كيفية إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x0. أوجد قيمة مشتق الدالة عند النقطة x0

مثال 1

المرجعي: الطرق التالية للإشارة إلى دالة مكافئة: في بعض المهام يكون من المناسب تعيين الوظيفة كـ "igrokom" ، وفي بعض المهام كـ "ff من x".

أولًا ، نجد المشتق:

مثال 2

احسب مشتق دالة عند نقطة

, , دراسة كاملة الوظائفوإلخ.

مثال 3

احسب مشتق دالة عند نقطة. أولاً ، لنجد المشتق:

حسنًا ، هذا أمر مختلف تمامًا. دعنا نحسب قيمة المشتق عند النقطة:

في حالة عدم فهمك لكيفية العثور على المشتق ، ارجع إلى أول درسين من الموضوع. إذا كان لديك صعوبة (سوء فهم) مع قوس التماس ومعانيه ، بالضرورة دراسة المادة التعليمية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية- أحدث فقرة. لأنه لا يزال هناك أقواس كافية لعمر الطالب.

مثال 4

احسب مشتق دالة عند نقطة.

معادلة المماس لرسم بياني للدالة

لدمج القسم السابق ، ضع في اعتبارك مشكلة إيجاد الظل لـ وظيفة الرسوماتعند هذه النقطة. لقد التقينا بهذه المهمة في المدرسة ، وهي موجودة أيضًا في سياق الرياضيات العليا.

لنفكر في أبسط مثال "عرض توضيحي".

اكتب معادلة المماس لمنحنى الدالة عند النقطة التي بها حدود الإحداثية. سأقدم على الفور حلاً رسوميًا جاهزًا للمشكلة (عمليًا ، هذا ليس ضروريًا في معظم الحالات):

يتم إعطاء تعريف صارم للماس بواسطة تعريف مشتق الوظيفة، ولكن في الوقت الحالي سوف نتقن الجزء التقني من السؤال. من المؤكد أن كل شخص تقريبًا يفهم بشكل حدسي ما هو الظل. إذا قمت بشرح "على الأصابع" ، فإن مماس الرسم البياني للوظيفة هو مستقيمالذي يتعلق بالرسم البياني للوظيفة في الوحيدهدف. في هذه الحالة ، تقع جميع النقاط القريبة من الخط المستقيم في أقرب مكان ممكن من الرسم البياني للوظيفة.

كما هو مطبق على حالتنا: عند ، يلامس الظل (الترميز القياسي) الرسم البياني للوظيفة عند نقطة واحدة.

ومهمتنا هي إيجاد معادلة الخط المستقيم.

مشتق دالة عند نقطة

كيف تجد مشتق دالة عند نقطة؟ تنبع نقطتان واضحتان في هذه المهمة من الصياغة:

1) من الضروري إيجاد المشتق.

2) من الضروري حساب قيمة المشتق عند نقطة معينة.

مثال 1

احسب مشتق دالة عند نقطة

التعليمات: الطرق التالية للإشارة إلى دالة مكافئة:


في بعض المهام يكون من المناسب تعيين الوظيفة كـ "igrokom" ، وفي بعض المهام كـ "ff من x".

أولًا ، نجد المشتق:

آمل أن يكون الكثيرون قد اعتادوا بالفعل على إيجاد مثل هذه المشتقات شفويا.

في الخطوة الثانية ، نحسب قيمة المشتق عند النقطة:

مثال إحماء صغير لحل مستقل:

مثال 2

احسب مشتق دالة عند نقطة

الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

تنشأ الحاجة إلى إيجاد المشتق عند نقطة ما في المشاكل التالية: بناء مماس للرسم البياني للدالة (الفقرة التالية) ، دراسة الوظيفة القصوى , انعطاف دالة الرسم البياني , دراسة كاملة الوظائف وإلخ.

لكن المهمة المعنية موجودة في الاختبارات وفي حد ذاتها. وكقاعدة عامة ، في مثل هذه الحالات ، تكون الوظيفة معقدة للغاية. في هذا الصدد ، ضع في اعتبارك مثالين آخرين.

