درس الرياضيات "تنسيق الخط". خط التنسيق - هايبر ماركت المعرفة كيفية حل خط الإحداثيات

في هذا الدرس ، سوف نتعرف على مفهوم خط الإحداثيات ، وسوف نعرض خصائصه وخصائصه الرئيسية. سنقوم بصياغة وتعلم كيفية حل المشاكل الرئيسية. دعنا نحل بعض الأمثلة حول مجموعة هذه المهام.

من الدورة في الهندسة ، نعرف ما هو الخط المستقيم ، ولكن ما الذي يجب فعله بخط مستقيم عادي لجعله إحداثيًا؟

1) اختر نقطة البداية ؛

2) اختر الاتجاه.

3) اختر مقياسًا ؛

يوضح الشكل 1 خطًا مستقيمًا عاديًا ، والشكل 2 - خط إحداثيات.

خط الإحداثيات هو خط مستقيم l يتم فيه تحديد نقطة البداية O - الأصل ، والمقياس عبارة عن جزء من الوحدة ، أي هذا المقطع ، الذي يعتبر طوله مساوياً لواحد ، واتجاه موجب.

يسمى خط الإحداثيات أيضًا محور الإحداثيات أو المحور السيني.

دعونا نكتشف سبب الحاجة إلى خط الإحداثيات ، ولهذا نحدد خاصيته الرئيسية. يُنشئ خط الإحداثيات تطابقًا واحدًا لواحد بين مجموعة جميع الأرقام ومجموعة جميع النقاط على هذا الخط. وهنا بعض الأمثلة:

يوجد رقمان: (العلامة "+" ، المقياس هو ثلاثة) و (العلامة "-" ، المقياس ثلاثة). دعنا نمثل هذه الأرقام على خط الإحداثيات:

هنا يسمى الرقم الإحداثي A ، ويسمى الرقم الإحداثي B.

يقولون أيضًا أن صورة الرقم هي النقطة C ذات الإحداثيات ، وصورة الرقم هي النقطة D ذات الإحداثيات:

لذلك ، نظرًا لأن الخاصية الرئيسية لخط الإحداثيات هي إنشاء تطابق واحد لواحد بين النقاط والأرقام ، تنشأ مهمتان رئيسيتان: الإشارة إلى نقطة عند رقم معين ، لقد قمنا بالفعل بذلك أعلاه ، وبيان رقم في نقطة معينة. لنفكر في مثال على المهمة الثانية:

دع النقطة M تعطى:

لتحديد الرقم في نقطة معينة ، عليك أولاً تحديد المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة. في هذه الحالة ، المسافة هي اثنان. أنت الآن بحاجة إلى تحديد علامة الرقم ، أي حيث يقع شعاع النقطة المستقيمة M. في هذه الحالة ، تقع النقطة على يمين نقطة الأصل ، في الشعاع الموجب ، لذلك سيكون للرقم علامة علامة "+".

خذ نقطة أخرى واستخدمها لتحديد الرقم:

المسافة من الأصل إلى النقطة ، على غرار المثال السابق ، تساوي اثنين ، ولكن في هذه الحالة ، تقع النقطة على يسار الأصل ، على الشعاع السالب ، مما يعني أن النقطة N تميز الرقم

ترتبط جميع المشكلات النموذجية المرتبطة بخط الإحداثيات بطريقة أو بأخرى بخصائصه الرئيسية ومشكلتين رئيسيتين قمنا بصياغتهما وحلهما.

تشمل المهام النموذجية ما يلي:

-تكون قادرة على وضع النقاط وإحداثياتها;

-فهم مقارنة الأرقام:

يعني التعبير أن النقطة C ذات الإحداثيات 4 تقع على يمين النقطة M ذات التنسيق 2:

والعكس صحيح ، إذا حصلنا على موقع النقاط على خط الإحداثيات ، يجب أن نفهم أن إحداثياتها مرتبطة بنسبة معينة:

دع النقاط M (x M) و N (x N) تعطى:

نرى أن النقطة M تقع على يمين النقطة n ، مما يعني أن إحداثياتها مرتبطة على أنها

-تحديد المسافة بين النقاط.

نعلم أن المسافة بين النقطتين X و A تساوي القيمة المطلقة للعدد. دعنا نعطي نقطتين:

ثم المسافة بينهما تساوي:

مهمة أخرى مهمة جدا الوصف الهندسي لمجموعات الأرقام.

ضع في اعتبارك شعاعًا يقع على محور الإحداثيات ، ولا يشمل أصله ، ولكنه يشمل جميع النقاط الأخرى:

إذن ، لدينا مجموعة من النقاط تقع على محور الإحداثيات. دعنا نصف مجموعة الأرقام التي تتميز بمجموعة معينة من النقاط. يوجد عدد لا يحصى من الأرقام والنقاط ، لذا يبدو هذا الإدخال كالتالي:

دعونا نقدم شرحًا: في البديل الثاني للترميز ، إذا وضعت قوسًا "(" فإن الرقم المتطرف - في هذه الحالة ، الرقم 3 ، غير مدرج في المجموعة ، ولكن إذا وضعت قوسًا مربعًا "[ "، ثم يتم تضمين الرقم الأقصى في المجموعة.

لذلك ، قمنا بتدوين مجموعة عددية تحليلية تميز مجموعة معينة من النقاط. يتم تنفيذ التدوين التحليلي ، كما قلنا ، إما في شكل عدم المساواة ، أو في شكل فجوة.

يتم إعطاء العديد من النقاط:

في هذه الحالة ، يتم تضمين النقطة أ = 3 في المجموعة. دعونا نصف تحليليًا مجموعة الأرقام:

لاحظ أنه بعد علامة اللانهاية أو قبلها ، يضعون دائمًا أقواسًا ، لأننا لن نصل أبدًا إلى اللانهاية ، ويمكن أن يكون هناك إما قوس أو مربع حول الرقم ، اعتمادًا على ظروف المشكلة المطروحة.

لنفكر في مثال لمشكلة عكسية.

يتم إعطاء خط إحداثي. ارسم عليها مجموعة من النقاط المقابلة لمجموعة الأرقام و:

يُنشئ خط الإحداثيات تطابقًا واحدًا لواحد بين أي نقطة ورقم ، وبالتالي بين المجموعات العددية ومجموعات النقاط. اعتبرنا الأشعة موجهة في كلا الاتجاهين الموجب والسالب ، بما في ذلك رأسها وعدم تضمينها. الآن دعونا نلقي نظرة على مقاطع الخط.

المثال 10:

يتم إعطاء الكثير من الأرقام. رسم مجموعة النقاط المقابلة

المثال 11:

يتم إعطاء الكثير من الأرقام. إظهار نقاط متعددة:

في بعض الأحيان ، لإظهار عدم تضمين نهايات المقطع في المجموعة ، يتم رسم الأسهم:

المثال 12:

يتم إعطاء مجموعة أرقام. بناء نموذجها الهندسي:

ابحث عن أصغر رقم في النطاق:

ابحث عن أكبر رقم في النطاق ، إذا كان موجودًا:

يمكننا طرح عدد صغير عشوائيًا من ثمانية ونقول إن النتيجة ستكون أكبر رقم ، لكننا سنجد على الفور رقمًا أصغر حتى ، وستزيد نتيجة الطرح ، لذلك من المستحيل العثور على أكبر رقم في فترة معينة.

دعنا ننتبه إلى حقيقة أنه من المستحيل العثور على أقرب رقم لأي رقم على خط الإحداثيات ، لأنه سيكون هناك رقم دائمًا أقرب.

كم عدد الأعداد الطبيعية الموجودة في فترة معينة؟

دعنا نختار الأعداد الطبيعية التالية من الفترة الزمنية: 4 ، 5 ، 6 ، 7 - أربعة أعداد طبيعية.

