالي، فإن قياس الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين عند نقطة M، ومتوازيين على التوالي للخطوط المتقاطعة المعطاة، لا يعتمد على اختيار النقطة M.

نحن الآن جاهزون لتحديد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة.

تعريف.

الزاوية بين الخطوط المتقاطعةهي الزاوية المحصورة بين خطين متقاطعين ومتوازيين على التوالي للخطوط المتقاطعة المعطاة.

ويترتب على التعريف أن الزاوية بين خطوط التقاطع لن تعتمد أيضًا على اختيار النقطة M. لذلك، كنقطة M يمكننا أن نأخذ أي نقطة تنتمي إلى أحد الخطوط المتقاطعة.

دعونا نعطي مثالا لتحديد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة.

إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة.

بما أن الزاوية بين الخطوط المتقاطعة يتم تحديدها من خلال الزاوية بين الخطوط المتقاطعة، فإن إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة يتم تقليله إلى إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة المقابلة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

مما لا شك فيه أن الطرق التي تدرس في دروس الهندسة في المدرسة الثانوية مناسبة لإيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. أي أنه بعد الانتهاء من الإنشاءات اللازمة، يمكنك توصيل الزاوية المطلوبة بأي زاوية معروفة من الحالة، بناءً على تساوي الأشكال أو تشابهها، في بعض الحالات سيساعد ذلك نظرية جيب التمام، وأحيانا يؤدي إلى النتيجة تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاويةمثلث قائم.

ومع ذلك، من السهل جدًا حل مشكلة إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة باستخدام طريقة الإحداثيات. هذا ما سننظر فيه.

دع Oxyz يتم تقديمه في مساحة ثلاثية الأبعاد (على الرغم من أنه يتعين عليك إدخاله بنفسك في العديد من المشكلات).

دعونا نحدد لأنفسنا مهمة: العثور على الزاوية بين خطي التقاطع a و b، والتي تتوافق مع بعض معادلات الخط في الفضاء في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz.

دعونا حلها.

لنأخذ نقطة عشوائية في الفضاء ثلاثي الأبعاد M ونفترض أن الخطوط المستقيمة a 1 و b 1 تمر عبرها، بالتوازي مع الخطين المستقيمين المتقاطعين a و b، على التوالي. ثم الزاوية المطلوبة بين الخطين المتقاطعين a و b تساوي الزاوية بين الخطين المتقاطعين a 1 و b 1 حسب التعريف.

ومن ثم، علينا فقط إيجاد الزاوية بين الخطين المتقاطعين a 1 وb 1. لتطبيق صيغة إيجاد الزاوية بين خطين متقاطعين في الفضاء، نحتاج إلى معرفة إحداثيات متجهات الاتجاه للخطين a 1 وb 1.

كيف يمكننا الحصول عليها؟ وهذا بسيط جدا. يتيح لنا تعريف متجه الاتجاه للخط المستقيم التأكيد على أن مجموعات متجهات الاتجاه للخطوط المتوازية متطابقة. لذلك، يمكن اعتبار متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة a 1 وb 1 كمتجهات اتجاه و الخطان المستقيمان أ و ب على التوالي.

لذا، يتم حساب الزاوية بين خطين متقاطعين a و b بواسطة الصيغة
، أين و هي متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة a وb، على التوالي.

صيغة لإيجاد جيب تمام الزاوية بين الخطوط المتقاطعة a و b لهما النموذج .

يسمح لك بالعثور على جيب الزاوية بين خطوط التقاطع إذا كان جيب التمام معروفًا: .

يبقى تحليل الحلول للأمثلة.

مثال.

أوجد الزاوية بين الخطين المتقاطعين a وb، المحددين في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz بواسطة المعادلات و .

حل.

تتيح لك المعادلات القانونية للخط المستقيم في الفضاء تحديد إحداثيات المتجه الموجه لهذا الخط المستقيم على الفور - ويتم تقديمها من خلال الأرقام الموجودة في مقامات الكسور، أي، . تتيح لك المعادلات البارامترية للخط المستقيم في الفضاء أيضًا تدوين إحداثيات متجه الاتجاه على الفور - فهي تساوي المعاملات الموجودة أمام المعلمة، أي - ناقل مباشر . وبالتالي، لدينا جميع البيانات اللازمة لتطبيق الصيغة التي يتم من خلالها حساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة:

إجابة:

الزاوية بين الخطوط المتقاطعة المعطاة تساوي .

