نظرية فيثاغورس الممتدة. تاريخ نظرية فيثاغورس

تأكد من أن المثلث المعطى لك قائم الزاوية ، لأن نظرية فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة الزاوية. في المثلثات القائمة الزاوية ، تكون إحدى الزوايا الثلاث دائمًا 90 درجة.

• يُشار إلى الزاوية القائمة في المثلث القائم برمز مربع ، وليس منحنى ، وهو زاوية مائلة.

أضف خطوطًا إرشادية لأضلاع المثلث.قم بتسمية الأرجل على أنها "أ" و "ب" (الأرجل - تتقاطع الجوانب بزوايا قائمة) ، والوتر باسم "ج" (الوتر - أكبر ضلع في المثلث القائم يقع مقابل الزاوية اليمنى).

حدد أي ضلع من أضلاع المثلث تريد إيجاده.تتيح لك نظرية فيثاغورس إيجاد أي جانب من أضلاع مثلث قائم الزاوية (إذا كان الضلعان الآخران معروفين). حدد الجانب (أ ، ب ، ج) الذي تريد إيجاده.

• على سبيل المثال ، إذا كان وتر المثلث يساوي 5 ، ولديك ساق تساوي 3. في هذه الحالة ، تحتاج إلى إيجاد الضلع الثاني. سنعود إلى هذا المثال لاحقًا.
• إذا كان الضلعان الآخران غير معروفين ، فمن الضروري إيجاد طول أحد الضلعين المجهولين لتتمكن من تطبيق نظرية فيثاغورس. للقيام بذلك ، استخدم الدوال المثلثية الأساسية (إذا أعطيت قيمة إحدى الزوايا المائلة).

عوض في الصيغة a 2 + b 2 = c 2 بالقيم المعطاة لك (أو القيم التي وجدتها).تذكر أن a و b عبارة عن أرجل وأن c عبارة عن وتر المثلث.

• في مثالنا ، اكتب: 3² + ب² = 5².

ضع مربّعًا على كل جانب تعرفه.أو اترك الدرجات - يمكنك تربيع الأرقام لاحقًا.

• في مثالنا ، اكتب: 9 + b² = 25.

افصل الجانب المجهول في أحد طرفي المعادلة.للقيام بذلك ، انقل القيم المعروفة إلى الجانب الآخر من المعادلة. إذا وجدت الوتر ، ففي نظرية فيثاغورس ، يكون معزولًا بالفعل على جانب واحد من المعادلة (لذلك لا يلزم فعل أي شيء).

• في مثالنا ، انقل 9 إلى الجانب الأيمن من المعادلة لعزل المجهول b². ستحصل على b² = 16.

خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.في هذه المرحلة ، يوجد (مربع) غير معروف على جانب واحد من المعادلة ، وتقاطع (رقم) على الجانب الآخر.

• في مثالنا ، b² = 16. خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة واحصل على b = 4. إذن الضلع الثاني هو 4 .

استخدم نظرية فيثاغورس في حياتك اليومية ، حيث يمكن تطبيقها في مجموعة متنوعة من المواقف العملية. للقيام بذلك ، تعلم كيفية التعرف على المثلثات ذات الزاوية اليمنى في الحياة اليومية - في أي موقف يتقاطع فيه كائنان (أو خطان) بزوايا قائمة ، ويربط كائن ثالث (أو خط) (قطريًا) قمم أول عنصرين (أو الخطوط) ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المجهول (إذا كان الضلعان الآخران معروفين).

• مثال: سلم متكئ على مبنى. يقع أسفل الدرج على بعد 5 أمتار من قاعدة الجدار. أعلى الدرج 20 مترا من الأرض (أعلى الحائط). ما هي مدة الدرج؟
  • "5 أمتار من قاعدة الجدار" تعني أن أ = 5 ؛ "20 مترًا من الأرض" تعني أن ب = 20 (أي أنك أعطيت قدمين لمثلث قائم الزاوية ، حيث يتقاطع جدار المبنى وسطح الأرض بزوايا قائمة). طول السلم هو طول الوتر ، وهو غير معروف.
    • أ² + ب² = ج²
    • (5) ² + (20) ² = ج²
    • 25 + 400 = ج²
    • 425 = ج²
    • ج = √425
    • ق = 20.6. لذا فإن الطول التقريبي للسلم هو 20.6 مترا.

مصير النظريات والمشكلات الأخرى غريب ... كيف يمكن للمرء أن يفسر ، على سبيل المثال ، هذا الاهتمام الاستثنائي من جانب علماء الرياضيات وهواة الرياضيات لنظرية فيثاغورس؟ لماذا لم يكتف الكثير منهم بالبراهين المعروفة بالفعل ، ولكنهم وجدوا أدلة خاصة بهم ، مما رفع عدد البراهين إلى عدة مئات على مدى خمسة وعشرين قرناً متوقعة نسبياً؟
عندما يتعلق الأمر بنظرية فيثاغورس ، فإن غير المعتاد يبدأ باسمها. يُعتقد أن فيثاغورس لم يكن أول من صاغها. ومن المشكوك فيه أيضًا أنه قدم لها الدليل. إذا كان فيثاغورس شخصًا حقيقيًا (حتى أن البعض يشك في ذلك!) ، فقد عاش ، على الأرجح ، في القرنين السادس والخامس. قبل الميلاد ه. هو نفسه لم يكتب أي شيء ، أطلق على نفسه اسم فيلسوف ، مما يعني ، حسب فهمه ، "السعي وراء الحكمة" ، أسس اتحاد فيثاغورس ، الذي كان أعضاؤه منخرطين في الموسيقى والجمباز والرياضيات والفيزياء وعلم الفلك. على ما يبدو ، كان أيضًا خطيبًا ممتازًا ، كما يتضح من الأسطورة التالية المتعلقة بإقامته في مدينة كروتوني: صارم ، ولكن في الوقت نفسه ، من المذهل للغاية تحديد مسؤوليات الشباب ، لدرجة أن كبار السن في المدينة طلبوا عدم تركهم دون تعليمات. وأشار في حديثه الثاني إلى شرعية ونقاء الأخلاق كأساس للأسرة. في اليومين التاليين خاطب الأطفال والنساء. كانت نتيجة الخطاب الأخير ، الذي أدان فيه بشكل خاص الرفاهية ، أنه تم تسليم آلاف الفساتين الثمينة إلى معبد هيرا ، حيث لم تعد تجرؤ أي امرأة على الظهور بها في الشارع بعد الآن ... "ومع ذلك ، حتى في القرن الثاني الميلادي ، أي بعد 700 عام ، عاش وعمل أناس حقيقيون تمامًا ، وعلماء بارزون كانوا بوضوح تحت تأثير اتحاد فيثاغورس والذين لديهم احترام كبير لما خلقه فيثاغورس ، وفقًا للأسطورة.
مما لا شك فيه أن الاهتمام بالنظرية سببه أيضًا حقيقة أنها تحتل أحد الأماكن المركزية في الرياضيات ، ورضا مؤلفي البراهين الذين تغلبوا على الصعوبات ، والتي حولها الشاعر الروماني كوينتوس هوراس فلاكوس ، الذي عاش من قبل. تحدث عصرنا جيداً: "من الصعب التعبير عن الحقائق المعروفة" ...
في البداية ، أنشأت النظرية العلاقة بين مناطق المربعات المبنية على الوتر وأرجل المثلث الأيمن:
.
الصيغة الجبرية:
في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعات أطوال الساقين.
أي ، للدلالة على طول وتر المثلث خلال c ، وأطوال الأرجل خلال a و b: a 2 + b 2 = c 2. كل من عبارات النظرية متكافئة ، لكن العبارة الثانية أكثر بدائية ، فهي لا تتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة وقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.
نظرية العكس في فيثاغورس. لأي ثلاثة أعداد موجبة أ ، ب ، ج من هذا القبيل
أ 2 + ب 2 = ج 2 ، يوجد مثلث قائم الزاوية له أرجل أ وب والوتر ج.