تذكر أن الأعداد الطبيعية هي الأعداد المستخدمة في العد.

لنأخذ مجموعة أخرى.

المثال 13:

مجموعة من الأرقام

بناء نموذجها الهندسي:

إذن مقطع الوحدة وأسهمه العاشر والمائة وما إلى ذلك تسمح لنا بالوصول إلى نقاط خط الإحداثيات ، والتي تتوافق مع الكسور العشرية الأخيرة (كما في المثال السابق). ومع ذلك ، هناك نقاط على خط الإحداثيات لا يمكننا الوصول إليها ، ولكن يمكننا الاقتراب منها بقدر ما نحب ، باستخدام كل شيء أصغر وأصغر إلى جزء صغير جدًا من جزء الوحدة. تتوافق هذه النقاط مع كسور عشرية دورية وغير دورية لانهائية. وهنا بعض الأمثلة. إحدى هذه النقاط على خط الإحداثيات تقابل الرقم 3.711711711 ... = 3 ، (711). للوصول إلى هذه النقطة ، تحتاج إلى تأجيل 3 أجزاء من الوحدات ، و 7 أعشار منها ، و 1 من مائة ، و 1 ألف ، و 7 من عشرة آلاف ، و مائة ألف ، و 1 مليون من جزء الوحدة ، وهكذا. وهناك نقطة أخرى من خط الإحداثيات تقابل pi (π = 3.141592 ...).

نظرًا لأن عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية هي جميع الأرقام التي يمكن كتابتها في شكل كسور عشرية محدودة ولانهائية ، فإن جميع المعلومات المقدمة في هذه الفقرة تسمح لنا بتأكيد أننا خصصنا عددًا حقيقيًا محددًا لكل نقطة من تنسيق الخط ، بينما من الواضح أن النقاط المختلفة تتوافق مع أرقام حقيقية مختلفة.

من الواضح أيضًا إلى حد ما أن هذه المراسلات هي واحد لواحد. أي أنه يمكننا وضع رقم حقيقي في المراسلات مع نقطة محددة على خط الإحداثيات ، ولكن يمكننا أيضًا ، بالنسبة لرقم حقيقي معين ، الإشارة إلى نقطة معينة على خط الإحداثيات التي يتوافق معها هذا الرقم الحقيقي. للقيام بذلك ، سيتعين علينا تأجيل عدد معين من مقاطع الوحدة من الأصل في الاتجاه المطلوب ، بالإضافة إلى كسور جزء وحدة من الأعشار والمئات وما إلى ذلك. على سبيل المثال ، الرقم 703.405 يتوافق مع نقطة على خط الإحداثيات ، والتي يمكن الوصول إليها من الأصل عن طريق التأجيل في الاتجاه الموجب 703 مقاطع وحدة ، و 4 أجزاء تشكل عُشر وحدة ، و 5 أجزاء تشكل جزء من الألف من الوحدة.

لذا ، فإن كل نقطة على خط الإحداثيات تتوافق مع رقم حقيقي ، ولكل رقم حقيقي مكانه في شكل نقطة على خط الإحداثيات. هذا هو السبب في كثير من الأحيان يسمى خط الإحداثيات رقم الخط.

إحداثيات النقاط على خط الإحداثيات

يتم استدعاء الرقم المقابل لنقطة على خط الإحداثيات تنسيق هذه النقطة.

في الفقرة السابقة ، قلنا أن كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة على خط الإحداثيات ، وبالتالي ، فإن تنسيق نقطة ما يحدد بشكل فريد موضع هذه النقطة على خط الإحداثيات. بمعنى آخر ، فإن إحداثيات نقطة ما تحدد بشكل فريد هذه النقطة على خط الإحداثيات. من ناحية أخرى ، تتوافق كل نقطة على خط الإحداثيات مع رقم حقيقي واحد - تنسيق هذه النقطة.

يبقى فقط أن نقول عن التعيينات المعتمدة. تنسيق النقطة مكتوب بين قوسين على يمين الحرف الذي يشير إلى النقطة. على سبيل المثال ، إذا كانت النقطة M لها إحداثيات -6 ، فيمكنك كتابة M (-6) ، ويعني تسجيل النموذج أن النقطة M على خط الإحداثيات لها إحداثيات.

فهرس.

• فيلينكين نيا ، جوخوف ف.إ. ، تشيسنوكوف أ.س. ، شفارتسبورد س. الرياضيات: كتاب مدرسي للصف الخامس المؤسسات التعليمية.
• فيلينكين ن. والرياضيات الأخرى. الصف السادس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية.
• ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن المؤسسات التعليمية.

من المستحيل أن تدعي أنك تعرف الرياضيات إذا كنت لا تعرف كيفية رسم الرسوم البيانية ، وتصور عدم المساواة على خط إحداثيات ، والعمل مع محاور الإحداثيات. يعد المكون المرئي في العلم أمرًا حيويًا ، لأنه بدون الأمثلة المرئية في الصيغ والحسابات ، قد تشعر أحيانًا بالارتباك الشديد. سنرى في هذه المقالة كيفية العمل مع محاور الإحداثيات ومعرفة كيفية بناء أبسط الرسوم البيانية للوظائف.

طلب

خط الإحداثيات هو أساس أبسط أنواع الرسوم البيانية التي يصادفها الطالب في مساره التعليمي. يتم استخدامه في كل موضوع رياضي تقريبًا: عند حساب السرعة والوقت ، وإسقاط حجم الكائنات وحساب مساحتها ، في علم المثلثات عند العمل باستخدام الجيب وجيب التمام.

القيمة الرئيسية لمثل هذا الخط المستقيم هي الوضوح. نظرًا لأن الرياضيات هي علم يتطلب مستوى عالٍ من التفكير المجرد ، فإن الرسوم البيانية تساعد في تمثيل كائن ما في العالم الحقيقي. كيف يتصرف؟ في أي نقطة في الفضاء ستكون في بضع ثوان ، دقائق ، ساعات؟ ماذا يمكنك أن تقول عنها بالمقارنة مع الأشياء الأخرى؟ ما السرعة التي يمتلكها في لحظة تم اختيارها عشوائيًا في الوقت المناسب؟ كيف يميز حركته؟

ونحن نتحدث عن السرعة لسبب ما - إنه غالبًا ما يتم عرضه بواسطة الرسوم البيانية للوظائف. يمكنهم أيضًا عرض التغيرات في درجة الحرارة أو الضغط داخل جسم ما ، وحجمه ، واتجاهه بالنسبة إلى الأفق. وبالتالي ، غالبًا ما يكون مطلوبًا إنشاء خط إحداثيات في الفيزياء أيضًا.

رسم بياني أحادي البعد

هناك مفهوم متعدد الأبعاد. يكفي رقم واحد فقط لتحديد موقع النقطة. هذا هو الحال بالضبط مع استخدام خط الإحداثيات. إذا كانت المساحة ثنائية الأبعاد ، فسيلزم وجود رقمين. يتم استخدام المخططات من هذا النوع في كثير من الأحيان ، وبعد ذلك بقليل في المقالة سننظر فيها بالتأكيد.

ما الذي يمكنك رؤيته بالنقاط على المحور إذا كان هناك نقطة واحدة فقط؟ يمكنك رؤية حجم الكائن ، وموضعه في الفضاء بالنسبة لبعض "الصفر" ، أي النقطة المحددة كأصل.

لا يمكن رؤية التغييرات في المعلمات بمرور الوقت ، حيث سيتم عرض جميع القراءات للحظة واحدة محددة. ومع ذلك ، عليك أن تبدأ من مكان ما! اذا هيا بنا نبدأ.