مثال.

أوجد جيب الزاوية وجيب التمام للزاوية الواقعة بين خطوط التقاطع التي تقع عليها الحافتان AD وBC للهرم ABCD، إذا كانت إحداثيات رؤوسه معروفة: .

حل.

متجهات الاتجاه لخطوط العبور AD و BC هي المتجهات و . لنحسب إحداثياتها على أنها الفرق بين الإحداثيات المقابلة لنقطتي النهاية والبداية للمتجه:

وفقا للصيغة يمكننا حساب جيب تمام الزاوية بين خطوط التقاطع المحددة:

الآن دعونا نحسب جيب الزاوية بين خطوط التقاطع:

هذه المادة مخصصة لمفهوم مثل الزاوية بين خطين متقاطعين. في الفقرة الأولى سنشرح ماهيتها ونعرضها بالصور التوضيحية. ثم سننظر إلى الطرق التي يمكنك من خلالها العثور على جيب التمام وجيب التمام لهذه الزاوية والزاوية نفسها (سننظر بشكل منفصل في الحالات ذات المستوى والفضاء ثلاثي الأبعاد)، وسنقدم الصيغ اللازمة ونعرض الأمثلة بالضبط كيف يتم استخدامها في الممارسة العملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

لكي نفهم ما هي الزاوية التي تتكون عند تقاطع خطين، علينا أن نتذكر تعريف الزاوية والعمودية ونقطة التقاطع.

التعريف 1

نسمي الخطين المتقاطعين إذا كان لهما نقطة مشتركة واحدة. وتسمى هذه النقطة نقطة تقاطع خطين.

ويقسم كل خط مستقيم بنقطة تقاطع إلى أشعة. كلا الخطين المستقيمين يشكلان أربع زوايا، اثنتان منها عموديتان، واثنتان متجاورتان. فإذا عرفنا قياس إحداها، فيمكننا تحديد الباقي.

لنفترض أننا نعرف أن إحدى الزوايا تساوي α. في هذه الحالة، الزاوية الرأسية بالنسبة لها ستكون أيضًا مساوية لـ α. للعثور على الزوايا المتبقية، علينا حساب الفرق 180 درجة - α. إذا كانت α تساوي 90 درجة، فستكون جميع الزوايا قائمة. تسمى الخطوط المتقاطعة بزوايا قائمة عموديًا (تم تخصيص مقالة منفصلة لمفهوم العمودي).

نلقي نظرة على الصورة:

دعنا ننتقل إلى صياغة التعريف الرئيسي.

التعريف 2

الزاوية التي تتكون من خطين متقاطعين هي قياس أصغر الزوايا الأربع التي تشكل هذين الخطين.

ويجب استخلاص نتيجة مهمة من التعريف: حجم الزاوية في هذه الحالة سيتم التعبير عنه بأي رقم حقيقي في الفترة (0، 90).إذا كان الخطان متعامدين فإن الزاوية بينهما ستكون في كل الأحوال يساوي 90 درجة.

تعد القدرة على إيجاد قياس الزاوية بين خطين متقاطعين مفيدة في حل العديد من المشكلات العملية. يمكن اختيار طريقة الحل من بين عدة خيارات.

في البداية، يمكننا أن نأخذ الطرق الهندسية. إذا كنا نعرف شيئًا عن الزوايا المتتامة، فيمكننا ربطها بالزاوية التي نحتاجها باستخدام خصائص الأشكال المتساوية أو المتشابهة. على سبيل المثال، إذا كنا نعرف أضلاع مثلث ونحتاج إلى حساب الزاوية بين الخطوط التي تقع عليها هذه الأضلاع، فإن نظرية جيب التمام مناسبة لحلنا. إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية في حالتنا، فسنحتاج أيضًا لإجراء العمليات الحسابية إلى معرفة جيب الزاوية وجيب التمام وظلها.