مثال 3

احسب مشتق دالة في هذه النقطة.
أولاً ، لنجد المشتق:

تم العثور على المشتق ، من حيث المبدأ ، ويمكن استبدال القيمة المطلوبة. لكنني لا أريد فعل ذلك حقًا. التعبير طويل جدًا وقيمة "x" كسرية. لذلك ، نحاول تبسيط المشتقة قدر الإمكان. في هذه الحالة ، دعنا نحاول تقريب الحدود الثلاثة الأخيرة إلى قاسم مشترك: في هذه النقطة.

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك.

كيف تجد قيمة مشتق الدالة F (x) عند النقطة Xo؟ كيف تحل هذا بشكل عام؟

إذا كانت الصيغة معطاة ، فأوجد المشتق واستبدل X-0 بدلاً من X. احسب
إذا كنا نتحدث عن b-8 USE ، الرسم البياني ، فأنت بحاجة إلى إيجاد ظل الزاوية (الحاد أو المنفرج) ، والذي يشكل مماسًا مع المحور X (باستخدام البناء العقلي لمثلث قائم الزاوية وتحديد ظل الزاوية)

Timur adilkhodzhaev

أولاً ، عليك أن تقرر العلامة. إذا كانت النقطة x0 في الجزء السفلي من المستوى الإحداثي ، فإن الإشارة في الإجابة ستكون سالب ، وإذا كانت أعلى ، فستكون +.
ثانيًا ، تحتاج إلى معرفة المظللات في المستطيل المستطيل. وهذه هي نسبة الضلع المقابل (الضلع) إلى الضلع المجاور (الضلع أيضًا). عادة ما توجد بعض العلامات السوداء على اللوحة. من هذه العلامات تقوم بعمل مثلث قائم الزاوية وتجد المماس.

كيفية إيجاد قيمة مشتقة الدالة f x عند النقطة x0؟

لم يتم طرح أي سؤال محدد - منذ 3 سنوات

بشكل عام ، من أجل إيجاد قيمة مشتقة أي دالة فيما يتعلق ببعض المتغيرات في أي نقطة ، تحتاج إلى التفريق بين الدالة المعطاة فيما يتعلق بهذا المتغير. في حالتك ، باستخدام المتغير X. في التعبير الناتج ، بدلاً من X ، ضع قيمة x عند النقطة التي تحتاج إلى إيجاد قيمة المشتق لها ، أي في حالتك ، استبدل صفر X واحسب التعبير الناتج.

حسنًا ، رغبتك في فهم هذه المسألة ، في رأيي ، تستحق بلا شك + ، التي أضعها بضمير مرتاح.

غالبًا ما يتم طرح هذه الصيغة لمشكلة إيجاد المشتق لإصلاح المادة على المعنى الهندسي للمشتق. يتم تقديم رسم بياني لوظيفة معينة ، بشكل تعسفي تمامًا ولا يتم تقديمه بواسطة معادلة ، وهو مطلوب للعثور على قيمة المشتق (وليس المشتق نفسه ، لاحظ!) عند النقطة المحددة X0. لهذا ، يتم إنشاء خط مماس لوظيفة معينة ويتم العثور على نقطة تقاطعها مع محاور الإحداثيات. ثم يتم رسم معادلة خط الظل هذا بالصيغة y = kx + b.

في هذه المعادلة ، سيكون المعامل k وقيمة المشتق. يبقى فقط للعثور على قيمة المعامل ب. للقيام بذلك ، نجد قيمة y عند x = o ، لنفترض أنها تساوي 3 - هذه هي قيمة المعامل b. نعوض بقيمتي X0 و Y0 في المعادلة الأصلية ونوجد k - قيمة المشتق عند هذه النقطة.

تعطي المسألة B9 رسمًا بيانيًا لوظيفة أو مشتقًا ، والذي تريد تحديد إحدى الكميات التالية منه:

1. قيمة المشتق عند نقطة ما × 0 ،
2. النقاط العالية أو المنخفضة (النقاط القصوى) ،
3. فترات الزيادة والنقصان للوظيفة (فترات الرتابة).