كيفية رسم محور إحداثيات

أولاً ، تحتاج إلى رسم خط أفقي - سيكون هذا هو محورنا. على الجانب الأيمن ، "شحذ" بحيث يبدو كسهم. سيشير هذا إلى الاتجاه الذي ستزيد فيه الأرقام. عادة لا يتم وضع السهم في اتجاه التناقص. تقليديا ، يتم توجيه المحور إلى اليمين ، لذلك سنتبع هذه القاعدة فقط.

لنضع علامة الصفر ، والتي ستظهر أصل الإحداثيات. هذا هو المكان الذي يتم من خلاله العد التنازلي ، سواء كان الحجم أو الوزن أو السرعة أو أيًا كان. بالإضافة إلى الصفر ، يجب علينا بالضرورة تحديد ما يسمى بسعر القسمة ، أي إدخال معيار الوحدة ، والذي بموجبه سنرسم قيمًا معينة على المحور. يجب القيام بذلك حتى تتمكن من إيجاد طول مقطع على خط إحداثي.

من خلال مسافة متساوية عن بعضنا البعض ، ضع النقاط أو "الشقوق" على السطر ، وتحتها نكتب على التوالي 1،2،3 وهكذا. والآن ، كل شيء جاهز. لكن ما زلت بحاجة إلى تعلم كيفية التعامل مع الجدول الناتج.

أنواع النقاط على خط الإحداثيات

يتضح من النظرة الأولى للرسومات المقترحة في الكتب المدرسية: يمكن رسم النقاط على المحور أو عدم رسمها. هل تعتقد أن هذا حادث؟ مطلقا! تُستخدم النقطة "الصلبة" في عدم المساواة غير الصارمة - النقطة التي تُقرأ على أنها "أكبر من أو تساوي". إذا كان من الضروري تحديد الفاصل الزمني بشكل صارم (على سبيل المثال ، يمكن أن تأخذ "x" قيمًا من صفر إلى واحد ، ولكنها لا تتضمنها) ، فسنستخدم نقطة "مجوفة" ، أي في الواقع ، نقطة صغيرة دائرة على المحور. تجدر الإشارة إلى أن الطلاب ليسوا مغرمين جدًا بعدم المساواة الصارمة ، لأن العمل معهم أكثر صعوبة.

سيتم تسمية الفواصل الزمنية المرسومة بناءً على النقاط التي تستخدمها على الرسم البياني. إذا كانت المتباينة في كلا الطرفين غير صارمة ، فسنحصل على جزء. إذا اتضح من ناحية أنه "مفتوح" ، فسيتم تسميته بنصف فترة. أخيرًا ، إذا كان جزء من الخط المستقيم محددًا على كلا الجانبين بنقاط مجوفة ، فسيتم تسميته بالفاصل الزمني.

طائرة

عند إنشاء خطين مستقيمين ، يمكننا بالفعل النظر في الرسوم البيانية للوظائف. لنفترض أن الخط الأفقي سيكون محور الوقت والخط العمودي سيكون المسافة. والآن نحن قادرون بالفعل على تحديد المسافة التي سيقطعها الجسم في دقيقة أو ساعة. وبالتالي ، فإن العمل باستخدام مستوى يجعل من الممكن مراقبة التغيير في حالة الكائن. هذا أكثر إثارة للاهتمام من بحث الدولة الثابت.

أبسط رسم بياني على مثل هذا المستوى هو خط مستقيم ؛ فهو يعكس الوظيفة Y (X) = aX + b. هل الخط ينحني؟ هذا يعني أن الكائن يغير خصائصه أثناء عملية البحث.

تخيل أنك تقف على سطح مبنى وتحمل حجرًا بيدك الممدودة. عندما تحرره ، سوف يطير لأسفل ، بدءًا من السرعة الصفرية. لكن في ثانية سيقطع 36 كيلومترًا في الساعة. سيستمر الحجر في التسارع أكثر ، ومن أجل رسم حركته على الرسم البياني ، ستحتاج إلى قياس سرعته في عدة نقاط زمنية ، مع وضع النقاط على المحور في الأماكن المناسبة.

تسمى العلامات الموجودة على خط الإحداثيات الأفقية X1 و X2 و X3 افتراضيًا وعلى خط الإحداثيات العمودي - Y1 و Y2 و Y3 على التوالي. من خلال إسقاطها على مستوى وإيجاد التقاطعات ، نجد أجزاء من الصورة الناتجة. من خلال ربطهم بخط واحد ، نحصل على رسم بياني للوظيفة. في حالة سقوط الحجر ، ستكون الوظيفة التربيعية: Y (X) = aX * X + bX + c.

حجم

بالطبع ، ليس من الضروري وضع قيم صحيحة بجانب الأقسام بخط مستقيم. إذا كنت تفكر في حركة حلزون يزحف بسرعة 0.03 متر في الدقيقة ، فاضبطها على أنها القيم في الكسر الإحداثي. في هذه الحالة ، اضبط التخرج على 0.01 متر.

من الملائم بشكل خاص تنفيذ مثل هذه الرسومات في دفتر ملاحظات في قفص - هنا يمكنك على الفور معرفة ما إذا كانت هناك مساحة كافية على الورقة لجدولك الزمني ، وما إذا كنت ستخرج من الهوامش. من السهل حساب قوتك ، لأن عرض الخلية في هذا الكمبيوتر المحمول يبلغ 0.5 سم. استغرق الأمر - قللنا الرسم. لن يؤدي تغيير مقياس الرسم البياني إلى فقدان أو تغيير خصائصه.

إحداثيات النقطة والخط

عندما يتم إعطاء مشكلة رياضية في الدرس ، يمكن أن تحتوي على معلمات من أشكال هندسية مختلفة ، سواء في شكل أطوال الأضلاع ، والمحيط ، والمساحة ، وفي شكل إحداثيات. في هذه الحالة ، قد تحتاج إلى إنشاء شكل والحصول على بعض البيانات المرتبطة به. السؤال الذي يطرح نفسه: كيف تجد المعلومات المطلوبة على خط الإحداثيات؟ وكيف نبني الشكل؟

على سبيل المثال ، نحن نتحدث عن نقطة. ثم سيظهر حرف كبير في بيان المشكلة ، وسيكون هناك العديد من الأرقام بين قوسين ، وغالبًا ما يكون هناك رقمان (وهذا يعني أننا سنعد في الفضاء ثنائي الأبعاد). إذا كان هناك ثلاثة أرقام بين قوسين ، مكتوبة بفاصلة منقوطة أو فاصلة ، فهذا يعد مسافة ثلاثية الأبعاد. كل قيمة هي إحداثيات على المحور المقابل: أولاً على طول الأفقي (X) ، ثم على طول المحور الرأسي (Y).

تذكر كيفية رسم خط؟ لقد مررت بهذا في الهندسة. إذا كانت هناك نقطتان ، فيمكن رسم خط مستقيم بينهما. يشار إلى إحداثياتهم بين قوسين إذا ظهر مقطع في المشكلة. على سبيل المثال: أ (15 ، 13) - ب (1 ، 4). لبناء مثل هذا الخط المستقيم ، تحتاج إلى البحث عن النقاط ووضع علامة عليها على مستوى الإحداثيات ، ثم توصيلها. هذا كل شئ!

وأي مضلعات ، كما تعلم ، يمكن رسمها باستخدام مقاطع الخط. تم حل المشكلة.

العمليات الحسابية

لنفترض أن هناك كائنًا يتميز موضعه على طول المحور X برقمين: يبدأ عند نقطة بإحداثيات (-3) وينتهي عند (+2). إذا أردنا معرفة طول هذا الجسم ، فعلينا طرح الأصغر من العدد الأكبر. لاحظ أن العدد السالب يمتص علامة الطرح ، لأن سالب وسالب يساوي موجب. فنضيف (2 + 3) ونحصل على 5. هذه هي النتيجة المرغوبة.