تعد طريقة الإحداثيات أيضًا ملائمة جدًا لحل المشكلات من هذا النوع. دعونا نشرح كيفية استخدامه بشكل صحيح.

لدينا نظام إحداثيات مستطيل (ديكارتي) O x y، حيث يتم إعطاء خطين مستقيمين. دعنا نشير إليهم بالحرفين a و b. يمكن وصف الخطوط المستقيمة باستخدام بعض المعادلات. الخطوط الأصلية لها نقطة تقاطع M. كيفية تحديد الزاوية المطلوبة (دعنا نشير إليها α) بين هذه الخطوط المستقيمة؟

لنبدأ بصياغة المبدأ الأساسي لإيجاد زاوية في ظل ظروف معينة.

نحن نعلم أن مفهوم الخط المستقيم يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمفاهيم مثل متجه الاتجاه والمتجه العادي. إذا كانت لدينا معادلة خط معين، فيمكننا أخذ إحداثيات هذه المتجهات منه. يمكننا فعل ذلك مع خطين متقاطعين في وقت واحد.

يمكن إيجاد الزاوية المقابلة لمستقيمين متقاطعين باستخدام:

• الزاوية بين متجهات الاتجاه؛
• الزاوية بين المتجهات العادية؛
• الزاوية بين المتجه الطبيعي لأحد الخطوط ومتجه الاتجاه للخط الآخر.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل طريقة على حدة.

1. لنفترض أن لدينا خط أ مع متجه اتجاه a → = (a x, a y) وخط b مع متجه اتجاه b → (b x, b y). لنرسم الآن المتجهين a → وb → من نقطة التقاطع. بعد ذلك سنرى أن كل منهما يقع على خط مستقيم خاص به. ثم لدينا أربعة خيارات لترتيبها النسبي. انظر الرسم التوضيحي:

إذا كانت الزاوية بين متجهين ليست منفرجة، فستكون هي الزاوية التي نحتاجها بين الخطين المتقاطعين a وb. إذا كانت منفرجة، فإن الزاوية المطلوبة ستكون مساوية للزاوية المجاورة للزاوية a →، b → ^. وبالتالي، α = a → , b → ^ إذا a → , b → ^ ≥ 90 ° و α = 180 ° - a → , b → ^ إذا a → , b → ^ > 90 ° .

بناءً على حقيقة أن جيب تمام الزوايا المتساوية متساوي، يمكننا إعادة كتابة المساواة الناتجة على النحو التالي: cos α = cos a →, b → ^, if a →, b → ^ ≥ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →، b → ^ = - cos a →، b → ^، إذا a →، b → ^ > 90 درجة.

وفي الحالة الثانية، تم استخدام صيغ التخفيض. هكذا،

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

لنكتب الصيغة الأخيرة بالكلمات:

التعريف 3

سيكون جيب تمام الزاوية المتكونة من خطين مستقيمين متقاطعين مساوياً لمعامل جيب تمام الزاوية بين متجهات اتجاهها.

الصيغة العامة لصيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) تبدو كما يلي:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ومنه يمكننا استخلاص صيغة جيب التمام للزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين محددين:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ومن ثم يمكن إيجاد الزاوية نفسها باستخدام الصيغة التالية:

α = أ ص ج كوس أ س ب س + أ ص + ب ذ أ س 2 + أ ص 2 ب س 2 + ب ص 2

هنا a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) هما متجها الاتجاه للخطوط المعطاة.

دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 1

في نظام الإحداثيات المستطيل على المستوى، يتم إعطاء خطين متقاطعين a و b. يمكن وصفها بالمعادلات البارامترية x = 1 + 4 · lect y = 2 + lect lect ∈ R و x 5 = y - 6 - 3. احسب الزاوية بين هذه الخطوط.

حل

لدينا معادلة بارامترية في حالتنا، وهو ما يعني أنه بالنسبة لهذا الخط، يمكننا كتابة إحداثيات متجه اتجاهه على الفور. للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى أخذ قيم المعاملات للمعلمة، أي. الخط المستقيم x = 1 + 4 · lecty y = 2 + lect lect ∈ R سيكون له متجه اتجاه a → = (4, 1).