دائمًا ما تكون الدوال والمشتقات المقدمة في هذه المسألة مستمرة ، مما يبسط الحل بشكل كبير. على الرغم من حقيقة أن المهمة تنتمي إلى قسم التحليل الرياضي ، إلا أنها تقع في نطاق سلطة حتى أضعف الطلاب ، حيث لا يلزم معرفة نظرية عميقة هنا.

توجد خوارزميات بسيطة وعالمية لإيجاد قيمة المشتقات ، والنقاط القصوى والفترات الرتيبة - ستتم مناقشتها جميعًا أدناه.

اقرأ بيان المشكلة B9 بعناية لتجنب الأخطاء الغبية: أحيانًا تصادف نصوصًا طويلة إلى حد ما ، لكن لا توجد العديد من الشروط المهمة التي تؤثر على مسار الحل.

حساب قيمة المشتق. طريقة نقطتين

إذا تم إعطاء الرسم البياني للدالة f (x) في المسألة ، مماس هذا الرسم البياني عند نقطة ما x 0 ، وكان مطلوبًا إيجاد قيمة المشتق في هذه المرحلة ، يتم تطبيق الخوارزمية التالية:

1. ابحث عن نقطتين "مناسبتين" على الرسم البياني للماس: يجب أن تكون إحداثياتهما أعدادًا صحيحة. دعونا نشير إلى هذه النقاط بواسطة A (x 1 ؛ y 1) و B (x 2 ؛ y 2). اكتب الإحداثيات بشكل صحيح - هذه نقطة أساسية في الحل ، وأي خطأ هنا يؤدي إلى إجابة خاطئة.
2. بمعرفة الإحداثيات ، من السهل حساب زيادة الوسيطة Δx = x 2 - x 1 وزيادة الدالة Δy = y 2 - y 1.
3. أخيرًا ، نجد قيمة المشتق D = Δy / Δx. بمعنى آخر ، تحتاج إلى قسمة زيادة الدالة على زيادة الوسيطة - وستكون هذه هي الإجابة.

لاحظ مرة أخرى: يجب البحث عن النقطتين A و B بالضبط على خط الظل ، وليس على الرسم البياني للوظيفة f (x) ، كما هو الحال غالبًا. سيحتوي خط الظل بالضرورة على نقطتين من هذه النقطتين على الأقل - وإلا لم تتم كتابة المشكلة بشكل صحيح.

ضع في اعتبارك النقاط أ (3 ؛ 2) وب (1 ؛ 6) وابحث عن الزيادات:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2 ؛ Δy = ص 2 - ص 1 = 6-2 = 4.

أوجد قيمة المشتق: D = y / Δx = 4/2 = 2.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y = f (x) والماس لها عند النقطة التي تحتوي على الإحداثي x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0.

ضع في اعتبارك النقاط أ (0 ؛ 3) وب (3 ؛ 0) ، أوجد الزيادات:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3 ؛ Δy = y 2 - y 1 = 0-3 = 3.

الآن نجد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y = f (x) والماس لها عند النقطة التي تحتوي على الإحداثي x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0.

ضع في اعتبارك النقاط أ (0 ؛ 2) وب (5 ؛ 2) وابحث عن الزيادات:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5 ؛ Δy = ص 2 - ص 1 = 2-2 = 0.

يبقى إيجاد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

من المثال الأخير ، يمكننا صياغة قاعدة: إذا كان المماس موازٍ لمحور OX ، فإن مشتق الدالة عند نقطة الظل يكون صفرًا. في هذه الحالة ، لا تحتاج حتى إلى حساب أي شيء - فقط انظر إلى الرسم البياني.