مثال آخر: حصلنا على نقطة النهاية وطول الكائن ، لكن لم يتم إعطاء النقطة الأولى (ونحتاج إلى العثور عليها). اجعل موضع النقطة المعروفة (6) ، وحجم المادة المدروسة - (4). بطرح الطول من الإحداثي الأخير ، نحصل على الإجابة. المجموع: (6-4) = 2.

الأعداد السالبة

غالبًا ما يكون مطلوبًا من الناحية العملية العمل مع القيم السلبية. في هذه الحالة ، سوف نتحرك على طول محور الإحداثيات جهة اليسار. على سبيل المثال ، جسم ارتفاعه 3 سم يطفو في الماء. ينغمس في السائل بمقدار الثلث ، وفي الهواء بمقدار الثلثين. بعد ذلك ، باختيار سطح الماء كمحور ، نحصل ، باستخدام أبسط الحسابات الحسابية ، على رقمين: النقطة العليا للكائن لها إحداثيات (+2) ، والنقطة السفلية - (-1) سنتيمتر.

من السهل ملاحظة أنه في حالة المستوى ، لدينا أربعة أرباع خط الإحداثيات. كل واحد منهم لديه رقمه الخاص. في الجزء الأول (أعلى اليمين) ستكون هناك نقاط ذات إحداثيين موجبين ، في الجزء الثاني - من أعلى اليسار - ستكون القيم على طول المحور "س" سالبة ، وعلى طول "ص" - موجبة. يتم حساب الثالث والرابع بشكل أكبر عكس اتجاه عقارب الساعة.

خاصية مهمة

أنت تعلم أنه يمكن اعتبار الخط المستقيم عدد لا حصر له من النقاط. يمكننا أن ننظر بعناية كما نريد أي عدد من القيم في كل اتجاه للمحور ، لكننا لن نجد قيمًا متكررة. يبدو الأمر ساذجًا ومفهومًا ، لكن هذا البيان ينبع من حقيقة مهمة: كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة فقط على خط الإحداثيات.

استنتاج

تذكر أنه يجب رسم أي محاور وأشكال ومخططات ، إن أمكن ، باستخدام مسطرة. وحدات القياس لم يخترعها شخص بالصدفة - إذا ارتكبت خطأ في الرسم ، فإنك تخاطر برؤية الصورة الخاطئة التي كان ينبغي الحصول عليها.

كن حذرًا ودقيقًا في التخطيط والحساب. الرياضيات مثل أي علم يتم تدريسه في المدرسة تحب الدقة. ضع القليل من الجهد ، ولن تكون الدرجات الجيدة طويلة في المستقبل.

نظرة دروس فيديو مجانيةعلى قناة Hedgehog فهمت ذلك.

أرى دروس الفيديو على قناة Yozhiku. يشترك!

خط التنسيق يسمى الخط المستقيم مع تحديد الأصل (صفر) عليه ، وقطعة وحدة واتجاه. يمكن ربط كل رقم طبيعي بنقطة واحدة على خط الإحداثيات.

لمقارنة رقمين موجودين على خط الإحداثيات ، عليك الانتباه إلى كيفية تحديد موقعهما بالنسبة لبعضهما البعض.

إذا كان الرقم أ يقع على يسار الرقم ب ، ثم أ< b

إذا كان الرقم أ يقع على يمين الرقم ب ، إذن أ> ب

في OGE ، هناك عدة أنواع من المهام المتعلقة بموقع الأرقام على خط الإحداثيات. من أجل البدء في حل الأمثلة ، دعنا نتذكر المزيد من المفاهيم.

القيمة المطلقة للرقم

| أ | = (أ ، أ> 0 0 ، أ = 0 - أ ، أ< 0

الوحدة تزيل الإشارات من الأرقام.

إذا كان الرقم إيجابي

إذا كان الرقم يساوي الصفر، ثم عند أخذ القيمة المطلقة للصفر ، تكون النتيجة صفرًا.

إذا كان الرقم نفي ، ثم عند أخذ مقياس هذا الرقم ، تكون النتيجة رقمًا موجبًا.

أمثلة:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

بالتأكيد أنت تتساءل لماذا في صيغة توسيع الوحدة | أ | = - أ إذا أ< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

للإجابة على هذا السؤال ، دعنا نفكر في كيفية إزالة علامة الطرح من الرقم السالب؟ إذا تم ضرب رقم سالب في - 1 ، يصبح موجبًا.

أمثلة:

| − 1 | = − (− 1) = 1

ببساطة ، هذه خضروات مطبوخة في الماء وفقًا لوصفة خاصة. سأفكر في مكونين أوليين (سلطة خضروات وماء) والنتيجة النهائية - بورشت. هندسيًا ، يمكن اعتبار هذا على أنه مستطيل يمثل جانبه الخس ويمثل الجانب الآخر الماء. مجموع هذين الجانبين سيمثل بورشت. يعتبر القطر والمساحة لمثل هذا المستطيل "borscht" مفاهيم رياضية بحتة ولا يتم استخدامهما أبدًا في وصفات borscht.

كيف يتحول الخس والماء إلى برش من وجهة نظر رياضية؟ كيف يمكن أن يتحول مجموع مقطعي خطين إلى حساب مثلثات؟ لفهم هذا ، نحتاج إلى دوال الزاوية الخطية.

لن تجد أي شيء عن وظائف الزاوية الخطية في كتب الرياضيات المدرسية. لكن بدونهم لا يمكن أن يكون هناك رياضيات. تعمل قوانين الرياضيات ، مثل قوانين الطبيعة ، بغض النظر عما إذا كنا نعلم بوجودها أم لا.

دوال الزاوية الخطية هي قوانين جمع.شاهد كيف يتحول الجبر إلى هندسة وتتحول الهندسة إلى حساب مثلثات.

هل يمكن الاستغناء عن وظائف الزاوية الخطية؟ يمكنك ذلك ، لأن علماء الرياضيات ما زالوا يستغنون عنها. تكمن حيلة علماء الرياضيات في حقيقة أنهم يخبروننا دائمًا فقط عن تلك المشكلات التي يعرفون هم أنفسهم كيفية حلها ، ولا يتحدثون أبدًا عن تلك المشكلات التي لا يمكنهم حلها. نظرة. إذا عرفنا نتيجة الجمع وحدًا واحدًا ، فإننا نستخدم الطرح لإيجاد المصطلح الآخر. كل شئ. لا نعرف مهام أخرى ولا نستطيع حلها. ماذا نفعل إذا عرفنا نتيجة الجمع فقط ولا نعرف كلا المصطلحين؟ في هذه الحالة ، يجب تحليل نتيجة الإضافة إلى فترتين باستخدام وظائف الزاوية الخطية. ثم نختار نحن أنفسنا ما يمكن أن يكون عليه أحد المصطلحات ، وتوضح دوال الزاوية الخطية ما يجب أن يكون عليه الحد الثاني بحيث تكون نتيجة الإضافة هي بالضبط ما نحتاجه. يمكن أن يكون هناك عدد لا حصر له من هذه الأزواج من المصطلحات. في الحياة اليومية ، ندير بشكل مثالي دون تحلل المجموع ، والطرح كافٍ بالنسبة لنا. لكن في البحث العلمي لقوانين الطبيعة ، يمكن أن يكون تحلل المجموع إلى مصطلحات مفيدًا جدًا.

قانون آخر للجمع ، والذي لا يحب علماء الرياضيات الحديث عنه (خدعة أخرى لهم) ، يتطلب أن تحتوي المصطلحات على نفس وحدات القياس. بالنسبة للسلطة والماء والبرشت ، يمكن أن تكون هذه وحدات قياس للوزن أو الحجم أو القيمة أو وحدات القياس.