يتم وصف السطر الثاني باستخدام المعادلة الأساسية x 5 = y - 6 - 3. هنا يمكننا أخذ الإحداثيات من المقامات. وبالتالي، فإن هذا الخط له متجه اتجاه b → = (5 , - 3) .

بعد ذلك، ننتقل مباشرة إلى إيجاد الزاوية. للقيام بذلك، ببساطة قم باستبدال الإحداثيات الموجودة للمتجهين في الصيغة أعلاه α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . نحصل على ما يلي:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

إجابة: هذه الخطوط المستقيمة تشكل زاوية قياسها 45 درجة.

يمكننا حل مسألة مماثلة بإيجاد الزاوية بين المتجهات العادية. إذا كان لدينا خط a بمتجه عادي n a → = (n a x , n a y) وخط b بمتجه عادي n b → = (n b x , n b y)، فإن الزاوية بينهما ستكون مساوية للزاوية بين n a → و n b → أو الزاوية التي ستكون مجاورة لـ n a →، n b → ^. هذه الطريقة موضحة في الصورة :

تبدو الصيغ لحساب جيب تمام الزاوية بين الخطوط المتقاطعة وهذه الزاوية نفسها باستخدام إحداثيات المتجهات العادية كما يلي:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

هنا n a → و n b → تشير إلى المتجهات العادية لخطين محددين.

مثال 2

في نظام الإحداثيات المستطيل، يتم إعطاء خطين مستقيمين باستخدام المعادلتين 3 x + 5 y - 30 = 0 و x + 4 y - 17 = 0. أوجد جيب التمام وجيب التمام للزاوية بينهما ومقدار هذه الزاوية نفسها.

حل

يتم تحديد الخطوط الأصلية باستخدام معادلات الخطوط العادية من النموذج A x + B y + C = 0. نشير إلى المتجه الطبيعي كـ n → = (A، B). لنجد إحداثيات المتجه الطبيعي الأول لسطر واحد ونكتبها: n a → = (3, 5) . بالنسبة للسطر الثاني x + 4 y - 17 = 0، سيكون للمتجه العادي إحداثيات n b → = (1, 4). الآن دعونا نضيف القيم التي تم الحصول عليها إلى الصيغة ونحسب الإجمالي:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

إذا كنا نعرف جيب تمام الزاوية، فيمكننا حساب جيبها باستخدام الهوية المثلثية الأساسية. بما أن الزاوية α التي تتكون من الخطوط المستقيمة ليست منفرجة، إذن sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

في هذه الحالة، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

الإجابة: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

دعونا نحلل الحالة الأخيرة - إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة إذا كنا نعرف إحداثيات متجه الاتجاه لأحد الخطوط المستقيمة والمتجه العمودي للآخر.

لنفترض أن الخط المستقيم a له متجه اتجاه a → = (a x , a y) والخط المستقيم b له متجه عادي n b → = (n b x , n b y) . علينا أن نبعد هذه المتجهات عن نقطة التقاطع ونفكر في جميع الخيارات المتعلقة بمواضعها النسبية. انظر في الصورة:

إذا كانت الزاوية بين المتجهات المعطاة لا تزيد عن 90 درجة، فقد اتضح أنها ستكمل الزاوية بين a وb إلى الزاوية القائمة.

أ → , ن ب → ^ = 90 درجة - α إذا أ → , ن ب → ^ ≥ 90 درجة .

وإذا كانت أقل من 90 درجة نحصل على ما يلي:

أ → ، ن ب → ^ > 90 درجة ، ثم أ → ، ن ب → ^ = 90 درجة + α

باستخدام قاعدة مساواة جيب التمام للزوايا المتساوية نكتب:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α لـ a → , n b → ^ ≥ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α لـ a → , n b → ^ > 90 ° .

هكذا،

الخطيئة α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≥ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , أ → , ن ب → ^ > 0 - جتا أ → , ن ب → ^ , أ → , ن ب → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

دعونا صياغة الاستنتاج.