دليل

في الوقت الحالي ، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. ربما تكون نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على مثل هذا العدد المذهل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا بالمعنى الأساسي لنظرية الهندسة.
بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. وأشهرها: البراهين بطريقة المساحة ، البراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال ، استخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات متشابهة

الدليل التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين المبنية مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.
لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C. ارسم الارتفاع من C ودل على قاعدته من خلال H. يشبه المثلث ACH المثلث ABC في زاويتين.
وبالمثل ، فإن المثلث CBH مشابه لـ ABC. تقديم التدوين

نحن نحصل

ما هو المعادل

مضيفا ، نحصل عليه

أو

إثبات المناطق

البراهين أدناه ، على الرغم من بساطتها الظاهرة ، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كل منهم يستخدم خصائص المنطقة ، وإثباتها أصعب من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات تكاملية متساوية

1. ضع أربعة مثلثات قائمة الزاوية متساوية كما هو موضح في الشكل.
2. الشكل الرباعي مع أضلاعه c مربع ، لأن مجموع زاويتين حادتين 90 درجة ، والزاوية غير المطوية 180 درجة.
3. مساحة الشكل الكامل هي ، من ناحية ، مساحة المربع الذي به جوانب (أ + ب) ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مساحات أربعة مثلثات ومربع داخلي .



Q.E.D.

الدليل من خلال التشتت

يظهر مثال على أحد هذه البراهين في الرسم على اليمين ، حيث يتحول مربع مبني على الوتر عن طريق التبديل إلى مربعين مبنيين على الساقين.

دليل إقليدس

الفكرة وراء برهان إقليدس هي كما يلي: دعنا نحاول إثبات أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع نصفي مناطق المربعات المبنية على الأرجل ، ثم المساحات من المربعات الكبيرة والمربعات الصغيرة متساوية. ضع في اعتبارك الرسم الموجود على اليسار. على ذلك ، قمنا ببناء مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية ورسمنا شعاعًا s من رأس الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB ، ويقطع المربع ABIK ، المبني على الوتر ، إلى مستطيلين - BHJI و HAKJ على التوالي. اتضح أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة. دعنا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK لهذا نستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث بنفس الارتفاع والقاعدة لأن هذا المستطيل متساوي إلى نصف مساحة المستطيل المحدد. هذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. من هذه الملاحظة يترتب على ذلك أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير مبين في الشكل) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK . دعونا الآن نثبت أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات المساواة بين المثلثين ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). المساواة واضحة ، المثلثات متساوية في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB = AK ، AD = AC - من السهل إثبات المساواة بين الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، ومن ثم فمن الواضح أن الأضلاع المقابلة للمثلثين تحته سوف يتطابق الاعتبار (حيث أن الزاوية عند قمة المربع هي 90 درجة). المنطق حول المساواة بين مناطق المربع BCFG والمستطيل BHJI مماثل تمامًا. وهكذا أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر هي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل.

إثبات ليوناردو دافنشي

إن العناصر الرئيسية للإثبات هي التناظر والحركة.

ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، فإن المقطع CI يقطع المربع ABHJ إلى جزأين متطابقين (لأن المثلثين ABC و JHI متساويان في البناء). من خلال تدويره 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، نرى أن الشكلين المظللين CAJI و GDAB متساويان. من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل تساوي مجموع نصفي مناطق المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهي تساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر زائد مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات متروكة للقارئ.

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

في دورة الهندسة المدرسية ، يتم حل المشكلات الرياضية فقط بمساعدة نظرية فيثاغورس. لسوء الحظ ، لم يتم النظر في مسألة التطبيق العملي لنظرية فيثاغورس.

في هذا الصدد ، كان الغرض من عملي هو معرفة مجالات تطبيق نظرية فيثاغورس.

في الوقت الحاضر ، من المسلم به عمومًا أن نجاح تطوير العديد من مجالات العلوم والتكنولوجيا يعتمد على تطوير مجالات مختلفة من الرياضيات. من الشروط المهمة لزيادة كفاءة الإنتاج الإدخال الواسع النطاق للطرق الرياضية في التكنولوجيا والاقتصاد الوطني ، مما يفترض إنشاء طرق جديدة وفعالة للبحث النوعي والكمي الذي يجعل من الممكن حل المشكلات التي تطرحها الممارسة.

سأدرس أمثلة للتطبيق العملي لنظرية فيثاغورس. لن أحاول إعطاء جميع الأمثلة على استخدام النظرية - لن يكون ذلك ممكنًا. مجال تطبيق النظرية واسع جدًا ولا يمكن تحديده بشكل كامل بشكل كافٍ.

فرضية:

بمساعدة نظرية فيثاغورس ، ليس من الممكن حل المسائل الرياضية فقط.

لهذا العمل البحثي ، تم تحديد الهدف التالي:

اكتشف مجالات تطبيق نظرية فيثاغورس.

بناءً على الهدف أعلاه ، تم تحديد المهام التالية:

اجمع معلومات عن التطبيق العملي لنظرية فيثاغورس في مصادر مختلفة وحدد مجالات تطبيق النظرية.

ادرس بعض المعلومات التاريخية عن فيثاغورس ونظريته.

أظهر تطبيق النظرية في حل المشاكل التاريخية.

معالجة البيانات التي تم جمعها حول موضوع ما.

كنت منخرطًا في البحث وجمع المعلومات - درست المواد المطبوعة ، وعملت مع المواد على الإنترنت ، وعالجت البيانات التي تم جمعها.

طريقة البحث:

دراسة المادة النظرية.

دراسة طرق البحث.

التنفيذ العملي للبحث.

التواصلية (طريقة القياس ، الاستبيان).

نوع المشروع:المعلومات والبحث. تم العمل في وقت فراغي.

حول فيثاغورس.

فيثاغورس هو فيلسوف يوناني قديم وعالم رياضيات وعالم فلك. لقد أثبت العديد من خصائص الأشكال الهندسية ، وطور النظرية الرياضية للأرقام ونسبها. قدم مساهمة كبيرة في تطوير علم الفلك والصوتيات. مؤلف كتاب "القصائد الذهبية" ، مؤسس مدرسة فيثاغورس في كروتون.

وفقًا للأسطورة ، ولد فيثاغورس حوالي عام 580 قبل الميلاد. ه. في جزيرة ساموس في عائلة تجارية ثرية. سميت والدته ، Pythasis ، على اسم Pythia ، كاهنة Apollo. تنبأ Pythia لمنارخ وزوجته بميلاد ابن ، وسمي الابن أيضًا باسم Pythia. وفقًا للعديد من الشهادات القديمة ، كان الصبي وسيمًا بشكل رائع وسرعان ما أظهر قدراته غير العادية. تلقى معرفته الأولى من والده منارش ، صائغ ، نحات جوهرة ، كان يحلم أن يواصل ابنه عمله. لكن الحياة حكمت بشكل مختلف. اكتشف الفيلسوف المستقبلي موهبة علمية عظيمة. من بين معلمي فيثاغورس كان Pherecides of Syros و Hermodamant الأكبر. الأول غرس في الصبي حب العلم ، والثاني - الموسيقى والرسم والشعر. بعد ذلك ، التقى فيثاغورس بالفيلسوف الشهير - عالم الرياضيات طاليس من ميليتس ، وبناءً على نصيحته ، ذهب إلى مصر - مركز الأنشطة العلمية والبحثية آنذاك. بعد أن عاش 22 عامًا في مصر و 12 عامًا في بابل ، عاد إلى جزيرة ساموس ، ثم غادرها لأسباب مجهولة وانتقل إلى مدينة كروتون في جنوب إيطاليا. هنا أنشأ مدرسة فيثاغورس (اتحاد) ، والتي درست مختلف قضايا الفلسفة والرياضيات. في سن الستين ، تزوج فيثاغورس من أحد طلابه من فيانو. لديهم ثلاثة أطفال ، وأصبحوا جميعًا من أتباع والدهم. تميزت الظروف التاريخية في ذلك الوقت بحركة واسعة النطاق للديمقراطيين ضد حكم الأرستقراطيين. هربًا من موجات الغضب الشعبي ، انتقل فيثاغورس وتلاميذه إلى مدينة تارانتوم. وبحسب إحدى الروايات: جاءه كيلون ، وهو رجل ثري وشرير ، يريد أن ينضم إلى الأخوة في حالة سُكر. بعد رفضه ، بدأ كايلون معركة مع فيثاغورس. في حريق ، أنقذ الطلاب حياة المعلم على نفقتهم الخاصة. أصيب فيثاغورس بالاكتئاب وسرعان ما انتحر.