يوضح الشكل مستويين من الاختلاف في الرياضيات. المستوى الأول هو الفروق في مجال الأرقام المشار إليها أ, ب, ج... هذا ما يفعله علماء الرياضيات. المستوى الثاني هو الفروق في مساحة الوحدات ، والتي تظهر بين قوسين مربعين ويشار إليها بالحرف يو... هذا ما يفعله الفيزيائيون. يمكننا أن نفهم المستوى الثالث - الاختلافات في منطقة الكائنات الموصوفة. يمكن أن يكون للكائنات المختلفة نفس عدد وحدات القياس المتطابقة. ما مدى أهمية هذا ، يمكننا أن نرى في مثال حساب المثلثات بورشت. إذا أضفنا رموزًا إلى نفس التعيين لوحدات قياس كائنات مختلفة ، فيمكننا تحديد القيمة الرياضية التي تصف كائنًا معينًا بالضبط وكيف يتغير بمرور الوقت أو فيما يتعلق بأفعالنا. بواسطة الرسالة دبليوسأحدد الماء بالحرف سسأقوم بتعيين السلطة والرسالة ب- بورش. هذا ما ستبدو عليه الدوال الزاوية الخطية للبورش.

إذا أخذنا جزءًا من الماء وجزءًا من السلطة ، فسوف يتحولان معًا إلى جزء واحد من البرش. هنا أقترح عليك أن تأخذ استراحة من بورشت وتتذكر طفولتك البعيدة. هل تتذكر كيف تعلمنا أن نجمع الأرانب والبط معًا؟ كان من الضروري معرفة عدد الحيوانات الموجودة. ثم ماذا تعلمنا أن نفعل؟ لقد تعلمنا أن نفصل الوحدات عن الأعداد ونجمع الأعداد. نعم ، يمكن إضافة أي رقم إلى أي رقم آخر. هذا طريق مباشر إلى التوحد في الرياضيات الحديثة - نحن نفعل ذلك ليس واضحًا ما هو ، وليس من الواضح لماذا ، ونحن لا نفهم جيدًا كيف يرتبط هذا بالواقع ، بسبب المستويات الثلاثة للاختلاف ، تعمل الرياضيات واحدًا فقط . سيكون من الأصح معرفة كيفية التبديل من وحدة قياس إلى أخرى.

ويمكن عد الأرانب والبط والحيوانات قطعًا. تسمح لنا وحدة القياس المشتركة للكائنات المختلفة بجمعها معًا. هذه نسخة صبيانية من المشكلة. دعونا نلقي نظرة على مشكلة مماثلة للبالغين. ماذا يحدث عندما تضيف الأرانب والمال؟ هناك نوعان من الحلول الممكنة هنا.

الخيار الأول... نحدد القيمة السوقية للأرانب ونضيفها إلى المبلغ المتاح من المال. حصلنا على القيمة الإجمالية لثروتنا من الناحية النقدية.

الخيار الثاني... يمكنك إضافة عدد الأرانب إلى عدد الأوراق النقدية التي لدينا. سوف نتلقى عدد الممتلكات المنقولة على شكل قطع.

كما ترى ، ينتج عن نفس قانون الإضافة نتائج مختلفة. كل هذا يتوقف على ما نريد أن نعرفه بالضبط.

لكن العودة إلى بورشت لدينا. الآن يمكننا أن نرى ما سيحدث للقيم المختلفة لدوال الزاوية الخطية.

الزاوية صفر. لدينا سلطة ولكن لا ماء. لا يمكننا طهي البرش. كمية البرش هي أيضًا صفر. هذا لا يعني على الإطلاق أن صفر بورشت يساوي صفرًا من الماء. يمكن أن يكون البرش الصفري بصفر سلطة (الزاوية اليمنى).

بالنسبة لي شخصيًا ، هذا هو الدليل الرياضي الرئيسي لحقيقة ذلك. لا يغير الصفر الرقم عند إضافته. هذا لأن الإضافة نفسها مستحيلة إذا كان هناك حد واحد فقط ولا يوجد حد ثان. يمكنك أن تتصل بهذا كما تريد ، ولكن تذكر - اخترع علماء الرياضيات أنفسهم جميع العمليات الحسابية بصفر ، لذا تجاهل المنطق الخاص بك وقم بحشو التعريفات التي اخترعها علماء الرياضيات: "القسمة على الصفر مستحيلة" ، "أي عدد مضروب في صفر يساوي صفر "،" لنقطة الضربة القاضية صفر "وغير ذلك من الهراء. يكفي أن تتذكر مرة واحدة أن الصفر ليس رقمًا ، ولن يكون لديك سؤال مطلقًا عما إذا كان الصفر رقمًا طبيعيًا أم لا ، لأن مثل هذا السؤال يفقد كل المعنى عمومًا: كيف يمكننا اعتبار رقم ليس رقمًا. إنه مثل السؤال عن اللون الذي يجب أن يكون عليه اللون غير المرئي. إضافة صفر إلى رقم يشبه الرسم بطلاء غير موجود. لوحنا بفرشاة جافة وقلنا للجميع "لقد رسمنا". لكني استطرادا قليلا.

الزاوية أكبر من الصفر لكنها أقل من 45 درجة. لدينا الكثير من السلطة ، ولكن ليس لدينا ما يكفي من الماء. نتيجة لذلك ، نحصل على برش سميك.

قياس الزاوية خمس وأربعون درجة. لدينا كميات متساوية من الماء والسلطة. هذا هو البرش المثالي (نعم ، سوف يغفر لي الطهاة ، إنها مجرد رياضيات).

الزاوية أكبر من 45 درجة ، لكنها أقل من تسعين درجة. لدينا الكثير من الماء والقليل من السلطة. تحصل على البرش السائل.

زاوية مستقيمة. لدينا ماء. من السلطة ، تبقى الذكريات فقط ، حيث نستمر في قياس الزاوية من الخط الذي كان يمثل السلطة في يوم من الأيام. لا يمكننا طهي البرش. كمية البرش هي صفر. في هذه الحالة ، تمسك واشرب الماء أثناء تناوله)))

هنا. شيء من هذا القبيل. يمكنني سرد ​​قصص أخرى هنا ستكون أكثر من مناسبة هنا.

كان صديقان لهما نصيب في العمل المشترك. بعد قتل أحدهم ، ذهب كل شيء إلى الآخر.

ظهور الرياضيات على كوكبنا.

يتم سرد كل هذه القصص بلغة الرياضيات باستخدام وظائف الزاوية الخطية. في وقت آخر سأريكم المكان الحقيقي لهذه الوظائف في بنية الرياضيات. في غضون ذلك ، دعنا نعود إلى حساب المثلثات للبورشت وننظر في الإسقاطات.

السبت 26 أكتوبر 2019

لقد شاهدت فيديو مثير للاهتمام حول صف غراندي واحد ناقص واحد زائد واحد ناقص واحد - ملف رقم... علماء الرياضيات يكذبون. لم يؤدوا اختبار المساواة في سياق تفكيرهم.

هذا يعكس تفكيري.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على علامات خداع علماء الرياضيات لنا. في بداية التفكير ، يقول علماء الرياضيات أن مجموع التسلسل يعتمد على ما إذا كان عدد العناصر فيه متساويًا أم لا. هذه حقيقة محددة موضوعيًا. ماذا حدث بعد ذلك؟

ثم يطرح علماء الرياضيات متتالية من واحد. الى ماذا يؤدي هذا؟ يؤدي هذا إلى تغيير في عدد العناصر في التسلسل - يتغير الرقم الزوجي إلى رقم فردي ، ويتغير الرقم الفردي إلى رقم زوجي. بعد كل شيء ، أضفنا عنصرًا واحدًا إلى المتسلسلة ، يساوي عنصرًا واحدًا. على الرغم من كل أوجه التشابه الخارجية ، فإن التسلسل قبل التحويل لا يساوي التسلسل بعد التحويل. حتى لو كنا نتحدث عن تسلسل لا نهائي ، يجب أن نتذكر أن التسلسل اللانهائي الذي يحتوي على عدد فردي من العناصر لا يساوي تسلسلًا لانهائيًا مع عدد زوجي من العناصر.