التعريف 4

للعثور على جيب الزاوية بين خطين متقاطعين على المستوى، تحتاج إلى حساب معامل جيب التمام للزاوية بين متجه الاتجاه للخط الأول والمتجه العادي للثاني.

دعونا نكتب الصيغ اللازمة. إيجاد جيب الزاوية:

الخطيئة α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

إيجاد الزاوية نفسها:

α = أ ص ج خطيئة = أ س ن ب س + أ ذ ن ب ص أ س 2 + أ ص 2 ن ب س 2 + ن ب ص 2

هنا a → هو متجه الاتجاه للخط الأول، و n b → هو المتجه الطبيعي للخط الثاني.

مثال 3

يتم إعطاء خطين متقاطعين بواسطة المعادلتين x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0. أوجد زاوية التقاطع.

حل

نحن نأخذ إحداثيات الدليل والمتجه الطبيعي من المعادلات المعطاة. اتضح أن → = (- 5، 3) و n → ب = (1، 4). نأخذ الصيغة α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ونحسب:

α = أ r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

يرجى ملاحظة أننا أخذنا المعادلات من المشكلة السابقة وحصلنا على نفس النتيجة بالضبط، ولكن بطريقة مختلفة.

إجابة:α = أ r c sin 7 2 34

دعونا نقدم طريقة أخرى لإيجاد الزاوية المطلوبة باستخدام المعاملات الزاوية لخطوط مستقيمة معينة.

لدينا خط a، والذي تم تعريفه في نظام إحداثي مستطيل باستخدام المعادلة y = k 1 x + b 1، وخط b، تم تعريفه على أنه y = k 2 x + b 2. هذه معادلات للخطوط ذات المنحدرات. لإيجاد زاوية التقاطع نستخدم الصيغة:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1، حيث k 1 و k 2 هما ميلا المستقيمين المعينين. للحصول على هذا السجل، تم استخدام صيغ لتحديد الزاوية من خلال إحداثيات المتجهات العادية.

مثال 4

هناك خطان متقاطعان في المستوى، من خلال المعادلتين y = - 3 5 x + 6 و y = - 1 4 x + 17 4. احسب قيمة زاوية التقاطع.

حل

المعاملات الزاوية لخطوطنا تساوي k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4. لنضيفها إلى الصيغة α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ونحسب:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

إجابة:α = أ r c cos 23 2 34

في استنتاجات هذه الفقرة، تجدر الإشارة إلى أن صيغ إيجاد الزاوية المذكورة هنا لا يجب حفظها عن ظهر قلب. للقيام بذلك، يكفي معرفة إحداثيات الأدلة و/أو المتجهات العادية لخطوط معينة والقدرة على تحديدها باستخدام أنواع مختلفة من المعادلات. ولكن من الأفضل أن تتذكر أو تكتب الصيغ الخاصة بحساب جيب تمام الزاوية.

كيفية حساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة في الفضاء

يمكن اختزال حساب هذه الزاوية في حساب إحداثيات متجهات الاتجاه وتحديد حجم الزاوية التي تشكلها هذه المتجهات. لمثل هذه الأمثلة، يتم استخدام نفس المنطق الذي قدمناه من قبل.

لنفترض أن لدينا نظام إحداثيات مستطيل يقع في مساحة ثلاثية الأبعاد. يحتوي على خطين مستقيمين a وb مع نقطة تقاطعهما M. لحساب إحداثيات متجهات الاتجاه، علينا معرفة معادلات هذه الخطوط. دعونا نشير إلى متجهات الاتجاه a → = (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) . لحساب جيب تمام الزاوية بينهما، نستخدم الصيغة:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

للعثور على الزاوية نفسها، نحتاج إلى هذه الصيغة:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

لدينا خط محدد في فضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام المعادلة x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. ومن المعروف أنه يتقاطع مع المحور O z. احسب زاوية التقاطع وجيب تمام تلك الزاوية.