وتجدر الإشارة إلى أن هذا أحد الخيارات لسيرته الذاتية. لم يتم تحديد التواريخ الدقيقة لميلاده ووفاته ؛ العديد من حقائق حياته متناقضة. لكن هناك شيء واحد واضح: هذا الرجل عاش وترك للأحفاد تراثًا فلسفيًا ورياضيًا عظيمًا.

نظرية فيثاغورس.

تعتبر نظرية فيثاغورس أهم بيان في الهندسة. تتم صياغة النظرية على النحو التالي: مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعات المبنية على ساقيه.

يعزى اكتشاف هذا البيان إلى فيثاغورس من ساموس (القرن الثاني عشر قبل الميلاد)

أظهرت دراسة للألواح المسمارية البابلية والمخطوطات الصينية القديمة (نسخ من المخطوطات القديمة) أن النظرية الشهيرة كانت معروفة قبل فيثاغورس بفترة طويلة ، وربما قبله بعدة آلاف من السنين.

(لكن هناك افتراض بأن فيثاغورس أعطى الدليل الكامل)

ولكن هناك رأي آخر: في مدرسة فيثاغورس كانت هناك عادة رائعة لإسناد جميع المزايا إلى فيثاغورس وإلى حد ما عدم ملاءمة شهرة المكتشفين لنفسها ، باستثناء ، ربما ، في حالات قليلة.

(امبليكوس - كاتب سوري ناطق باليونانية ، ومؤلف أطروحة "حياة فيثاغورس" (القرن الثاني الميلادي)

لذلك يعتقد المؤرخ الألماني للرياضيات Kantor أن المساواة 3 2 + 4 2 = 5 2 كانت كذلك

عرفها المصريون حوالي 2300 قبل الميلاد. ه. في زمن الملك أمين أحمد (حسب البردية 6619 لمتحف برلين). يعتقد البعض أن فيثاغورس أعطى النظرية دليلاً كاملاً ، بينما ينكره آخرون هذه الميزة.

ينسب البعض إلى فيثاغورس الدليل الذي قدمه إقليدس في "العناصر". من ناحية أخرى ، يجادل بروكلوس (عالم رياضيات ، القرن الخامس) بأن الدليل الموجود في "العناصر" يخص إقليدس نفسه ، أي أن تاريخ الرياضيات لا يحتوي تقريبًا على بيانات موثوقة حول النشاط الرياضي لفيثاغورس. في الرياضيات ، ربما لا توجد نظرية أخرى تستحق كل أنواع المقارنات.

في بعض قوائم "العناصر" لإقليدس ، كانت تسمى هذه النظرية "نظرية الحورية" للتشابه بين الرسم مع نحلة ، فراشة ("نظرية الفراشة") ، والتي كانت تسمى حورية في الحنطة السوداء. بهذه الكلمة ، أطلق الإغريق على بعض الآلهة ، وكذلك الشابات والعرائس. تجاهل المترجم العربي الرسم وقام بترجمة كلمة "حورية" إلى "عروس". هكذا ظهر الاسم الحنون "نظرية العروس". هناك أسطورة أنه عندما أثبت فيثاغورس من ساموس نظريته ، شكر الآلهة بالتضحية بـ 100 ثور. ومن هنا اسم آخر - "نظرية مائة ثور".

في البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية كان يطلق عليه: "طاحونة" ، "ذيل الطاووس" ، "كرسي العروس" ، "جسر الحمار" (إذا لم يتمكن الطالب من "عبوره" ، فهو "حمار" حقيقي)

في روسيا ما قبل الثورة ، كان رسم نظرية فيثاغورس لحالة مثلث متساوي الساقين يسمى "بنطلون فيثاغورس".

تظهر هذه "السراويل" عند بناء مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية إلى الخارج.

كم عدد البراهين المختلفة لنظرية فيثاغورس؟

منذ زمن فيثاغورس ، ظهر أكثر من 350 منهم ، وأصبحت النظرية في كتاب غينيس للأرقام القياسية. إذا قمنا بتحليل براهين النظرية ، فإنهم يستخدمون القليل من الأفكار المختلفة جوهريًا.

مجالات تطبيق النظرية.

يستخدم على نطاق واسع في الحل هندسيمهام.

وبمساعدتها ، يمكنك إيجاد قيم الجذور التربيعية من الأعداد الصحيحة هندسيًا:

للقيام بذلك ، نقوم ببناء مثلث قائم الزاوية AOB (الزاوية A تساوي 90 درجة) بأرجل مفردة. ثم الوتر هو 2. ثم نقوم ببناء جزء وحدة BC ، BC عمودي على OB ، وطول وتر المثلث OS = √3 ، إلخ.

(تم العثور على هذه الطريقة في إقليدس و F. Kirensky).

أهداف الدورة الفيزياءتتطلب المدرسة الثانوية معرفة نظرية فيثاغورس.

هذه هي المهام المتعلقة بإضافة السرعات.

انتبه إلى الشريحة: مشكلة من كتاب الفيزياء للصف التاسع. بالمعنى العملي ، يمكن صياغتها على النحو التالي: في أي زاوية من تدفق النهر يجب أن يتحرك القارب ، حاملاً الركاب بين المراسي ، من أجل الوفاء بالجدول الزمني؟ (تقع المراسي على الضفاف المقابلة للنهر)

عندما يطلق رياضي على هدف ما ، يقوم "بتصحيح الريح". إذا كانت الريح تهب من اليمين وقام اللاعب بإطلاق النار في خط مستقيم ، فإن الرصاصة ستذهب إلى اليسار. لضرب الهدف ، تحتاج إلى تحريك المشهد إلى اليمين بمسافة تعويض الرصاصة. بالنسبة لهم ، تم تجميع جداول خاصة (بناءً على نتائج الرفيق فيثاغورس). يعرف الرياضي الرياضي الزاوية التي يتحرك إليها المشهد بسرعة رياح معروفة.

الفلك -أيضا مساحة واسعة لتطبيق النظرية مسار شعاع الضوء.يوضح الشكل مسار شعاع الضوء من أإلى B والعودة. يظهر مسار الشعاع بسهم منحني من أجل الوضوح ؛ في الواقع ، شعاع الضوء مستقيم.

في أي اتجاه يذهب الشعاع? يذهب الضوء ذهابًا وإيابًا بنفس الطريقة. ما نصف المسار الذي يقطعه الشعاع؟ إذا وضعنا علامة على الجزء ABرمز لنصف الوقت ر، وكذلك للدلالة على سرعة حركة الضوء بالحرف ج، ثم تأخذ معادلتنا الصورة

ج * ر = ل

بعد كل شيء ، هذا هو نتاج الوقت الذي تستغرقه السرعة!