بوضع علامة متساوية بين تسلسلين يختلفان في عدد العناصر ، يجادل علماء الرياضيات بأن مجموع التسلسل لا يعتمد على عدد العناصر في التسلسل ، وهو ما يتعارض مع حقيقة محددة موضوعيًا. مزيد من التفكير حول مجموع التسلسل اللانهائي خاطئ ، لأنه يقوم على مساواة خاطئة.

إذا رأيت أن علماء الرياضيات في سياق البراهين يضعون أقواسًا ، فأعد ترتيب عناصر التعبير الرياضي أو أضف شيئًا أو أزله ، وكن حذرًا جدًا ، فعلى الأرجح أنهم يحاولون خداعك. مثل سحرة البطاقات ، يصرف علماء الرياضيات انتباهك من خلال تلاعبات تعبيرية مختلفة من أجل أن ينتهي بك الأمر إلى إفلاتك من نتيجة خاطئة. إذا كنت لا تستطيع تكرار خدعة البطاقة دون معرفة سر الخداع ، فكل شيء في الرياضيات أبسط بكثير: فأنت لا تشك في أي شيء يتعلق بالخداع ، لكن تكرار جميع التلاعبات بتعبير رياضي يتيح لك إقناع الآخرين بصحة النتيجة ، تمامًا مثلما أقنعك شيء ما.

سؤال من الجمهور: وماذا عن اللانهاية (كعدد العناصر في التسلسل S) ، هل هو زوجي أم فردي؟ كيف يمكنك تغيير التكافؤ لشيء ليس له تكافؤ؟

إنفينيتي لعلماء الرياضيات ، مثل مملكة الجنة للكهنة - لم يكن هناك أحد من قبل ، لكن الجميع يعرف بالضبط كيف يعمل كل شيء هناك))) أوافق ، بعد الموت ، ستكون غير مبالٍ تمامًا سواء كنت قد عشت عددًا زوجيًا أو فرديًا من الأيام ، ولكن ... يومًا واحدًا فقط في بداية حياتك ، سنحصل على شخص مختلف تمامًا: لقبه واسمه وعائلته متماثلان تمامًا ، فقط تاريخ الميلاد مختلف تمامًا - لقد ولد يومًا ما قبلك.

والآن ، من حيث الجوهر))) افترض أن التسلسل المحدود الذي له تكافؤ يفقد هذا التكافؤ عند الذهاب إلى اللانهاية. عندئذٍ ، يجب أيضًا أن تفقد أي قطعة محدودة من التسلسل اللانهائي التكافؤ. نحن لا نرى هذا. حقيقة أننا لا نستطيع أن نقول على وجه اليقين ما إذا كان عدد العناصر في تسلسل لانهائي زوجي أو فردي لا يعني على الإطلاق أن التكافؤ قد اختفى. التكافؤ ، إذا كان موجودًا ، لا يمكن أن يختفي بدون أثر إلى اللانهاية ، كما هو الحال في كم أكثر حدة. هناك تشبيه جيد جدا لهذه الحالة.

هل سبق لك أن سألت وقواقًا جالسًا في ساعة في أي اتجاه يدور عقرب الساعة؟ بالنسبة لها ، يدور السهم في الاتجاه المعاكس لما نسميه "اتجاه عقارب الساعة". على الرغم من التناقض الذي يبدو عليه ، فإن اتجاه الدوران يعتمد فقط على الجانب الذي نلاحظ الدوران منه. وهكذا ، لدينا عجلة واحدة تدور. لا يمكننا تحديد الاتجاه الذي يحدث فيه الدوران ، حيث يمكننا ملاحظته من جانب واحد من مستوى الدوران ومن الجانب الآخر. لا يسعنا إلا أن نشهد على حقيقة أن هناك تناوبًا. تشابه كامل مع التكافؤ في تسلسل لانهائي س.

الآن دعونا نضيف عجلة دوارة ثانية ، يكون مستوى دورانها موازيًا لمستوى دوران أول عجلة دوارة. ما زلنا لا نستطيع أن نقول على وجه اليقين في أي اتجاه تدور هذه العجلات ، ولكن يمكننا أن نقول على وجه اليقين ما إذا كانت كلتا العجلتين تدوران في نفس الاتجاه أو في اتجاهين متعاكسين. مقارنة تسلسلين لا نهاية لهما سو 1-س، لقد أوضحت بمساعدة الرياضيات أن هذه التسلسلات لها تكافؤ مختلف وأن وضع علامة متساوية بينهما يعد خطأ. أنا شخصياً أؤمن بالرياضيات ، ولا أثق بعلماء الرياضيات))) بالمناسبة ، من أجل الفهم الكامل لهندسة التحولات في التسلسلات اللانهائية ، من الضروري تقديم المفهوم "التزامن"... هذا سوف يحتاج إلى رسم.

الأربعاء 7 أغسطس 2019

في ختام الحديث ، هناك عدد لا حصر له يجب مراعاته. والنتيجة هي أن مفهوم "اللانهاية" يعمل على علماء الرياضيات مثل عائق أفعى على أرنب. إن الرعب المرتعش اللانهائي يحرم علماء الرياضيات من الفطرة السليمة. هذا مثال:

يقع المصدر الأصلي. ألفا تعني الرقم الحقيقي. تشير علامة التساوي في التعبيرات أعلاه إلى أنه إذا أضفت رقمًا أو ما لا نهاية إلى ما لا نهاية ، فلن يتغير شيء ، وستكون النتيجة هي نفسها اللانهاية. إذا أخذنا كمثال مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية ، فيمكن تقديم الأمثلة المدروسة بالشكل التالي:

للحصول على دليل مرئي على صحتها ، توصل علماء الرياضيات إلى العديد من الطرق المختلفة. أنا شخصياً أنظر إلى كل هذه الأساليب كرقص الشامان بالدفوف. بشكل أساسي ، يتلخص كل منهم في حقيقة أن بعض الغرف ليست مشغولة وأن ضيوفًا جددًا ينتقلون إليها ، أو أن بعض الزوار يتم إلقاؤهم في الممر لإفساح المجال للضيوف (بطريقة إنسانية للغاية). لقد قدمت وجهة نظري في مثل هذه القرارات في شكل قصة رائعة عن الشقراء. على ماذا يستند المنطق؟ يستغرق نقل عدد لا حصر له من الزوار وقتًا غير محدود. بعد إخلاء الغرفة الأولى للضيف ، سيمشي أحد الزوار دائمًا على طول الممر من غرفته إلى الغرفة التالية حتى نهاية القرن. بالطبع ، يمكن تجاهل عامل الوقت بغباء ، لكن هذا سيكون بالفعل من فئة "القانون ليس مكتوبًا للحمقى". كل هذا يتوقف على ما نقوم به: تعديل الواقع لمطابقة النظريات الرياضية أو العكس.

ما هو فندق لا نهاية له؟ الفندق اللامتناهي هو فندق به دائمًا أي عدد من الأماكن الشاغرة ، بغض النظر عن عدد الغرف المشغولة. إذا كانت جميع الغرف في ممر الزوار اللامتناهي مشغولة ، فهناك ممر آخر لا نهاية له مع غرف الضيوف. سيكون هناك عدد لا حصر له من هذه الممرات. علاوة على ذلك ، يحتوي "الفندق اللامتناهي" على عدد لا حصر له من الطوابق في عدد لا حصر له من المباني على عدد لا حصر له من الكواكب في عدد لا حصر له من الأكوان التي أنشأها عدد لا حصر له من الآلهة. ومع ذلك ، لا يستطيع علماء الرياضيات إبعاد أنفسهم عن المشكلات اليومية الشائعة: فالله-الله-بوذا هو دائمًا واحد فقط ، والفندق واحد ، والممر واحد فقط. يحاول علماء الرياضيات التوفيق بين الأرقام التسلسلية لغرف الفنادق ، لإقناعنا بأنه يمكنك "الدفع في الأشياء".