حل

دعونا نشير إلى الزاوية التي يجب حسابها بالحرف α. دعونا نكتب إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول – a → = (1, - 3, - 2) . بالنسبة للمحور المطبق، يمكننا أن نأخذ المتجه الإحداثي k → = (0، 0، 1) كدليل. لقد تلقينا البيانات اللازمة ويمكننا إضافتها إلى الصيغة المطلوبة:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

ونتيجة لذلك، وجدنا أن الزاوية التي نحتاجها ستكون مساوية لـ r c cos 1 2 = 45 °.

إجابة: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع اللازمة لاجتياز اختبار الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح مع 60-65 نقطة. أكمل جميع المهام من 1 إلى 13 من امتحان الدولة الموحدة للملف التعريفي في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والمزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية والمواد المرجعية وتحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. تفسيرات واضحة للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة.

عمودي خطين.

1. إذا كان الخطان L 1 و L 2 معطىان بمعادلات عامة

أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0 و أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0،

فإن الزاوية بينهما تكون مساوية للزاوية بين عموديهما، أي بين المتجهات (أ 1، ب 1) و (أ 2، ب 2). لذلك،

يتم أيضًا تقليل شروط التوازي والتعامد للخطوط المستقيمة إلى شروط التوازي والتعامد الطبيعي:

الحالة الموازية (7.11)

- حالة عمودية. (7.12).

2. إذا تم إعطاء الخطوط بالمعادلات القانونية (7.5) فبالقياس مع النقطة 1 نحصل على:

, (7.13)

الحالة الموازية (7.14)

- حالة عمودية. (7.16).

هنا و هي متجهات الاتجاه للخطوط.

3. دع الخطين L 1 و L 2 يُعطىان بمعادلات ذات معاملات زاوية (7.8)

ص = ك 1 س + ب 1 و ص = ك 2 س + ب 2، حيث ، و α 1 و α 2 هما زاويتا ميل الخطوط المستقيمة إلى محور الثور، أما بالنسبة للزاوية φ بين الخطوط المستقيمة تكون المساواة صحيحة: φ = α 2 - α 1 . ثم

حالة التوازي لها الشكل: k 1 = k 2 , (7.18)

حالة التعامد – ك 2 =-1/ك 1 , (7.19)

لأنه في هذه الحالة tgφ غير موجود.

المسافة من نقطة إلى خط.

خذ بعين الاعتبار الخط المستقيم L وارسم OP عموديًا عليه من أصل الإحداثيات (نفترض أن الخط المستقيم لا يمر عبر أصل الإحداثيات). دع n يكون متجه وحدة يتزامن اتجاهه مع OR. لنقم بإنشاء معادلة للخط المستقيم L، والتي تتضمن معلمتين: p - طول القطعة OP و α - الزاوية بين OP وOx.

بالنسبة لنقطة M تقع على L، يكون إسقاط المتجه OM على الخط المستقيم

أو يساوي ص. من ناحية أخرى، pr n OM=n·OM. بسبب ال

ن =(cos α ,الخطيئة α )، أ أوم ={س، ص)، لقد حصلنا على ذلك

سكوسα + ذالخطيئةα = ص،أو

سكوسα + ذالخطيئةα - ص = 0 - (7.20)

المعادلة المطلوبة للخط ل، مُسَمًّى طبيعي

معادلة الخط المستقيم(يرتبط مصطلح "المعادلة العادية".

مع حقيقة أن هذا الجزء أوعمودي أو عمودي على خط معين).

التعريف 7.2.لو د- المسافة من النقطة أإلى خط مستقيم ل، الذي - التي انحرافδ نقطة أمن الخط المستقيم لهناك رقم + د، إذا نقطة أوأصل الإحداثيات يقع على طرفي نقيض من الخط لوالرقم – د، إذا كانوا مستلقين على جانب واحد ل.

نظرية 7.1.انحراف النقطة أ(س 0، ص 0) من الخط المستقيم ل، المعطاة بالمعادلة (7.20)، يتم تحديدها بالصيغة:

دليل.

تنبؤ أوكيوالمتجه الزراعة العضوية إلى الاتجاه أويساوي

غير متاح = س 0كوسα + ص 0الخطيئةα. وبالتالي δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=

× 0كوسα + ص 0الخطيئةα -ص، وهو ما يحتاج إلى إثبات

عاقبة.