الآن دعونا نحاول النظر إلى نفس الظاهرة من إطار مرجعي آخر ، على سبيل المثال ، من مركبة فضائية تحلق عبر شعاع جاري بسرعة الخامس... مع هذه الملاحظة ، ستتغير سرعات جميع الأجسام ، وستبدأ الأجسام الثابتة في التحرك مع السرعة الخامسفي الاتجاه المعاكس. افترض أن السفينة تتجه إلى اليسار. ثم ستتحرك النقطتان اللتان يركض الأرنب بينهما إلى اليمين بنفس السرعة. علاوة على ذلك ، بينما يسير الأرنب في طريقه ، تكون نقطة البداية أالتحولات ويعود الشعاع إلى نقطة جديدة ج.

السؤال هو: إلى متى يجب أن تتحرك النقطة (لتتحول إلى النقطة C) أثناء انتقال الضوء؟بتعبير أدق: ما هو نصف التعويض المعطى؟ إذا أشرنا إلى نصف وقت سفر الشعاع بالحرف ر "ونصف المسافة تيار مترددرسالة د، ثم نحصل على معادلتنا بالصيغة:

ع * ر "= د

بواسطة الرسالة الخامسيشار إلى سرعة حركة المركبة الفضائية.

سؤال آخر: ما المسار الذي سيسلكه شعاع الضوء في هذه الحالة؟(بتعبير أدق ، ما هو نصف هذا المسار؟ ما هي المسافة إلى الجسم المجهول؟)

إذا أشرنا إلى نصف مسار الضوء بالحرف s ، فسنحصل على المعادلة:

ج * ر "=س

هنا جهي سرعة الضوء و ر "- هذا هو نفس الوقت المذكور أعلاه.

فكر الآن في المثلث ABC... إنه مثلث متساوي الساقين ارتفاعه ل، والتي قدمناها عند النظر في العملية من وجهة نظر ثابتة. لأن الحركة عمودية ل، فلا يمكن أن يؤثر عليها.

مثلث ABCيتألف من نصفين - مثلثات متطابقة قائمة الزاوية ، والتي هي الوتر ABو قبل الميلاديجب أن تكون متصلا مع الساقين بواسطة نظرية فيثاغورس... واحدة من الأرجل د، والتي حسبناها للتو ، والضلع الثاني هو s ، الذي يمر به الضوء ، والذي حسبناه أيضًا. نحصل على المعادلة:

س 2 = ل 2 + د 2

هذا هو نظرية فيثاغورس!

ظاهرة انحراف نجمياكتشف في عام 1729 ، هو أن جميع النجوم في الكرة السماوية تصف الحذف. يُلاحظ المحور شبه الرئيسي لهذه القطع الناقصة من الأرض بزاوية 20.5 درجة. ترتبط هذه الزاوية بحركة الأرض حول الشمس بسرعة 29.8 كم في الساعة. من أجل مراقبة نجم من الأرض المتحركة ، من الضروري إمالة أنبوب التلسكوب للأمام على طول حركة النجم ، لأنه بينما ينتقل الضوء بطول التلسكوب ، تتحرك العدسة للأمام مع الأرض. يتم إضافة سرعات الضوء والأرض في متجه ، باستخدام ما يسمى.

فيثاغورس. ش 2 = ج 2 + ع 2

C- سرعة الضوء

سرعة V الأرضية

أنبوب تلسكوب

في نهاية القرن التاسع عشر ، تم التعبير عن افتراضات مختلفة حول وجود سكان المريخ على غرار البشر ، وكان هذا نتيجة لاكتشافات عالم الفلك الإيطالي شياباريللي (اكتشف قنوات على المريخ كانت تعتبر اصطناعية لفترة طويلة) . بطبيعة الحال ، تسببت مسألة ما إذا كان من الممكن التواصل مع هذه المخلوقات الافتراضية بمساعدة الإشارات الضوئية في مناقشة حية. حتى أن أكاديمية باريس للعلوم أنشأت جائزة قدرها 100000 فرنك لمن كان أول من أقام اتصالًا مع بعض سكان جرم سماوي آخر ؛ هذه الجائزة ما زالت تنتظر المحظوظ. على سبيل المزاح ، على الرغم من أنه ليس غير معقول تمامًا ، فقد تقرر إرسال إشارة إلى سكان المريخ في شكل نظرية فيثاغورس.

من غير المعروف كيفية القيام بذلك ؛ لكن من الواضح للجميع أن الحقيقة الرياضية التي تعبر عنها نظرية فيثاغورس تحدث في كل مكان ، وبالتالي يجب على سكان عالم آخر مشابه لنا فهم مثل هذه الإشارة.

اتصال المحمول

من في العالم الحديث لا يستخدم الهاتف الخليوي؟ كل مشترك في الهاتف المحمول مهتم بجودته. وتعتمد الجودة بدورها على ارتفاع هوائي مشغل الهاتف المحمول. لحساب نصف القطر الذي يمكن استقبال الإرسال فيه ، نطبق نظرية فيثاغورس.

ما هو أعلى ارتفاع لهوائي مشغل الخدمة المتنقلة بحيث يمكن استقبال الإرسال في دائرة نصف قطرها R = 200 km؟ (يبلغ نصف قطر الأرض 6380 كم.)

المحلول:

يترك AB = س , BC = R = 200 كم , OC = r = 6380 كم.

OB = OA + ABOB = r + x.

باستخدام نظرية فيثاغورس ، نحصل على الجواب: 2.3 كم.

عند بناء المنازل والبيوت ، غالبًا ما يطرح السؤال حول طول العوارض الخشبية للسقف ، إذا كانت الحزم قد صنعت بالفعل. على سبيل المثال: من المخطط بناء سقف الجملون في المنزل (شكل المقطع العرضي). كم يجب أن تكون العوارض الخشبية ، إذا كانت الحزم مصنوعة AC = 8 م ، و AB = BF.

المحلول:

المثلث ADC - متساوي الساقين AB = BC = 4 م ، BF = 4 م. إذا افترضنا أن FD = 1.5 م ، إذن:

أ) من المثلث DBC: DB = 2.5 م.

ب) من المثلث ABF:

نافذة او شباك

في المباني الطراز القوطي والرومانييتم تشريح الأجزاء العلوية من النوافذ بواسطة أضلاع حجرية ، والتي لا تلعب دور الزخرفة فحسب ، بل تساهم أيضًا في قوة النوافذ. يوضح الشكل مثالًا بسيطًا لمثل هذه النافذة ذات الطراز القوطي. طريقة بنائه بسيطة للغاية: من الشكل يسهل العثور على مراكز ستة أقواس من الدوائر ، نصف قطرها متساوي

عرض النافذة (ب) للأقواس الخارجية

نصف العرض ، (ب / 2) للأقواس الداخلية

لا يزال هناك مماس دائرة كاملة لأربعة أقواس. نظرًا لأنه محصور بين دائرتين متحدة المركز ، فإن قطره يساوي المسافة بين هاتين الدائرتين ، أي ب / 2 ، وبالتالي فإن نصف القطر يساوي ب / 4. وبعد ذلك يصبح واضحا و

موقع مركزها.