سأوضح لك منطق تفكيري على مثال مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية. أولاً ، أنت بحاجة للإجابة على سؤال بسيط للغاية: كم عدد مجموعات الأعداد الطبيعية الموجودة - واحد أم أكثر؟ لا توجد إجابة صحيحة لهذا السؤال ، لأننا اخترعنا الأرقام بأنفسنا ، في الطبيعة لا توجد أرقام. نعم ، الطبيعة ممتازة في العد ، لكنها تستخدم لهذا الغرض أدوات رياضية أخرى ليست مألوفة لنا. كما تعتقد الطبيعة ، سأخبرك مرة أخرى. منذ أن اخترعنا الأرقام ، سنقرر بأنفسنا عدد مجموعات الأعداد الطبيعية الموجودة. فكر في كلا الخيارين ، كما يليق بالعالم الحقيقي.

خيار واحد. "دعونا نعطي" مجموعة واحدة من الأعداد الطبيعية ، والتي تقع بهدوء على الرف. نأخذ هذه المجموعة من الرف. هذا كل شيء ، لا توجد أرقام طبيعية أخرى متبقية على الرف ولا يوجد مكان لأخذها. لا يمكننا إضافة واحد إلى هذه المجموعة ، لأنه لدينا بالفعل. وإذا كنت تريد ذلك حقًا؟ لا مشكلة. يمكننا أخذ واحدة من المجموعة التي أخذناها بالفعل وإعادتها إلى الرف. بعد ذلك يمكننا أخذ وحدة من الرف وإضافتها إلى ما تبقى لدينا. نتيجة لذلك ، نحصل مرة أخرى على مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية. يمكنك كتابة كل تلاعباتنا مثل هذا:

لقد قمت بتدوين الإجراءات في نظام التدوين الجبري وفي نظام الترميز المعتمد في نظرية المجموعات ، مع تعداد مفصل لعناصر المجموعة. يشير الرمز السفلي إلى أن لدينا مجموعة واحدة فقط من الأعداد الطبيعية. اتضح أن مجموعة الأعداد الطبيعية ستبقى دون تغيير إلا إذا طرح المرء منها وإضافة نفس الوحدة.

الخيار الثاني. لدينا العديد من المجموعات اللانهائية المختلفة من الأعداد الطبيعية على أرففنا. أؤكد - مختلفة ، على الرغم من حقيقة أنه لا يمكن تمييزها عمليا. نأخذ واحدة من هذه المجموعات. ثم نأخذ واحدًا من مجموعة أخرى من الأعداد الطبيعية ونضيفه إلى المجموعة التي أخذناها بالفعل. يمكننا حتى جمع مجموعتين من الأعداد الطبيعية. هذا ما نحصل عليه:

يشير الحرفان السفليان "واحد" و "اثنان" إلى أن هذه العناصر تنتمي إلى مجموعات مختلفة. نعم ، إذا أضفت واحدًا إلى المجموعة اللانهائية ، فستكون النتيجة أيضًا مجموعة لانهائية ، لكنها لن تكون نفس المجموعة الأصلية. إذا أضفنا مجموعة لانهائية أخرى إلى مجموعة لانهائية واحدة ، تكون النتيجة مجموعة لانهائية جديدة تتكون من عناصر أول مجموعتين.

يتم استخدام الكثير من الأعداد الطبيعية للعد بنفس طريقة المسطرة للقياسات. تخيل الآن إضافة سنتيمتر واحد إلى المسطرة. سيكون هذا بالفعل سطرًا مختلفًا ، لا يساوي الأصل.

يمكنك قبول أو عدم قبول تفكيري - إنه عملك الخاص. ولكن إذا واجهت مشاكل رياضية في أي وقت ، ففكر فيما إذا كنت لا تتبع مسار التفكير الخاطئ الذي سار عليه أجيال من علماء الرياضيات. بعد كل شيء ، فإن ممارسة الرياضيات ، أولاً وقبل كل شيء ، تشكل صورة نمطية ثابتة للتفكير فينا ، وعندها فقط تضيف لنا القدرات العقلية (أو على العكس من ذلك ، تحرمنا من التفكير الحر).

pozg.ru

الأحد 4 أغسطس 2019

كنت أكتب حاشية لمقال حول ورأيت هذا النص الرائع على ويكيبيديا:

نقرأ: "... لم يكن للأساس النظري الغني للرياضيات البابلية طابع كلي وتم اختزاله في مجموعة من التقنيات المتباينة ، الخالية من نظام مشترك وقاعدة أدلة."

رائع! كم نحن أذكياء ومدى قدرتنا على رؤية عيوب الآخرين. هل يصعب علينا النظر إلى الرياضيات الحديثة في نفس السياق؟ بعد إعادة صياغة النص أعلاه قليلاً ، حصلت على ما يلي شخصيًا:

الأساس النظري الثري للرياضيات الحديثة ليس كليًا ويتم اختزاله في مجموعة من الأقسام المتباينة الخالية من نظام مشترك وقاعدة أدلة.

لن أذهب بعيدًا لتأكيد كلماتي - فهي تحتوي على لغة وأعراف مختلفة عن لغة وتقاليد العديد من فروع الرياضيات الأخرى. يمكن أن يكون لنفس الأسماء في مختلف فروع الرياضيات معاني مختلفة. أريد أن أكرس سلسلة كاملة من المنشورات لأوضح الأخطاء الفادحة في الرياضيات الحديثة. اراك قريبا.

السبت 3 أغسطس 2019

كيف تقسم مجموعة إلى مجموعات فرعية؟ للقيام بذلك ، من الضروري إدخال وحدة قياس جديدة موجودة لبعض عناصر المجموعة المحددة. لنلقي نظرة على مثال.

دعونا نمتلك الكثير أتتكون من أربعة أشخاص. تم تشكيل هذه المجموعة على أساس "الناس" دعونا نشير إلى عناصر هذه المجموعة بالحرف أ، سيشير الرمز الذي يحتوي على رقم إلى الرقم الترتيبي لكل شخص في هذه المجموعة. دعنا نقدم وحدة قياس جديدة "الجنس" ونشير إليها بالحرف ب... نظرًا لأن الخصائص الجنسية متأصلة في جميع الأشخاص ، فإننا نضرب كل عنصر من عناصر المجموعة أحسب الجنس ب... لاحظ أنه الآن أصبح العديد من "الأشخاص" لدينا عددًا كبيرًا من "الأشخاص ذوي الخصائص الجنسية". بعد ذلك يمكننا تقسيم الخصائص الجنسية إلى خصائص ذكورية بي اموالنساء وزن الجسمالخصائص الجنسية. الآن يمكننا تطبيق مرشح رياضي: نختار واحدة من هذه الخصائص الجنسية ، لا يهم أي منها ذكر أو أنثى. إذا كان لدى شخص ما ، فإننا نضربه في واحد ، وإذا لم يكن هناك مثل هذه الإشارة ، فإننا نضربه في صفر. ثم نطبق الرياضيات المدرسية المعتادة. انظر ماذا حدث.

بعد الضرب والاختزال وإعادة الترتيب ، حصلنا على مجموعتين فرعيتين: مجموعة الرجال بي امومجموعة فرعية من النساء وزن الجسم... يفكر علماء الرياضيات في الأمر نفسه عندما يطبقون نظرية المجموعات في الممارسة. لكنهم لا يكرسوننا للتفاصيل ، لكنهم يقدمون نتيجة نهائية - "يتألف الكثير من الناس من مجموعة فرعية من الرجال ومجموعة فرعية من النساء." بطبيعة الحال ، قد تتساءل عن مدى صحة تطبيق الرياضيات في التحولات المذكورة أعلاه؟ أجرؤ على أن أؤكد لكم ، في الواقع ، أن التحولات تمت بشكل صحيح ، يكفي معرفة الأساس الرياضي للحساب والجبر البولي وفروع الرياضيات الأخرى. ما هذا؟ في وقت آخر سأخبرك عن ذلك.