احتساب الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط

في بعض الأحيان ، بدلاً من رسم بياني لوظيفة ما ، في المسألة B9 ، يتم إعطاء رسم بياني للمشتقة ويلزم إيجاد الحد الأقصى أو الحد الأدنى للدالة. في هذه الحالة ، تكون طريقة النقطتين عديمة الفائدة ، ولكن هناك خوارزمية أخرى أبسط. أولاً ، دعنا نحدد المصطلحات:

1. تسمى النقطة x 0 بالنقطة القصوى للدالة f (x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في جوار هذه النقطة: f (x 0) ≥ f (x).
2. تسمى النقطة x 0 بالحد الأدنى للدالة f (x) إذا كانت المتباينة التالية صحيحة في بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة: f (x 0) ≤ f (x).

من أجل إيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط على الرسم البياني للمشتق ، يكفي القيام بالخطوات التالية:

1. أعد رسم الرسم البياني للمشتق ، وإزالة جميع المعلومات غير الضرورية. كما تظهر الممارسة ، تتداخل البيانات غير الضرورية مع الحل فقط. لذلك ، نحدد أصفار المشتق على محور الإحداثيات - هذا كل ما في الأمر.
2. اكتشف علامات المشتق في الفترات بين الأصفار. إذا كان من المعروف في نقطة ما x 0 أن f '(x 0) ≠ 0 ، فعندئذٍ يكون هناك خياران فقط: f' (x 0) ≥ 0 أو f '(x 0) ≤ 0. علامة المشتق يمكن يمكن تحديدها بسهولة من الرسم الأولي: إذا كان الرسم البياني للمشتق يقع فوق محور OX ، فعندئذٍ f '(x) ≥ 0. والعكس بالعكس ، إذا كان الرسم البياني للمشتق يقع أسفل محور OX ، فإن f' (x ) ≤ 0.
3. افحص الأصفار وعلامات المشتق مرة أخرى. عندما تتغير العلامة من سالب إلى زائد ، يكون هناك حد أدنى للنقطة. على العكس من ذلك ، إذا تغيرت علامة المشتق من موجب إلى سالب ، فهذه هي النقطة القصوى. يتم العد دائمًا من اليسار إلى اليمين.

يعمل هذا المخطط فقط للوظائف المستمرة - لا توجد مشاكل أخرى في المشكلة B9.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [−5 ؛ 5]. أوجد النقطة الدنيا للدالة f (x) في هذا المقطع.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية - سنترك فقط الحدود [−5 ؛ 5] وأصفار مشتق x = −3 و x = 2.5. لاحظ أيضًا العلامات:

من الواضح أنه عند النقطة x = −3 تتغير علامة المشتق من سالب إلى موجب. هذه هي النقطة الدنيا.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني لمشتق الوظيفة f (x) المحدد في المقطع [−3 ؛ 7]. أوجد النقطة العظمى للدالة f (x) في هذا المقطع.

دعونا نعيد رسم الرسم البياني ، مع ترك الحدود فقط [−3 ؛ 7] وأصفار المشتق x = 1.7 و x = 5. لاحظ إشارات المشتق على الرسم البياني الناتج. لدينا:

من الواضح أنه عند النقطة x = 5 تتغير علامة المشتق من موجب إلى سالب - هذه هي النقطة العظمى.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [6 ؛ 4]. أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f (x) التي تنتمي إلى المقطع [−4 ؛ 3].

ويترتب على بيان المشكلة أنه يكفي اعتبار جزء الرسم البياني الذي يحده المقطع [−4 ؛ 3]. لذلك ، نبني مخططًا جديدًا ، نضع عليه علامات فقط الحدود [−4 ؛ 3] وأصفار المشتق بداخله. أي النقاط x = −3.5 و x = 2. نحصل على:

يحتوي هذا الرسم البياني على نقطة عظمى واحدة فقط x = 2. وفي هذه المرحلة تتغير إشارة المشتق من موجب إلى سالب.

ملاحظة سريعة حول النقاط ذات الإحداثيات غير الصحيحة. على سبيل المثال ، في المسألة الأخيرة ، تم اعتبار النقطة x = −3.5 ، ولكن يمكنك أيضًا أخذ x = −3.4. إذا تمت صياغة المشكلة بشكل صحيح ، يجب ألا تؤثر هذه التغييرات على الإجابة ، لأن النقاط "بدون مسكن محدد" لا تشارك بشكل مباشر في حل المشكلة. بالطبع ، لن تعمل هذه الحيلة مع عدد صحيح من النقاط.