الخامس العمارة الرومانيةغالبًا ما يتم مواجهة الدافع الموضح في الصورة. إذا كان b لا يزال يشير إلى عرض النافذة ، فسيكون نصف قطر أنصاف الدائرة مساويًا لـ R = b / 2 و r = b / 4. يمكن حساب نصف القطر p للدائرة الداخلية من المثلث القائم الزاوية الموضح في تين. خط منقط. الوتر في هذا المثلث ، الذي يمر عبر نقطة تماس الدوائر ، هو b / 4 + p ، أحدهما هو b / 4 ، والآخر b / 2-p. من خلال نظرية فيثاغورس لدينا:

(ب / 4 + ع) 2 = (ب / 4) 2 + (ب / 4-ع) 2

ب 2/16 + bp / 2 + p 2 = b 2/16 + b 2/4 - bp / 2 + p 2 ،

بالقسمة على b وتقليل المصطلحات المماثلة ، نحصل على:

(3/2) ص = ب / 4 ، ع = ب / 6.

في صناعة الأخشاب: لتلبية احتياجات البناء ، تُنشر الأخشاب في قضيب ، في حين أن المهمة الرئيسية هي التخلص من أقل قدر ممكن من النفايات. سيكون أقل قدر من النفايات عندما يكون للخشب أكبر حجم. ماذا يجب أن يكون في القسم؟ كما ترى من الحل ، يجب أن يكون القسم مربعًا ، و نظرية فيثاغورسوالمنطق الآخر يسمح لنا بالتوصل إلى الاستنتاج التالي.

أكبر شريط حجم

مهمة

يجب قطع شريط مستطيل ذو حجم أكبر من سجل أسطواني. ما هو الشكل الذي يجب أن يكون قسمه (شكل 23)؟

المحلول

إذا كانت جوانب المقطع المستطيل هي x و y ، عندئذٍ باستخدام نظرية فيثاغورس

س 2 + ص 2 = د 2 ،

حيث d هو قطر السجل. يكون حجم الأخشاب أكبر عندما تكون مساحة المقطع العرضي أكبر ، أي عندما تصل xy إلى أكبر قيمة لها. ولكن إذا كانت xy هي الأكبر ، فسيكون حاصل الضرب x 2 y 2 هو الأكبر أيضًا. بما أن مجموع x 2 + y 2 لم يتغير ، إذن ، كما تم إثباته سابقًا ، يكون حاصل الضرب x 2 y 2 أكبر عندما

س 2 = ص 2 أو س = ص.

لذلك ، يجب أن يكون المقطع العرضي للخشب مربعًا.

مهام النقل(ما يسمى بمهام التحسين ؛ المهام ، التي يسمح لك حلها بالإجابة على السؤال: كيفية الحصول على الوسائل لتحقيق فوائد عظيمة)

للوهلة الأولى ، لا يوجد شيء مميز: قم بأخذ قياسات الارتفاع من الأرض إلى السقف في عدة نقاط ، وقم بطرح بضعة سنتيمترات حتى لا تستقر الخزانة على السقف. قد يؤدي القيام بذلك إلى صعوبات في تجميع الأثاث. بعد كل شيء ، يقوم صانعو الأثاث بتجميع الإطار عن طريق وضع الخزانة في وضع أفقي ، وعندما يتم تجميع الإطار ، يرفعونه إلى الوضع الرأسي. ضع في اعتبارك جانب الخزانة. يجب أن يكون ارتفاع الخزانة أقل بمقدار 10 سم من المسافة من الأرضية إلى السقف بشرط ألا تزيد هذه المسافة عن 2500 مم. وعمق الكابينة 700 مم. لماذا 10 سم وليس 5 سم أو 7 ، وأين علاقة نظرية فيثاغورس بها؟

إذن: الجدار الجانبي 2500-100 = 2400 (مم) - أقصى ارتفاع للهيكل.

يجب أن يمر الجدار الجانبي في عملية رفع الإطار بحرية في الارتفاع والقطري. بواسطة نظرية فيثاغورس

AC = AB 2 + BC 2

أس = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (مم)

ماذا يحدث إذا تم تقليل ارتفاع الخزانة بمقدار 50 مم؟

AC = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (مم)

قطر 2548 ملم. هذا يعني أنه لا يمكنك وضع خزانة (يمكنك تدمير السقف).

مانعة الصواعق.

من المعروف أن مانعة الصواعق تحمي من الصواعق جميع الأشياء التي لا تتجاوز مسافتها من قاعدتها ارتفاعها المزدوج. من الضروري تحديد الوضع الأمثل لقضيب الصواعق على سطح الجملون ، مما يوفر أقل ارتفاع متاح.

بواسطة نظرية فيثاغورس ح 2 ≥ أ 2 + ب 2 يعني ح (أ 2 + ب 2) 1/2

على وجه السرعة في الكوخ الصيفي ، من الضروري عمل دفيئة للشتلات.

تم هدم مربع 1 م 1 م من الألواح. هناك بقايا فيلم بحجم 1.5 م 1.5 م. في أي ارتفاع في وسط المربع يجب تثبيت السكة حتى يغطيتها الفيلم بالكامل؟

1) الدفيئة قطري d == 1.4 ؛ 0.7

2) فيلم قطري د 1= 2,12 1,06

3) ارتفاع السكك الحديدية س = 0,7

استنتاج

كنتيجة لبحثي ، اكتشفت بعض مجالات تطبيق نظرية فيثاغورس. لقد جمعت وعالجت الكثير من المواد من المصادر الأدبية والإنترنت حول هذا الموضوع. لقد درست بعض المعلومات التاريخية عن فيثاغورس ونظريته. نعم ، في الواقع ، بمساعدة نظرية فيثاغورس ، ليس من الممكن حل المسائل الرياضية فقط. وجدت نظرية فيثاغورس تطبيقها في البناء والهندسة المعمارية والاتصالات المتنقلة والأدب.

دراسة وتحليل مصادر المعلومات حول نظرية فيثاغورس

أظهرت أن:

أ) الاهتمام الحصري بجانب علماء الرياضيات ومحبي الرياضيات لهذه النظرية مبني على بساطتها وجمالها وأهميتها ؛

ب)كانت نظرية فيثاغورس لعدة قرون دافعًا لاكتشافات رياضية مهمة ومثيرة للاهتمام (نظرية فيرمات ، نظرية النسبية لأينشتاين) ؛

الخامس) نظرية فيثاغورس - هي تجسيد للغة العالمية للرياضيات ، وهي صالحة في جميع أنحاء العالم ؛

جي) مجال تطبيق النظرية واسع جدًا ولا يمكن تحديده بشكل كامل بشكل كافٍ ؛

د) تستمر ألغاز نظرية فيثاغورس في إثارة البشرية ، وبالتالي يتم منح كل واحد منا فرصة للمشاركة في الكشف عنها.

فهرس

"Uspekhi matematicheskikh nauk" ، 1962 ، v. 17 ، no. 6 (108).

الكسندر دانيلوفيتش الكسندروف (في عيد ميلاده الخمسين) ،

الكسندروف أ.د. ، فيرنر أل ، ريزيك ف. الهندسة ، 10-11 سل. - م: التربية والتعليم ، 1992.

أتاناسيان إل. الهندسة ، 10-11 خلية. - م: التربية والتعليم ، 1992.

فلاديميروف يوس. الفضاء - الزمان: أبعاد صريحة وخفية. - م: "علم" 1989.

فولوشين أ. فيثاغورس. - م: التعليم ، 1993.

جريدة "رياضيات" العدد 21 لسنة 2006.

جريدة "رياضيات" العدد 28 لسنة 1995.

الهندسة: كتاب مدرسي. ل7-11 سل. المدرسة المتوسطة / G.P. بيفز ، في. بيفز ، ن. فلاديميروفا. - م: التربية والتعليم ، 1992.

علم الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف من السابع إلى التاسع تعليم عام. المؤسسات / L.S. أتاناسيان ، ف. بوتوزوف ، س. كادومتسيف وآخرون - الطبعة السادسة. - م: التعليم ، 1996.

جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة: IX - Xkl. دليل للمعلمين. - م: التربية والتعليم 1983.