بالنسبة إلى المجموعات الفائقة ، يمكنك دمج مجموعتين في مجموعة شاملة واحدة باختيار وحدة القياس الموجودة لعناصر هاتين المجموعتين.

كما ترى ، فإن وحدات القياس والرياضيات الشائعة تجعل نظرية المجموعات شيئًا من الماضي. إشارة إلى أن نظرية المجموعات ليست صحيحة هي أن علماء الرياضيات قد توصلوا إلى لغتهم الخاصة وترميزهم لنظرية المجموعات. فعل علماء الرياضيات ما فعله الشامان ذات مرة. الشامان فقط هم من يعرفون كيفية تطبيق "معرفتهم" "بشكل صحيح". يعلموننا هذه "المعرفة".

أخيرًا ، أريد أن أوضح لكم كيف يتلاعب علماء الرياضيات
لنفترض أن أخيل يسير أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويقف وراءه بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل لتشغيل هذه المسافة ، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. عندما يركض أخيل مائة خطوة ، ستزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى ، وهكذا. ستستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولن يلحق أخيل بالسلحفاة أبدًا.

جاء هذا التفكير بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو ، ديوجين ، كانط ، هيجل ، هيلبرت ... كلهم ​​، بطريقة أو بأخرى ، يعتبرون زينو أبورياس. كانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات في الوقت الحاضر ، ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر التناقضات ... تم تضمين التحليل الرياضي ، ونظرية المجموعات ، والنهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة القضية ؛ لم يصبح أي منهم حلاً مقبولاً بشكل عام للسؤال ..."[Wikipedia،" Zeno's Aporias "]. الكل يفهم أنه يتم خداعهم ، لكن لا أحد يفهم ماهية الخداع.

من وجهة نظر الرياضيات ، أظهر زينو في أبوريا بوضوح الانتقال من الحجم إلى. يتضمن هذا الانتقال تطبيقًا بدلاً من الثوابت. بقدر ما أفهم ، فإن الجهاز الرياضي لاستخدام وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد ، أو لم يتم تطبيقه على أبوريا زينو. يؤدي تطبيق منطقنا المعتاد إلى الوقوع في فخ. نحن ، بجمود التفكير ، نطبق وحدات ثابتة لقياس الوقت على المعاملة بالمثل. من وجهة نظر جسدية ، يبدو الأمر وكأنه تمدد زمني حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يكون فيها أخيل في نفس المستوى مع السلحفاة. إذا توقف الوقت ، لم يعد بإمكان أخيل تجاوز السلحفاة.

إذا قلبنا المنطق الذي اعتدنا عليه ، فإن كل شيء يقع في مكانه. يعمل أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من مساره أقصر بعشر مرات من المقطع السابق. وعليه فإن الوقت الذي يقضيه في التغلب عليه أقل بعشر مرات من الوقت السابق. إذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة ، فسيكون من الصحيح أن نقول "سوف يلحق أخيل بالسلحفاة بسرعة لانهائية."

كيف يمكنك تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابق في وحدات زمنية ثابتة ولا تعود للوراء. في لغة Zeno ، يبدو الأمر كما يلي:

خلال الوقت الذي سيجري فيه أخيل ألف خطوة ، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية ، التي تساوي الأولى ، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى ، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن Achilles متقدم بمقدار ثمانمائة خطوة عن السلحفاة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكن هذا ليس حلا كاملا للمشكلة. إن بيان أينشتاين حول عدم القدرة على التغلب على سرعة الضوء مشابه جدًا لما قاله Zeno aporia "Achilles and the Turtle". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة لانهائية ، ولكن بوحدات قياس.

تحكي أبوريا زينو مثيرة أخرى عن السهم الطائر:

السهم الطائر ثابت ، لأنه في حالة راحة في كل لحظة ، ولأنه في حالة راحة في كل لحظة ، فهو دائمًا في حالة راحة.

في هذا الانحراف ، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن ، يقع السهم الطائر في نقاط مختلفة في الفضاء ، وهو في الواقع حركة. يجب ملاحظة نقطة أخرى هنا. من صورة واحدة لسيارة على الطريق ، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد حقيقة حركة السيارة ، هناك حاجة إلى صورتين ، تم التقاطهما من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة ، لكن من المستحيل تحديد المسافة بينهما. لتحديد المسافة إلى السيارة ، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في نفس الوقت ، لكنهما لا يستطيعان تحديد حقيقة الحركة (بالطبع ، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية لإجراء الحسابات ، وسيساعدك علم المثلثات). ما أريد لفت الانتباه إليه هو أن نقطتين زمنيتين ونقطتين في الفضاء هما شيئان مختلفان لا ينبغي الخلط بينهما ، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.
اسمحوا لي أن أريكم العملية بمثال. نختار "صلبة حمراء في بثرة" - هذا هو "كلنا". في الوقت نفسه ، نرى أن هذه الأشياء ذات قوس ، لكن لا توجد أقواس. بعد ذلك نختار جزءًا من "الكل" ونشكل مجموعة "بقوس". هذه هي الطريقة التي يغذي بها الشامان أنفسهم من خلال ربط نظرية المجموعة بالواقع.

الآن دعونا نقوم ببعض الحيلة القذرة. خذ "صلبة في بثرة مع قوس" واجمع هذه "الثقوب" حسب اللون ، واختر العناصر الحمراء. حصلنا على الكثير من "الأحمر". الآن سؤال يجب ملؤه: المجموعات الناتجة "ذات القوس" و "الأحمر" هي نفس المجموعة أم مجموعتان مختلفتان؟ فقط الشامان يعرفون الجواب. بتعبير أدق ، هم أنفسهم لا يعرفون شيئًا ، لكن كما يقولون ، فليكن.

يوضح هذا المثال البسيط أن نظرية المجموعات غير مجدية تمامًا عندما يتعلق الأمر بالواقع. ما السر؟ لقد شكلنا مجموعة من "الصلبة الحمراء في نتوء مع القوس". تم التكوين وفقًا لأربع وحدات قياس مختلفة: اللون (أحمر) ، والقوة (صلبة) ، والخشونة (في بثرة) ، والزخارف (ذات القوس). فقط مجموعة من وحدات القياس تجعل من الممكن وصف الأشياء الحقيقية بشكل مناسب بلغة الرياضيات... هذا ما يبدو عليه.

يشير الحرف "أ" بمؤشرات مختلفة إلى وحدات قياس مختلفة. يتم تمييز وحدات القياس بين قوسين ، يتم من خلالها تخصيص "الكل" في المرحلة الأولية. يتم إخراج وحدة القياس ، التي تتكون بها المجموعة ، من الأقواس. يعرض السطر الأخير النتيجة النهائية - عنصر المجموعة. كما ترى ، إذا استخدمنا وحدات القياس لتشكيل مجموعة ، فإن النتيجة لا تعتمد على ترتيب أفعالنا. وهذه رياضيات ، وليست رقص الشامان مع الدف. يمكن أن يصل الشامان "بشكل حدسي" إلى نفس النتيجة ، بحجة "الوضوح" ، لأن وحدات القياس ليست مدرجة في ترسانتهم "العلمية".

من السهل جدًا استخدام الوحدات لتقسيم واحدة أو دمج عدة مجموعات في مجموعة شاملة واحدة. دعنا نلقي نظرة فاحصة على الجبر لهذه العملية.