إيجاد فترات الزيادة والنقصان

في مثل هذه المشكلة ، مثل الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط ، يُقترح العثور على المناطق التي تزيد فيها الوظيفة نفسها أو تنقص من الرسم البياني المشتق. أولاً ، دعنا نحدد ما يتزايد وينقص:

1. تسمى الدالة f (x) زيادة على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). بمعنى آخر ، كلما زادت قيمة الوسيطة ، زادت قيمة الدالة.
2. تسمى الدالة f (x) بالتناقص على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). أولئك. كلما كانت قيمة الوسيطة أكبر ، كلما كانت قيمة الوظيفة أصغر.

دعونا نصوغ الشروط الكافية للزيادة والنقصان:

1. من أجل زيادة دالة مستمرة f (x) على مقطع ما ، يكفي أن يكون مشتقها داخل المقطع موجبًا ، أي و '(س) ≥ 0.
2. لكي تنخفض الدالة المستمرة f (x) في مقطع ما ، يكفي أن يكون مشتقها داخل المقطع سالبًا ، أي و '(س) ≤ 0.

دعونا نقبل هذه العبارات دون دليل. وبالتالي ، نحصل على مخطط لإيجاد فترات الزيادة والنقصان ، والذي يشبه من نواح كثيرة خوارزمية حساب النقاط القصوى:

1. قم بإزالة كافة المعلومات غير الضرورية. في المؤامرة الأصلية للمشتق ، نحن مهتمون بشكل أساسي بأصفار الدالة ، لذلك سنتركها فقط.
2. لاحظ علامات المشتق في الفترات بين الأصفار. حيث f '(x) ≥ 0 ، تزداد الدالة ، وحيث تنخفض f' (x) ≤ 0. إذا كانت المشكلة لها قيود على المتغير x ، فإننا نضعها أيضًا على الرسم البياني الجديد.
3. الآن بعد أن عرفنا سلوك الوظيفة والقيد ، يبقى حساب القيمة المطلوبة في المشكلة.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني لمشتق الوظيفة f (x) المحدد في المقطع [−3 ؛ 7.5]. أوجد فترات إنقاص الدالة f (x). في إجابتك ، حدد مجموع الأعداد الصحيحة المدرجة في هذه الفواصل الزمنية.

كالعادة ، أعد رسم الرسم البياني وحدد الحدود [−3 ؛ 7.5] ، وكذلك أصفار مشتق x = 1.5 و x = 5.3. ثم نحتفل بعلامات المشتق. لدينا:

بما أن المشتق سالب في الفترة (- 1.5) ، فهذه هي فترة دالة التناقص. يبقى أن نلخص جميع الأعداد الصحيحة التي تقع ضمن هذه الفترة الزمنية:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني لمشتق الوظيفة f (x) المحدد في المقطع [−10 ؛ 4]. أوجد فترات زيادة الدالة f (x). في الإجابة ، حدد الطول الأطول منهم.

دعنا نتخلص من المعلومات غير الضرورية. اترك فقط الحدود [−10؛ 4] وأصفار المشتق ، والتي تحولت هذه المرة إلى أربعة: x = −8 ، x = −6 ، x = −3 ، x = 2. لاحظ علامات المشتق واحصل على الصورة التالية:

نحن مهتمون بفترات زيادة الوظيفة ، أي مثل ، حيث f '(x) ≥ 0. هناك فترتان من هذا القبيل على الرسم البياني: (−8 ؛ −6) و (3 ؛ 2). دعونا نحسب أطوالهم:
ل 1 = - 6 - (8) = 2 ؛
ل 2 = 2 - (−3) = 5.

نظرًا لأنه مطلوب إيجاد طول أكبر الفترات ، في الإجابة نكتب القيمة l 2 = 5.