فصول إضافية في الكتاب المدرسي للصف الثامن: كتاب مدرسي للطلاب shk. وفصول متعمقة. دراسة الرياضيات / ل. أتاناسيان ، ف. بوتوزوف ، س. Kadomtsev وآخرون. - م: التعليم ، 1996.

يلنسكي شتش ، على خطى فيثاغورس. م ، 1961.

أ.ب. كيسيليف ، إن إيه ريبكين علم الهندسة: قياس الكوكب: 7 - 9 فصول: كتاب مدرسي وكتاب مشكلة. - م: بوستارد ، 1995.

كلاين م. الرياضيات. البحث عن الحقيقة: الترجمة من الإنجليزية. / إد. ومقدمة. في و. Arshinova، Yu.V. ساشكوفا. - م: مير ، 1998.

Liturman V. نظرية فيثاغورس. - م ، 1960.

الرياضيات: دليل التلميذ والطالب / ب. فرانك وآخرون ؛ الترجمة منه. - الطبعة الثالثة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 2003.

Peltuer A. من أنت فيثاغورس؟ - م: المعرفة قوة ، رقم 12 ، 1994.

Perelman Ya. مسلية الرياضيات. - م: علم 1976.

بونوماريفا تي. علماء عظماء. - م: OOO "Astrel Publishing House" ، 2002.

Sveshnikova A. رحلة إلى تاريخ الرياضيات. - م ، 1995.

سيميونوف إي. ندرس علم الهندسة: كتاب. للطلاب من 6 إلى 8 صفوف. المدرسة المتوسطة - م: التربية والتعليم ، 1987.

Smyshlyaev V.K. حول الرياضيات وعلماء الرياضيات. - دار ماري للكتاب 1977.

توكنين ن. كيفية طرح السؤال. - م: التعليم ، 1993.

Cherkasov O.Yu. قياس الكواكب في امتحان القبول. - م: صالة حفلات موسكو ، 1996.

قاموس موسوعي لعالم رياضيات شاب. جمعتها أ. المقتصد. - م: علم أصول التدريس ، 1985.

موسوعة للأطفال. ت 11. الرياضيات. / الفصل. إد. د. أكسينوف. - م: أفانتا + ، 2001.

جليزر ،
أكاديمي في الأكاديمية الروسية للتربية ، موسكو

في نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها

مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعات المبنية على ساقيه ...

هذه واحدة من أشهر النظريات الهندسية في العصور القديمة ، تسمى نظرية فيثاغورس. لا يزال معروفًا من قبل كل من درس علم الكواكب تقريبًا. يبدو لي أنه إذا أردنا السماح للحضارات خارج كوكب الأرض بمعرفة وجود حياة ذكية على الأرض ، فعلينا إرسال صورة شخصية فيثاغورس إلى الفضاء. أعتقد أنه إذا استطاعت الكائنات المفكرة تلقي هذه المعلومات ، فسوف تفهم ، بدون فك رموز الإشارة المعقدة ، أن هناك حضارة متطورة بشكل كاف على الأرض.

عاش الفيلسوف وعالم الرياضيات اليوناني الشهير فيثاغورس من ساموس ، الذي سميت النظرية على اسمه ، قبل حوالي 2.5 ألف عام. معلومات السيرة الذاتية عن فيثاغورس التي وصلت إلينا مجزأة وبعيدة عن الموثوقية. ترتبط العديد من الأساطير باسمه. من المعروف أن فيثاغورس سافر كثيرًا إلى بلدان الشرق ، وزار مصر وبابل. في إحدى المستعمرات اليونانية في جنوب إيطاليا ، أسس "مدرسة فيثاغورس" الشهيرة ، والتي لعبت دورًا مهمًا في الحياة العلمية والسياسية لليونان القديمة. يعود الفضل إلى فيثاغورس في إثبات النظرية الهندسية المعروفة. استنادًا إلى الأساطير التي نشرها علماء الرياضيات المشهورون (Proclus ، Plutarch ، إلخ) ، كان يُعتقد لفترة طويلة أن هذه النظرية لم تكن معروفة قبل فيثاغورس ، ومن هنا جاء الاسم - نظرية فيثاغورس.

ومع ذلك ، ليس هناك شك في أن هذه النظرية كانت معروفة قبل فيثاغورس بسنوات عديدة. لذلك ، قبل 1500 عام من فيثاغورس ، عرف المصريون القدماء أن المثلث بأضلاعه 3 و 4 و 5 مستطيل ، واستخدموا هذه الخاصية (أي النظرية المعكوسة لنظرية فيثاغورس) لبناء الزوايا القائمة عند تخطيط قطع الأراضي والهياكل البنايات. حتى اليوم ، يقوم البناة والنجارون الريفيون ، الذين يضعون أساس الكوخ ، ويصنعون أجزائه ، برسم هذا المثلث للحصول على الزاوية الصحيحة. تم القيام بنفس الشيء منذ آلاف السنين في بناء المعابد الرائعة في مصر وبابل والصين وربما المكسيك. في أقدم عمل رياضي فلكي صيني موجود "Zhou-bi" ، كتب قبل حوالي 600 عام من فيثاغورس ، من بين مقترحات أخرى تتعلق بمثلث قائم الزاوية ، توجد أيضًا نظرية فيثاغورس. حتى في وقت سابق هذه النظرية كانت معروفة للهنود. وهكذا ، لم يكتشف فيثاغورس خاصية المثلث القائم الزاوية ، وربما كان أول من قام بتعميمها وإثباتها ، وبالتالي نقلها من مجال الممارسة إلى مجال العلم. نحن لا نعرف كيف فعل ذلك. يفترض بعض مؤرخي الرياضيات ، مع ذلك ، أن إثبات فيثاغورس لم يكن أساسيًا ، ولكنه تأكيد فقط ، التحقق من هذه الخاصية على عدد من أنواع معينة من المثلثات ، بدءًا من مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، والذي من الواضح أنه يتبع من الشكل. واحد.

مع في العصور القديمة العميقة ، يجد علماء الرياضيات المزيد والمزيد من البراهين على نظرية فيثاغورس ، والمزيد والمزيد من الأفكار الجديدة لإثباتها. هناك أكثر من مائة ونصف من هذه الأدلة - أكثر أو أقل صرامة ، بصرية أكثر أو أقل - ولكن تم الحفاظ على الرغبة في زيادة عددها. أعتقد أن "الاكتشاف" المستقل لأدلة نظرية فيثاغورس سيكون مفيدًا لأطفال المدارس الحديثة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة على الأدلة التي قد تشير إلى اتجاه عمليات البحث هذه.

إثبات فيثاغورس

"؛ المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع المربعات المبنية على ساقيه." ؛يتم الحصول على أبسط دليل على النظرية في أبسط حالة لمثلث متساوي الساقين قائم الزاوية. ربما بدأت النظرية معه. في الواقع ، يكفي مجرد إلقاء نظرة على فسيفساء المثلثات متساوية الساقين ذات الزاوية اليمنى للتحقق من صحة النظرية. على سبيل المثال ، بالنسبة لـ DABS: مربع مبني على الوتر AC ،يحتوي على 4 مثلثات أصلية ، ومربعان مبنيان على أرجل. تم إثبات النظرية.

البراهين على أساس استخدام مفهوم الحجم المتساوي للأرقام.

في هذه الحالة ، يمكن للمرء أن يفكر في الدليل على أن المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية "يتكون" من نفس الأشكال مثل المربعات المبنية على الأرجل. يمكنك أيضًا التفكير في مثل هذه البراهين التي يتم فيها استخدام التقليب في ملخصات الأشكال وأخذ عدد من الأفكار الجديدة في الاعتبار.