يتم تحديد المسافة من نقطة إلى خط على النحو التالي:

تعليق. لكي تصل المعادلة العامة للخط إلى صورتها الطبيعية، عليك ضربها بالرقم، ويتم اختيار الإشارة المقابلة لإشارة الحد الحر معفي المعادلة العامة للخط المستقيم. ويسمى هذا الرقم عامل التطبيع.

مثال. أوجد المسافة من النقطة أ(7،-3) إلى الخط المستقيم المعطى في المعادلة

3X + 4في + 15 = 0. أ² + ب²=9+16=25، ج=15>0، وبالتالي فإن عامل التطبيع يساوي

1/5 والمعادلة العادية للخط هي: استبدال إحداثيات النقطة في جانبها الأيسر بدلاً من x وy أ،فنجد أن انحرافه عن الخط المستقيم يساوي

وبالتالي المسافة من النقطة أإلى هذا الخط هو 4.8.

8. الخط المستقيم والمستوى في الفضاء. معادلات المستوى والخط في الفضاء. الزاوية بين الطائرات. الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى.

لاحظ أن العديد من العبارات والصيغ المتعلقة بالمستوى في الفضاء يتم إثباتها واشتقاقها بنفس الطريقة التي يتم بها عند دراسة خط على المستوى، لذلك في هذه الحالات سيتم الرجوع إلى المحاضرة السابقة.

الطائرة في الفضاء.

دعونا أولاً نحصل على معادلة المستوى الذي يمر عبر هذه النقطة م 0 (س 0، ص 0، ض 0) عمودي على المتجه ن = {أ، ب، ج)، ودعا العادي إلى الطائرة. لأي نقطة على متن الطائرة م(س، ص، ض) المتجه م 0 م = {س - س 0 , ص - ص 0 , ض - ض 0) متعامد مع المتجه ن وبالتالي فإن منتجهم العددي يساوي الصفر:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + ج(ض - ض 0) = 0. (8.1)

يتم الحصول على معادلة تتحقق بأي نقطة في مستوى معين - معادلة مستوى يمر عبر نقطة معينة عموديًا على متجه معين.

وبعد إحضار المتشابهات يمكننا كتابة المعادلة (8.1) على الصورة.

سيكون من المفيد لكل طالب يستعد لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات أن يكرر موضوع "إيجاد زاوية بين الخطوط المستقيمة". كما تظهر الإحصائيات، عند اجتياز اختبار الشهادة، فإن المهام في هذا القسم من القياس المجسم تسبب صعوبات لعدد كبير من الطلاب. وفي الوقت نفسه، فإن المهام التي تتطلب إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة موجودة في امتحان الدولة الموحدة في المستويين الأساسي والمتخصص. وهذا يعني أنه يجب على الجميع أن يكونوا قادرين على حلها.

لحظات أساسية

هناك 4 أنواع من المواضع النسبية للخطوط في الفضاء. يمكن أن تتزامن أو تتقاطع أو تكون متوازية أو متقاطعة. يمكن أن تكون الزاوية بينهما حادة أو مستقيمة.

للعثور على الزاوية بين الخطوط في امتحان الدولة الموحدة أو، على سبيل المثال، في الحل، يمكن لأطفال المدارس في موسكو ومدن أخرى استخدام عدة طرق لحل المشكلات في هذا القسم من القياس المجسم. يمكنك إكمال المهمة باستخدام الإنشاءات الكلاسيكية. للقيام بذلك، من المفيد تعلم البديهيات الأساسية ونظريات القياس المجسم. يجب أن يكون الطالب قادرًا على التفكير المنطقي وإنشاء الرسومات من أجل إيصال المهمة إلى مشكلة قياس التخطيط.

يمكنك أيضًا استخدام طريقة ناقل الإحداثيات باستخدام صيغ وقواعد وخوارزميات بسيطة. الشيء الرئيسي في هذه الحالة هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح. سيساعدك مشروع شكولكوفو التعليمي على صقل مهاراتك في حل المشكلات في القياس المجسم والأقسام الأخرى من الدورة المدرسية.