في التين. 2 يظهر مربعين متساويين. طول أضلاع كل مربع أ + ب. ينقسم كل مربع إلى أجزاء تتكون من مربعات ومثلثات قائمة الزاوية. من الواضح أننا إذا طرحنا المساحة الرباعية لمثلث قائم الزاوية بأرجل أ ، ب من مساحة المربع ، فستبقى المساحات المتساوية ، أي ج 2 = أ 2 + ب 2. ومع ذلك ، فإن الهندوس القدماء ، الذين ينتمي إليهم هذا المنطق ، لم يكتبوه في العادة ، لكنهم رافقوا الرسم بكلمة واحدة فقط: "انظروا!" من الممكن تمامًا أن يكون فيثاغورس قد قدم نفس الدليل.

البراهين المضافة.

تعتمد هذه الأدلة على تحليل المربعات المبنية على الأرجل إلى أشكال يمكنك من خلالها إضافة مربع مبني على الوتر.

هنا: ABC - مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C ؛ CMN. CKMN ؛ PO || MN؛ إي أف || MN.

أثبت بنفسك المساواة الزوجية للمثلثات التي تم الحصول عليها عن طريق تقسيم المربعات المبنية على الساقين والوتر.

إثبات النظرية باستخدام هذا القسم.

 بناءً على إثبات النيرزية ، تم إجراء تحليل آخر للمربعات إلى أشكال زوجية متساوية (الشكل 5 ، هنا ABC هو مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C).

يظهر في الشكل دليل آخر عن طريقة تحليل المربعات إلى أجزاء متساوية ، تسمى "عجلة ذات ريش". 6. هنا: ABC مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C ؛ O - مركز مربع مبني على ساق كبيرة ؛ الخطوط المنقطة التي تمر عبر النقطة O تكون عمودية أو موازية للوتر.

• هذا التفكك للمربعات مثير للاهتمام حيث يمكن ربط المربعات الزوجية المتساوية ببعضها البعض عن طريق الترجمة المتوازية. يمكن اقتراح العديد من البراهين الأخرى لنظرية فيثاغورس باستخدام تحليل المربعات إلى أشكال.

البراهين بطريقة الإنجاز.

جوهر هذه الطريقة هو أن الأشكال المتساوية مرتبطة بالمربعات المبنية على الأرجل وبالمربع المبني على الوتر بطريقة يتم الحصول على أرقام متساوية.

صحة نظرية فيثاغورس تأتي من الحجم المتساوي للشكل السداسي AEDFPB و ACBNMQ. هنا CEP ، السطر EP يقسم السداسي AEDFPB إلى اثنين رباعي الزوايا متساوية ، الخط CM يقسم السداسي ACBNMQ إلى رباعيتين متساويتين ؛ تدوير المستوى 90 درجة حول المركز A يرسم رباعي الأضلاع AEPB إلى رباعي الأضلاع ACMQ.

	في التين. 8 الشكل فيثاغورس مكتمل إلى مستطيل ، أضلاعه موازية للجوانب المقابلة للمربعات المبنية على الأرجل. دعونا نقسم هذا المستطيل إلى مثلثات ومستطيلات. أولاً ، نطرح جميع المضلعات 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 من المستطيل الناتج ، مما يترك مربعًا مبنيًا على الوتر. ثم من نفس المستطيل نطرح المستطيلات 5 ، 6 ، 7 والمستطيلات المظللة ، نحصل على المربعات مبنية على الساقين.

الآن دعونا نثبت أن الأرقام التي تم طرحها في الحالة الأولى تساوي الأرقام المطروحة في الحالة الثانية.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ؛

LGBO = CBMP = CBNQ = ب 2 ؛

AKGB = AKLO + LGBO = ج 2 ؛

ومن ثم ج 2 = أ 2 + ب 2.

OCLP = ACLF = ACED = ب 2 ؛

CBML = CBNQ = أ 2 ؛

OBMP = ABMF = c 2 ؛

OBMP = OCLP + CBML ؛

ص 2 = أ 2 + ب 2.

طريقة البرهان الجبري.

	أرز. 12 يوضح دليل عالم الرياضيات الهندي العظيم بهاسكاري (المؤلف الشهير ليلافاتي ، إكس القرن الثاني). كان الرسم مصحوبًا بكلمة واحدة فقط: انظر! من بين البراهين على نظرية فيثاغورس بالطريقة الجبرية ، يتم أخذ المرتبة الأولى (ربما الأقدم) من خلال الإثبات باستخدام التشابه.
	دعونا نقدم في عرض حديث أحد هذه البراهين ، بسبب فيثاغورس.

ن والتين. 13 ABC - مستطيل ، C - الزاوية اليمنى ، CMAB ، b 1 - إسقاط الساق b على الوتر ، أ 1 - إسقاط الساق a على الوتر ، h - ارتفاع المثلث المرسوم على الوتر.

نظرًا لأن ABC يشبه ACM ، فإنه يتبع ذلك

ب 2 = cb 1 ؛ (واحد)

نظرًا لأن ABC يشبه BCM فإنه يتبع ذلك

أ 2 = كاليفورنيا 1. (2)

عند إضافة المساواة (1) و (2) المصطلح حسب المصطلح ، نحصل على 2 + ب 2 = cb 1 + ca 1 = c (b 1 + a 1) = c 2.

إذا قدم فيثاغورس مثل هذا الدليل ، فقد كان أيضًا على دراية بعدد من النظريات الهندسية المهمة التي ينسبها مؤرخو الرياضيات الحديثون عادةً إلى إقليدس.

دليل مولمان (شكل 14). مساحة مثلث قائم الزاوية ، من ناحية ، تساوي من ناحية أخرى ، حيث p هو نصف محيط المثلث ، و r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة لدينا:

من أين يتبع ذلك ج 2 = أ 2 + ب 2.

في الثانية

معادلة هذه التعبيرات ، نحصل على نظرية فيثاغورس.

الطريقة المركبة

مساواة المثلثات

ص 2 = أ 2 + ب 2. (3)

بمقارنة العلاقات (3) و (4) ، نحصل على ذلك

ص 1 2 = ص 2 ، أو ج 1 = ج.

وهكذا ، فإن المثلثات - المعطاة والمركبة - متساوية ، لأن لها ثلاثة أضلاع متساوية على التوالي. الزاوية C 1 مستقيمة ، وبالتالي فإن الزاوية C في هذا المثلث قائمة أيضًا.

دليل هندي قديم.

لاحظ علماء الرياضيات في الهند القديمة أنه لإثبات نظرية فيثاغورس ، كان يكفي استخدام الجزء الداخلي من الرسم الصيني القديم. في أطروحة "Siddhanta shiromani" ("تاج المعرفة") كتبها أكبر عالم رياضيات هندي في القرن الثاني عشر على سعف النخيل. وضع بها سكارا الرسم (الشكل 4)

كلمة "نظرة!" سمة من سمات الأدلة الهندية. كما ترى ، تم وضع المثلثات القائمة هنا مع وجود الوتر للخارج ومربع مع 2 تحول إلى "كرسي العروس" مع 2 -ب 2 . لاحظ أن الحالات الخاصة لنظرية فيثاغورس (على سبيل المثال ، بناء مربع مساحته ضعف حجم نظرية فيثاغورس الشكل 4تم العثور على مناطق من هذا المربع) في الأطروحة الهندية القديمة "؛ سولفا" ؛

لقد حللنا مثلثًا قائم الزاوية ومربعات مبنية على رجليه ، أو بعبارة أخرى ، أشكالًا مكونة من 16 مثلثًا متساوي الساقين متطابقتين ، وبالتالي تناسب مربعًا. هذا هو الزنبق. جزء صغير من الثروات المخبأة في لؤلؤة الرياضيات القديمة - نظرية فيثاغورس.

دليل صيني قديم.

وصلت الرسائل الرياضية للصين القديمة إلينا في طبعة القرن الثاني. قبل الميلاد. الحقيقة هي أنه في عام 213 قبل الميلاد. أمر الإمبراطور الصيني شي هوانغ دي بحرق جميع الكتب القديمة في محاولة للقضاء على التقاليد القديمة. في القرن الثاني. قبل الميلاد. في الصين ، تم اختراع الورق وفي نفس الوقت بدأت إعادة بناء الكتب القديمة. والعمل الفلكي الرئيسي الباقي هو أن كتاب "الرياضيات" يحتوي على رسم (الشكل 2 ، أ) يثبت نظرية فيثاغورس. ليس من الصعب العثور على مفتاح هذا الدليل. في الواقع ، في الرسم الصيني القديم ، هناك أربعة مثلثات متساوية الزاوية ذات أرجل أ و ب ووتر معمرصوصة ز)بحيث يشكل محيطها الخارجي مربع Rice-2 مع جانب أ + ب ،والداخلي مربع مع ضلع ج ، مبني على الوتر (الشكل 2 ، ب). إذا قطعت مربعًا مع الجانب c ووضعت المثلثات الأربعة المظللة المتبقية في مستطيلين (الشكل 2 ، الخامس)،من الواضح أن الفراغ الناتج يساوي مع 2 , ومن ناحية أخرى - مع 2 + ب 2 , أولئك. ص 2 = 2 + ب 2. تم إثبات النظرية. لاحظ أنه مع مثل هذا الدليل ، لا يتم استخدام الإنشاءات الموجودة داخل المربع الموجود على الوتر ، والتي نراها في الرسم الصيني القديم (الشكل 2 ، أ). على ما يبدو ، كان لدى علماء الرياضيات الصينيين القدماء برهان مختلف. على وجه التحديد إذا كان في مربع مع جانب معمثلثين مظللين (شكل 2 ، ب)قطع الوتر وإرفاق الوترين الآخرين (الشكل 2 ، ز) ،من السهل العثور على ذلك

يتكون الشكل الناتج ، الذي يطلق عليه أحيانًا "كرسي العروس" ، من مربعين لهما جوانب أو ب،أولئك. ج 2 == أ 2 + ب 2 .

ن يعيد الشكل 3 إنتاج رسم من أطروحة "Chou-bi ...". هنا يتم أخذ نظرية فيثاغورس في الاعتبار للمثلث المصري بأرجل 3 و 4 ووتر من 5 وحدات قياس. يحتوي المربع الموجود على الوتر على 25 خلية ، والمربع المنقوش على الساق الأكبر حجمه 16. من الواضح أن الباقي يحتوي على 9 خلايا. سيكون هذا هو المربع الموجود على الساق الأصغر.

يعرف كل طالب أن مربع الوتر يساوي دائمًا مجموع الأرجل ، كل منها مربعة. هذه العبارة تسمى نظرية فيثاغورس. وهي من أشهر النظريات في علم المثلثات والرياضيات بشكل عام. دعونا ننظر في الأمر بمزيد من التفصيل.

مفهوم المثلث القائم

قبل الشروع في دراسة نظرية فيثاغورس ، حيث يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع تربيع الأرجل ، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار مفهوم وخصائص المثلث القائم الزاوية الذي تكون النظرية صحيحة فيه.

المثلث شكل مسطح بثلاث زوايا وثلاثة أضلاع. المثلث قائم الزاوية ، كما يوحي اسمه ، له زاوية قائمة واحدة ، أي هذه الزاوية تساوي 90 o.

من الخصائص العامة لجميع المثلثات ، من المعروف أن مجموع الزوايا الثلاث لهذا الشكل هو 180 o ، مما يعني أن مجموع زاويتين غير مستقيمتين في المثلث القائم هو 180 o - 90 o = 90 o . تعني الحقيقة الأخيرة أن أي زاوية غير صحيحة في مثلث قائم الزاوية ستكون دائمًا أقل من 90 درجة.

الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة يسمى الوتر. الضلعان الآخران هما أرجل المثلث ، يمكن أن يكونا متساويين ، أو يمكن أن يختلفا. من المعروف من علم المثلثات أنه كلما زادت الزاوية التي يقع ضدها ضلع المثلث ، زاد طول هذا الضلع. هذا يعني أنه في مثلث قائم الزاوية ، سيكون الوتر (يقع مقابل الزاوية 90 o) دائمًا أكبر من أي من الأرجل (تقع مقابل الزوايا< 90 o).

التدوين الرياضي لنظرية فيثاغورس

تنص هذه النظرية على أن مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل ، كل منها مربعة سابقًا. لكتابة هذه الصيغة رياضيًا ، ضع في اعتبارك مثلثًا قائم الزاوية حيث الأضلاع أ ، ب ، ج عبارة عن ساقين ووتر ، على التوالي. في هذه الحالة ، يمكن تمثيل النظرية ، التي تتم صياغتها على أساس أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين ، بالصيغة التالية: c 2 = a 2 + b 2. من هنا ، يمكن الحصول على صيغ أخرى مهمة للممارسة: أ = (ج 2 - ب 2) ، ب = √ (ج 2 - أ 2) و ج = √ (أ 2 + ب 2).

لاحظ أنه في حالة مثلث متساوي الأضلاع قائم الزاوية ، أي أ = ب ، فإن الصيغة: مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل ، كل منها مربعة ، مكتوبًا رياضيًا على النحو التالي: ج 2 = أ 2 + ب 2 = 2 أ 2 ، مما يدل على المساواة: ج = أ√2.

مرجع التاريخ

نظرية فيثاغورس ، التي تقول أن مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل ، كل منها مربعة ، كانت معروفة قبل فترة طويلة من لفت انتباه الفيلسوف اليوناني الشهير إليها. تؤكد العديد من أوراق البردي في مصر القديمة ، وكذلك الألواح الطينية للبابليين ، أن هذه الشعوب استخدمت الخاصية المميزة لجوانب المثلث القائم الزاوية. على سبيل المثال ، أحد الأهرامات المصرية الأولى ، هرم خفرع ، الذي يعود تاريخ بنائه إلى القرن السادس والعشرين قبل الميلاد (2000 سنة قبل حياة فيثاغورس) ، تم بناؤه بناءً على معرفة نسبة العرض إلى الارتفاع في مثلث قائم الزاوية 3x4x5.

لماذا إذن سميت النظرية الآن باسم اليونانية؟ الجواب بسيط: كان فيثاغورس أول من أثبت هذه النظرية رياضيًا. المصادر المكتوبة البابلية والمصرية الباقية تتحدث فقط عن استخدامها ، ولكن لم يتم تقديم دليل رياضي.

يُعتقد أن فيثاغورس أثبت النظرية قيد الدراسة باستخدام خصائص المثلثات المتشابهة ، والتي حصل عليها من خلال رسم الارتفاع في مثلث قائم الزاوية من زاوية 90 درجة إلى الوتر.

مثال على استخدام نظرية فيثاغورس

ضع في اعتبارك مشكلة بسيطة: من الضروري تحديد طول الدرج المائل L ، إذا كان من المعروف أن ارتفاعه H = 3 أمتار ، والمسافة من الجدار الذي يرتكز عليه الدرج إلى قدمه هي P = 2.5 متر.

في هذه الحالة ، H و P أرجل ، و L هي وتر المثلث. نظرًا لأن طول الوتر يساوي مجموع مربعات الساق ، نحصل على: L 2 = H 2 + P 2 ، حيث L = √ (H 2 + P 2) = √ (3 2 + 2.5 2) = 3.905 متر أو 3 م و 90 ، 5 سم.